2.2基本不等式（精練）1．（2023春·安徽宿州）正項等比數列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由等比數列中，設公比為，且，由得，故，由得，，當且僅當，即時等號成立，故最小值為，故選：B2．（2023·安徽安慶·校聯考模擬預測）已知函數恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意可知，則，當且僅當，時，的最小值為，故選:A．3．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學校聯考階段練習）若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.4．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】方法一：因為，故，解得，故,當且僅當，即，時等號成立.方法二：因為，則，且，故，故，當且僅當，即，時等號成立.故選：C.5．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）下列選項正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【解析】當與為負數時，顯然不成立，選項A不正確；因為x不一定為正數，當為負數時，顯然不成立，選項B不正確；令，所以的最小值為3，當且僅當時，取到最小值，選項C不正確；，因為，所以，當且僅當時，取到最小值，選項D正確．故選：D．6．（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考開學考試）已知正數滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為正實數，且，所以，當且僅當時取等號，則，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，故選：．7．（2023·江西南昌·校聯考模擬預測）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為6.故選：B.8．（2023·寧夏中衛·統考二模）已知點在直線上，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為點在直線上，所以，故，當且僅當且，即時等號成立，因為關于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故選：A9．（2023春·海南海口·高三校聯考階段練習）設、，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為、，，，則，即，由題意可得，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：A.10．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）若，則的最小值為__________．【答案】3【解析】因為，由基本不等式得：，當且僅當，且，即時等號成立．故答案為：311．（2023·江蘇鹽城）實數x，y滿足，則的最大值為__________．【答案】【解析】由，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：12．（2023·全國·高三專題練習）函數的最小值為_________．【答案】【解析】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數的最小值為.故答案為：13．（2023·全國·高三專題練習）函數在上的最大值為_______________．【答案】【解析】因為，，令，則，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：14．（2022·安徽）已知，的最小值為____________.【答案】【解析】由，則，當且僅當時，即時取等號，此時取得最小值．故答案為：15．（2022春·陜西西安·高一長安一中校考階段練習）函數的最小值為___．【答案】【解析】因為，令，則，又因為，可得，因為，當且僅當時，即，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.16．（2023春·重慶）已知，，，則的最大值為____________．【答案】【解析】由已知，，，則，而，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：.17．（2023春·湖南）若，且，則的最大值為________.【答案】【解析】由，且可得，則，當且僅當，結合，即時取等號，即的最大值為，故答案為：18．（2023春·重慶九龍坡）已知，且，則的最小值為___________.【答案】【解析】因為，解得：，則當且僅當，時，“=”成立故答案為：.19．（2023秋·天津河北·高三統考期末）已知，，且，則的最小值為______.【答案】【解析】由得：，又，，（當且僅當時取等號），，解得：（舍）或，當時，取得最小值.故答案為：.20．（2023·遼寧·鞍山一中校聯考模擬預測）若關于的不等式對任意恒成立，則正實數的取值集合為______．【答案】【解析】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數的取值集合為.故答案為：．21．（2023春·福建福州）已知，，若恒成立，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】，，，當且僅當，即時等號成立，，解得.故答案為：.22．（2023·山西大同·大同市實驗中學校考模擬預測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【解析】由得．又，當且僅當，即當時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：23．（2022·上海·統考二模）已知對，不等式恒成立，則實數的最大值是_________.【答案】不存在【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，，故實數的最大值不存在.故答案為：不存在.24．（2022·全國·高三專題練習（理））已知隨機變量，若，則的最小值為___________.【答案】9【解析】依題意，由正態分布知識可得，，當且僅當且即時等號成立.所以的最小值為9.故答案為：9.25．（2022·天津濱海新·天津市濱海新區塘沽第一中學校考模擬預測）已知，，且，則的最大值為____．【答案】【解析】由，，得，即又，當且僅當，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為：.25．（2023·吉林延邊·統考二模）設，，若，則取最小值時a的值為______．【答案】/0.75【解析】由，，得，由，得，∴，當且僅當即，時等號成立.故當，時取得最小值16.故答案為：.26．（2023·全國·高三專題練習）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅?全面建成小康社會的歷史任務，實現第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業具有重大現實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某企業積極響應國家的號召，對某經濟欠發達地區實施幫扶，投資生產A產品，經過市場調研，生產A產品的固定成本為200萬元，每生產萬件，需可變成本萬元，當產量不足50萬件時，；當產量不小于50萬件時，.每件A產品的售價為100元，通過市場分析，生產的A產品可以全部銷售完，則生產該產品能獲得的最大利潤為__________萬元.【答案】1000【解析】由題意得，銷售收入為萬元，當產量不足50萬件時，利潤；當產量不小于50萬件時，利潤.所以利潤因為當時，，當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以在上單調遞增，在上單調遞減，則；當時，，當且僅當時取等號.又，故當時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.故答案為：100027．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學校考模擬預測）已知正實數滿足，則的最小值為___________.【答案】【解析】由，得，令，則在上單調遞增，所以，即，又因為是正實數，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：28．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）當時，的最小值為_________.【答案】0【解析】，當且僅當，時，，所以的最小值為0.故答案為：0.29．（2022·甘肅張掖·高三期末（理））在等差數列中，且，則的最大值等于【答案】4【解析】因為在等差數列中，所以，即，又，所以，當且僅當時，等號成立，所以，的最大值為4.30．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．【答案】【解析】，，，，即，由，，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：1．（2022·浙江紹興）已知，，且，則下列取值有可能的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于:已知，,所以,當且僅當時,,故正確;對于:已知，,所以,不成立,故錯誤;對于:已知，，且，所以當且僅當時取等號所以,即得,所以不成立,故錯誤;對于:因為,所以,所以,不成立,故錯誤;故選:.2．（2023春·江蘇南京）在中，為線段上一點，且，若，則的最小值為（

）A． B．16 C．48 D．60【答案】C【解析】,,，又B，D，C三點共線，,,當且僅當即當時取最小值.故選:C.3．（2023春·浙江寧波）（多選）已知正數、，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為. B．的最大值為.C．的最小值為. D．的最小值為.【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，則，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最大值為1，故A正確；對于B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，則，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，令，，則，，，，所以，當且僅當且，即，即時，等號成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.4．（2023·福建泉州）（多選）下列結論中，正確的結論有（

）A．如果，，且，那么的最小值為4B．如果，那么取得最大值為C．函數的最小值為2D．如果，，，那么的最小值為6【答案】AD【解析】對于選項A，如果，，且，那么，當且僅當且，即時取等號，故選項A正確；對于選項B，如果，那么，則，即，當且僅當，即時取等號，因為，所以不能取得最小值，故選項B錯誤；對于選項C，函數，當且僅當時取等號，此時無解，不能取得最小值2，故選項C錯誤；對于選項D，如果，，，則整理得，所以或（舍去），當且僅當時取得最小值，故選項D正確.故選：AD5．（2023春·湖北宜昌）（多選）設，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，，且，，解得，故A正確；對于B，，即，，故B錯誤；對于C，，且，，當且僅當時等號成立，，故C正確；對于D，，且，，當且僅當，即時等號成立，，，故D錯誤.故選：AC.6．（2023春·河北石家莊·高三校聯考開學考試）（多選）下列說法正確的是（

）A．若，則函數的最小值為B．若實數a，b滿足，且，則的最小值是3C．若實數a，b滿足，且，則的最大值是4D．若實數a，b滿足，且，則的最小值是1【答案】BD【解析】對A，，函數，當且僅當，即時取等號，即函數的最大值為，A錯；對B，，且，則，當且僅當，即，時取等號，則的最小值是3，B對；對C，，且，∴，即，解得，當且僅當時取等號，C錯；對D，，且，令，則，所以，當且僅當，即時取等號，D對.故選：BD7．（2022秋·福建龍巖·高三校考階段練習）（多選）下列結論不正確的是（）A．當時,B．當時,的最小值是C．當時,的最小值是D．設,,且,則的最小值是【答案】BC【解析】由題知,關于選項A,當時,,,當且僅當時取等號,故選項A正確;關于選項B,當時,,當且僅當時取等號,但此時無解,等號取不到,因此最小值不是,故選項B錯誤;關于選項C,因為,不妨取,此時的值為負數,故選項C錯誤;關于選項D,因為,,,則,則當且僅當,即時取等號,故最小值為,故選項D正確.故選:BC.8.（2023春·安徽阜陽）（多選）已知正數x，y滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．的最大值為1【答案】BC【解析】因為，，，所以，故，當且僅當時，取得等號，所以的最大值為1，故A正確；當，時，，故B錯誤；因為，所以，當且僅當時，取得等號，即有最大值為2，故C錯誤；因為，當且僅當時，取得等號，所以有最大值為1，故D正確：故選：BC．9．（2023湖南）已知正數滿足，則下列選項正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最大值是1C．的最小值是4 D．的最大值是2【答案】AB【解析】因為正數滿足，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是2，故A正確；因為正數滿足，所以，當且僅當時，等號成立，等號成立，所以的最大值是1，故B正確；由，得，當且僅當時，等號成立，等號成立，所以的最小值是,故C錯誤；，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值是，故D錯誤；故選：AB.10．（2023·全國·校聯考模擬預測）（多選）設，且，則（

）A． B．C．的最小值為0 D．的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由解得，故A正確；對于B，因為，所以，則在上單調遞增，且，故B錯誤；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，，當且僅當，即時，等號成立，故D正確．故選：ACD．11．（2023·江蘇·統考一模）（多選）已知正數a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AC【解析】對于A，，當且僅當時成立，A正確；對于B，，即，可得，所以，當且僅當時成立，B錯誤；對于C，，當且僅當時成立，C正確；對于D，由，當且僅當，即，等號成立，所以，此時，不能同時取等號，所以D錯誤.故選：AC.12．（2023·廣東深圳·深圳中學統考模擬預測）（多選）已知a，b都是正實數，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項，因為a，b都是正實數，故，當且僅當，即時，等號成立，A正確；B選項，因為a，b都是正實數，故，當且僅當，即時，等號成立，B錯誤；C選項，，故恒成立，C正確；D選項，a是正實數，故，其中，故，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.故選：AC13．（2023秋·甘肅天水）（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【解析】由，且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，又因為不等式恒成立，所以，結合選項，可得選項B、C、D符合題意.故選：BCD.14．（2023·遼寧遼陽·統考一模）（多選）在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當矩形ABCD的面積取得最小值時，D．當矩形ABCD的周長取得最小值時，【答案】AC【解析】設，，則圓錐M的側面積為，圓錐N的側面積為，則，則，則，得，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時，所以B錯誤，C正確.矩形ABCD的周長為，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的周長的最小值為，此時，所以A正確，D錯誤.故選：AC15（2023·河北·校聯考二模）（多選）已知a，b為實數，且，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，由，可知，，且，由不等式性質可得，所以，即A錯誤．對于B，，當且僅當，即時取等號，B正確．對于C，作差可得，所以，C正確．對于D，，當且僅當，即時取等號，顯然取不到等號，D錯誤．故選：BC．16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）（多選）已知，且，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由題設，由，則，且，所以，則，故，A錯誤；由，故，B正確；由，僅當，即時等號成立，所以等號取不到，則，而，但不一定有，故不一定成立，C錯誤；由，其中等號成立條件為，即時等號成立，所以等號取不到，則，D正確.故選：BD17．（2023·重慶九龍坡·統考二模）（多選）若a，b，c都是正數，且則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設，則，，，，，，所以，，因為，所以，則等號不成立，所以，則，因為，所以，故選：BCD18．（2023·安徽宣城·統考二模）（多選）已知，則實數滿足（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，所以，，，，易知，所以，A正確；，C錯；顯然，，，B錯；，D正確．故選：AD．19．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）（多選）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，，且，所以，，對于A：，當且僅當時等號成立，所以，A正確；對于B：，因為，所以，所以，即，B錯誤；對于C：，當且僅當時等號成立，又，所以等號不成立，C正確；對于D：令，，滿足條件，，且，但是，D錯誤.故選：AC.20．（2023·山東聊城·統考一模）（多選）設，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，由基本不等式可得，可得，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，由可得，解得，所以，，B錯；對于C選項，由可得，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，C對；對于D選項，，因為，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，D對.故選：ACD.21．（2023·山西·校聯考模擬預測）（多選）已知正實數a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，當且僅當，即時，取到等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即時，取到等號，故B正確；對于C，，當且僅當，即時，取到等號，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，即時，取到等號，故D錯誤．故選：ABC.22．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯考模擬預測）（多選）設，，滿足，下列說法正確的是（

）A．ab的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為1【答案】AC【解析】因為，，所以，所以，所以，當且僅當即時取等號，則的最大值為，故A正確；因為，當且僅當即時取等號，所以的最小值為，故B錯誤；因為，所以，因為，所以，故當時，取最小值為，故C正確；因為，且，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為，故D錯誤．故選：AC.23．（2023·天津·校考模擬預測）已知正數滿足，則的最小值是_________．【答案】【解析】根據題意，由可得，即所以；又因為均是正數，令，則所以，令，則當且僅當，即時，等號成立；所以所以的最小值為;即當時，即時，等號成立.故答案為：24．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知實數滿足，，則的最小值為__________.【答案】2025【解析】，因為，所以，，，故，由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，故，即的最小值為2025.故答案為：2025.25．（2023·廣東深圳·統考二模）足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標準足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置.【答案】【解析】若選擇線路，設，其中，，，則