專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【知識點梳理】1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù)．2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．3、函數(shù)的對稱性（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．（3）若，則函數(shù)關(guān)于對稱．（4）若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期．（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期．【方法技巧與總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．（8）常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．【典型例題】例1．（2024·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，則必有，顯然B正確，A錯誤，而當時，不在定義域內(nèi)，故無法比較，C,D錯誤.故選：B例2．（2024·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，A不滿足要求；對于B選項，設(shè)，該函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以函數(shù)在、上都是增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，B滿足要求；對于C選項，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，C不滿足要求；對于D選項，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，D不滿足要求.故選：B.例3．（2024·四川南充·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)在上是減函數(shù)的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上是減函數(shù)，只需要即可，若，則，成立；若，則是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，時恒成立.若，當和時，，故不成立.所以，當時，，而是的充分不必要條件.故選：A.例4．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B例5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B例6．（2024·北京西城·高三北師大實驗中學校考階段練習）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：在單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)是定義上的奇函數(shù)，可得，即且，又由，可得，因為時，單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，則時，函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式，即為或，可得或，所以不等式的解集為，故選：D.例7．（2024·全國·高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)，對稱軸的方程為，當時，則時，函數(shù)取得最大值，不滿足題意；當時，可函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，解得或（舍去）.故選：C.例8．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設(shè)g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.例9．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】當時，，所以，通過對比系數(shù)得.故選：A例10．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】B【解析】由函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，解得，所以．故選：B.例11．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則以下說法錯誤的是（

）A．B．是周期函數(shù)，且2是其一個周期C．D．【答案】C【解析】選項A，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以選項A正確，選項B，由，知是周期函數(shù)，且2是其一個周期，所以選項B正確，選項C，因為，又，，得到，所以選項C錯誤，選項D，，所以選項D正確，故選：C.例12．（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考開學考試）已知函數(shù)對任意實數(shù)都有且則（

）A． B． C．1 D．0【答案】D【解析】由，令，則，可得，即，所以，可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又由，令，可得，即，可得，則，所以，可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則.故選：D.例13．（2024·陜西咸陽·咸陽市實驗中學校考一模）函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，，則．【答案】4【解析】由于函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，，故，又為偶函數(shù)，故，則，故答案為：4【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·河南·高三專題練習）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則顯然成立；若，則，則，不能得出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2024·廣東·高三學業(yè)考試）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】因為在上是增函數(shù)，則,即.故選：A3．（2024·北京·高三北京市第三十五中學校考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A選項，，是R上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A錯誤；B選項，，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B錯誤；C選項，，，，是奇函數(shù)，又，，，所以不是增函數(shù)，故C錯誤；D選項，，畫出其圖像，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù).故選：D.4．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，則，解得或，所以的定義域為，又開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.5．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A6．（2024·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，由可得，則，解得，因此，滿足的的取值范圍是.故選：C.7．（2024·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由為奇函數(shù)，得，所以不等式等價于.又因為在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：A8．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，．若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，，所以，則，即，解得．故選：C．9．（2024·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，且，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即或解得，或故選：D10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為上的減函數(shù)，且，所以，解得或，故選：D．11．（2024·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考期末）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，恒成立，即，恒成立，則，函數(shù)有意義，則，解得或，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D12．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的定義域為R，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)；由隨著的增大，越來越大，越來越小，所以越來越大，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增..故選：C14．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，即，又關(guān)于原點對稱，則，有，所以的周期為4，故.故選：A15．（2024·山西·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點對稱，因為函數(shù)的圖象相當于函數(shù)的圖象向下平移兩個單位，所以可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，由對稱性可知．故選：A．16．（2024·全國·模擬預測）己知函數(shù)的定義域為若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，用代,得，又，所以，得，故的周期為,所以.故選：A．17．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，得且，由，得，又，得，得，故，所以的一個周期為4，則，A正確.故選：A.18．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知是上的奇函數(shù)，且，當時，，則（

）A．3 B． C．255 D．【答案】B【解析】由題意可知：，即4為的一個周期，所以.故選：B19．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由，知函數(shù)關(guān)于點對稱，由，知函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D20．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．【答案】A【解析】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，則，函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，有，又，則，令，有，所以函數(shù)周期為2.，函數(shù)為偶函數(shù)，A選項正確；，C選項錯誤；已知中沒有可以求函數(shù)值的條件，BD選項錯誤；故選：A21．（2024·山東·高三山東省實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，可得，又由為奇函數(shù)，則，則有，所以，即，所以A錯誤；對于B中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，所以B不正確；對于C中，由，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以C正確；對于D中，由是周期為4的周期函數(shù)，可得，其中結(jié)果不一定為0，所以D錯誤.故選：C.二、多選題22．（2024·新疆烏魯木齊·高三烏市八中校考階段練習）若函數(shù)的最小值為，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】函數(shù)開口向上，對稱軸為，若，即時，解得或（舍去），若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去），綜上可得或.故選：BD23．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足：．且，當時，．則下列選項正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的減函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A，由題可知，故，故A正確；對于B，由題可知，，故B錯誤；對于C，，故，為奇函數(shù)，故C正確；對于D，當時，，，是上的減函數(shù)，故D正確.故選：ACD24．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為4 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在內(nèi)至少有5個零點【答案】BCD【解析】對于A，因為是定義在上的奇函數(shù)，且，所以，即，所以的周期為4，但的最小正周期不一定為4，如，滿足為奇函數(shù)，且，而的最小正周期為，故A錯誤；對于B，因為為奇函數(shù)，且，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，由，及為奇函數(shù)可知，即的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又，，所以，故，所以在內(nèi)至少有，，0，2，4這5個零點，故D正確．故選：BCD．25．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C． D．【答案】BCD【解析】對于A中，由為奇函數(shù)得，因此，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以A錯誤；對于B中，由為偶函數(shù)得，于是，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以B正確；對于C中，，從而，所以以4為周期，可得，由中，令，得，所以C正確；對于D中，由前面的分析可得，，所以，所以D正確．故選：BCD.26．（2024·山東泰安·高三校考階段練習）已知是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．對，恒成立C．函數(shù)關(guān)于點中心對稱 D．【答案】BCD【解析】∵函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，，則，∵函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，，，則，C選項正確；，，故，B選項正確；，D選項正確；沒有條件能確定，A選項錯誤.故選：BCD.27．（2024·全國·模擬預測）已知定義域為的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在[0，10]上有6個零點【答案】AB【解析】選項A：對于，令，得，對于，令，得，所以，則，A正確；選項B：由得，由得，所以，是奇函數(shù)，B正確；選項C：由，得，所以12是的一個周期，又是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于點對稱，因為不恒為零，所以的圖像不關(guān)于直線對稱，C錯誤；選項D：由A知，對于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零點為0，2，3，4，6，8，9，10，共8個，D錯誤．故選：AB．三、填空題28．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知，求.【答案】8【解析】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一；同理：方程只有一.所以：.故答案為：29．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因為單調(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故答案為：1630．（2024·高三課時練習）已知函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.31．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】/0.5【解析】因函數(shù)在R上為偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故在R上為奇函數(shù)，則，解得；驗證：當時，，，由可得為奇函數(shù)，故是偶函數(shù).故答案為：．32．（2024·四川內(nèi)江·高三校考階段練習）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．【答案】【解析】依題意，當時，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：33．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則時，．【答案】【解析】當時，，則，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以．故答案為：34．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高三校考期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，則【答案】【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，即為奇函數(shù)，則有，即，解得.故答案為：.35．（2024·陜西西安·西安一中校考模擬預測）定義域為的函數(shù)滿足當時，，且是奇函數(shù)，則.【答案】6【解析】設(shè)，則，因為是奇函數(shù)，故，又因為當時，，故，所以.故答案為：636．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為．【答案】【解析】，由為R上的奇函數(shù)，得，即，因為，所以時，，即，則.故答案為：37．（2024·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】/0.5【解析】為奇函數(shù)，故，即，即，故，解得.故答案為：38．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.【答案】【解析】由題意首先，解得，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，由，解得，此時，經(jīng)檢驗符合題意，所以.故答案為：.39．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校校考期末）在上滿足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】∵，∴.∵，∴.∴，解得，∴的取值范圍是.故答案為：.40．（2024·廣東·高三學業(yè)考試）已知定義域為的偶函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】因為定義域為的偶函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，則，所以，即或，解得或，即所求解集為.故答案為：.41．（2024·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的，都有，若在