三角函數及其恒等變換

知識點一、三角函數的有關概念

1、終邊相同的角

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內，可構成一個集合：S={⑶尸=。+2女兀,kG7}.

2、弧長、扇形面積公式

設扇形的弧長為/，圓心角大小為a(rad)，半徑為廣，那么/=Ia，扇形的面積為S=J/r=[la|?r.

3、任意角的三角函數

(1)定義：設。是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x,力，那么sina=y,cosa=x,tan4=；

(^0).

(2)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示.正弦線的起點都在《軸上，余弦線的起點都是原點，

正切線的起點都是(1,0).如圖中有向線段即，〃獷"7分別叫做角a的正弦線、余弦線和正切線.

(3)三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

小題速通

1.(2019?濟南模擬)sin夕一cos,那么角。的終邊位于()

A.第一象限B.笫二象限C.第三象限D.第四象限

2.。是第二象限角，尸(x,4)為其終邊上一點，且cos。=乎入，那么x=()

A.B.士，§C.一y[2D.—A/3

3.假設一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，那么其圓心角。(0＜。〈冗)的瓠度數為()

31n

A.-B."C.\r3D.2

J/

4.扇形的半徑r=10cm，圓心角a為120°，那么扇形的面積為cm2.

5.在與2010。終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數為.

清易錯______________________________________________________________________________________________

1.注意易混概念的區別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，笫二、第三

類是區間角.

2.角度制與瓠度制可利用180。=丸rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

3.三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.

1.以下說法正確的選項是()

A.三角形的內角必是第一、二象限角B.笫一象限角必是銳角

C.不相等的角終邊一定不相同D.假設￡=。+2女"j￡Z)，那么。和￡終邊相同

2

2.點/在角。的終邊上，且。仁[0,2天)，那么。的值為()

1

\27

3.角a的終邊在直線3x+4y=0上，那么sina+cosa=—

知識點二、三角變換公式

1、同角三角函數的根本關系式

(1)平方關系：sir?a+cos2a=1；

(2)商教關系：tan

cosa

2、誘導公式

組序—二二四五六

+a(〃JI

角丸+a——aJI-a~2~0+a

￡Z)T

正弦sina-sina—sin0sinacosacosa

余弦cosa-cosacosa一cosasina—sina

正切tanatana—tana-tan_a

口訣函數名不變、符號看象限函數名改變、符號看象限

記憶規律奇變偶不變，符號看象限

3、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(a±￡)=sinacos￡±cosasin￡；

cos([干J3)=coyaco,/±sit2asir]/;

,,c\tana±tanB

tan(Q±￡)=7-----------

ITtanatanP

4、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacos。;

cos2a=cos：a-sin2a=2cos?a-1=1-2sin」a；

2tana

tan2o=T72

1—tana

小題速通

T3

1.ae,tan(a—n)=--，那么sina+cosa的值是()

3Ji

7

A.BcD.

4-5-45

(ji

2.sinl^a=￡，那么cos（JT—2。）的值為（)

□

247724

A，25B-25C.D,-25

25

=坐，那么sin仔+aj=

3.

J

八re,sina+cosa

4.tana=2，那么77■:-----;-------

2sina+cosa

、i4sin250°

5.計算：1+sin10。=--------.

清易錯

1.利用平方關系解決問題時，要注意開方運算結果的符號，需要根據角的范圍進行確定.

2.在便用兩角和與差的余弦或正切公式時運算符號易錯.

,sina+cosa=坐，那么cos(2018n—2a)=()

o

C.D.

BT3

ro)

1

2.假設n，那么sina的值為（)

3團

A/B邛7。?平

Cl8

知識點三、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質

正弦、余弦、正切函數的圖象與性質

函數尸sinxy=cosxy=tanx

/：\H22n.

圖象斗受Si/

定義域RR，4wz

值域R

-

~nn

遞增區間：24兀一萬2kn+—

乙/_/JT\

遞增區間：—n,2An](k“L萬

遞增區間

(MZ)遞減區間：20+方JT

單調性GZ)遞減區間：[2kn,2kn4-m+以

n](AGZ)

3n-(Aez)

2kJi+—(AGZ)

奇偶性奇函數偶函數奇函數

(nA

kn+—~2~

對稱中心(kN,0)(4￡Z)對稱中心2U=Z)對稱中心(A-ez)

對稱性<0>0>

對稱軸：x=kn4—^-(A《Z)對稱軸：x=kx(AGZ)

周期2n2nn

小題速通

1.函數y=l—2si/2x的最小正周期是()

0

2.假設函數f(>)=2sinQx(O<3<1)在區間三上的最大值為1,那么g=()

T

3.函數r(>)=sin(Qx+；j(3>0)的最小正周期為Ji，那么G，=()

A.1B.JC.-1D.一J

乙CJ

4.(2019?杭州模擬)假設函數f(x)=sin上詈(0￡[O,2”])是偶函數，那么0=(

)

n2n3n5立

A.-B.-T-C.-T-D.

乙J4J

JI

__

oT

5.假設函數r(*)=sin3X(3>0)在區間n上單調遞增，在區間上單調遞減，那么3等于(

T_JT

_T_

oo

,2c3

A-3B-2C.2D.3

清易錯

it、

——

1.正切函數的圖象是由直線x=An+子（女￡Z）隔開的無窮多支曲線組成，單調增區間是乙

,kG

7

Z，不能說它在整個定義域內是增函數，如彳，但是tan（>tan"~，正切函數不存在減區間.

2.三角函數存在多個單調區間時易錯用"U”聯結.

3.研究三角函數單調性、對稱中心、奇偶性及對稱軸時易無視“A￡Z”這一條件.

1.（2019?石家莊一模）函數F（x）=tan（2x一高的單調遞增區間是（）

「女兀It-(kRJT\

212212

A.(〃￡Z)B.(Aez)

5nkR5冗

_24

12_\212/

JI(?H、

kR一■kx

126

C.(〃￡Z)D.(#ez)

5Jr,2n

ku+knH-

12J37

2.函數/Xx）=sin（-2x）,X￡[0,2霏]的單調遞增區間是.

知識點二、函數y=/sin（3x+0）的圖象及應用

1、用五點法畫y=』sin（3x+。）一個周期內的簡圖

用五點法畫y=/fsin（3x+0）一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示:

0,nJl—03n62一一O

X

—~23323~G)_3

n3Jr

3X+00T112Ji

尸力sin(ax+0)0A0-A0

2、函數尸=sinx的圖象變換得到y=4sin（3*+。）（力>0,3>0）的圖象的步驟

法一法二

小題速通

-II.

1.函數y=sin（2x—1）在區間—2上的簡圖是（）

2.將謔數二sin2x的圖象先向左平移點人單位長度.再向上平移1個單位長度.得到的函數解析式是（）

1

3.函數F（x）=3{5sin3x（3>0）的局部圖象如下圖，點力，8是圖象的最高點，點。是圖象的最低點，且4ABC

是正三角形，那么f（l）+F（2）+r（3）的值為（）

99^39(鎘+1)

A-2B.-5-C.9^34-1D.2

JI

J>0

4.如圖是函數y=1sin（3x+6）3>0在區間上的圖象，為了得到這個

5n

L°<L6」

函數的圖象，只需將尸=sinx（x￡R）的圖象上所有的點（）

A.向左平移7■個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

B.向左平移］■個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變

0/

C.向左平移一■個單位長度，再把歷得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

D.向左平移1■個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的義倍，縱坐標不變

清易錯

0

1.由y=Jsin3x的圖象得到y=Hsin（3x+0）的圖象時，需平移的單位數應Cu為，而不是

2.要注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，假設不一致，應先利用誘導公式化為同名函數.

1.要得到函數p=cos（2x+l）的圖象，只要將函數y=cos2x的圖象（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移4個單位D.向右平移）個單位

2.函數尸cos（2x+。）（一JiW。＜冗）的圖象向右平移一■個單位后，與函數尸sin的圖象重合，那么

4>=

過關檢測練習

一、選擇題

1.（2013?杭州模擬）如下圖，在直角坐標系X。中，射線例文單位圓0丁點尸，假設N/I/一夕，那么點尸的

坐標是（)

A.（cos0,sin8)B.(―cos0,sin0)

C.（sin,cosD.(—sin8,cos0)

2.假設a=k?360°+0,￡=加?360°-0（k,m￡Z），那么角a與B的終邊的位置關

系是（)

A.重合B.關于原點對稱C.關于X軸對稱D.關于y軸對稱

n、

fJI~~2（。一高的值是（

3.siH]+,那么cos|)

10

12

AB-C.D.1

-22

4.（2019?淄博調研）tana=2，那么sin?。一sinacoso的值是（）

A-lB--5C.-2D.2

in（2T）

5.設函數f（x）=sin,刀仁1^,那么/＞（才）是（）

A.最小正周期為H的奇函數B.最小正周期為n的偶函數

C.最小正周期為5的奇函數D.最小正周期為子的偶函數

6.函數/?（x）=sin（3x+W［（3＞0）的最小正周期為“，那么該函數的圖象（

)

n

A.關于直線■對稱B.關于點對稱

<0

~6

C.關于直線＞=一1■對稱D.關于點對稱

O

7.將函數y=3sin的圖象向右平移段■個單位長度，所得圖象對應的函數（）

JI

n

A.在區間上單調遞減

7元

12.

~n

C.在區間上單調遞減

n

8.(2013?河北衡水中學調研)函數/?(x)=#os(3x+0)U>O,3>0)的局部圖象如下圖，下面結論錯誤的選項

是()

函數F(x)的最小正周期為《

A.117T

B.函數/V)的圖象可由g(x)=4cos3*的圖象向右平移卷個單位長度得到

1乙

C.函數f(x)的圖象關于直線尸治對稱

JL乙

(上、

T

D.函數FJ)在區間上單調遞增

n

\2)

二、填空題

9.函數f(>)=sinx—4sin*os,的最小正周期為

乙乙

5

10.在平面直角坐標系也加中，以x軸為始邊作銳角。，它的終邊與單位圓相交于點力，且點力的橫坐標為X,

那么tan(又一熱的值為.

(3〉0、

11.函數y=4sin(3彳+。),n的局部圖象如下圖，那么。=________

110k旬

］+sin2x

12.函數/Xx)=logL^---的最大值為.

sinx-rZcosx

三、解答題

13.設函數F(x)=3sin(3x+E)lwRJ的最小正周期為5.

(1)求尸(x)的解析式；

(2)利用“五點作圖法”，畫出F(x)在長度為一個周期的閉區間上的簡圖；

⑶石~+立)=2，求cos。的值?

z、(X、

r-.XCOS-

,\/3sin-4

14.向量加=4,〃=，記/'(x)&

U；^cos-J

⑴假設f(x)=l,求cos(x+1-)的值；

(2)在銳角△力比'中,(2a-c)cosB=bcos0,求/*(2用的取值范圍.

15.(2319?青島模擬)函數f(x)=4cos/彳?sin3x+2+a(3>0)圖象上最高點的縱坐標為2,且圖象上相鄰

兩個最高點的距離為冗.

(1)求&和3的值；(2)求函數F(x)在［0，n］上的單調遞減區間.

高考研究課一、三角函數的3個根本考點——定義、公式和關系

全國卷5年命題分析

考點考查頻度考查角度

三角函數的定義5年2考用三角函數的定義求值

同角三角函數根本關系式5年2考求值

誘導公式b年1考變角求值

知識點一、三角函數的定義

典例、(1)點尸從(一1,0)出發，沿單位圓順時針方向運動等弧長到達點0,那么點0的坐標為________.

(2)角o的終邊上一點夕(一水，勿)(而#0),且sin。，求cosa,tana的值.

方法技巧

(1)角。的某三角函數值，可求角。終邊上一點尸的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數

值.

(2)角。的終邊所在的直線方程或角。的大小，根據三角函數的定義可求角。終邊上某特定點的坐標.

即時演練

1.角。終邊與單位圓￥+/=1的交點為/I，那么sin仔+2。)=()

\y)

11C也

A.--B-C.一方-I).1

2.在平面直角坐標系中，點時(3，川)在角a的終邊上，點八(2卬，4)在角■的終邊上，那么加=()

A.—6或1B.—1或6C.6D.1

知識點二、誘導公式

典例、(1)(2019?淄博模擬)sin借+。)=,，那么cos(。一量)=；

小八.A2sin40°cos40°

(2)化簡：、/-1----：----=====________.

cos40—^1—sin50

方法技巧

利用誘導公式化簡三角函數的思路和要求

思路方法：

(1)分析結構特點，選擇恰當公式；

(2)利用公式化成單角三角函數；

(3)整理得最簡形式.

化簡要求：(1)化簡過程是恒等變形；

(2)結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求已值.

即時演練

1.函數/V)=asin(Jix+a)+Z?cos(n￡)，且f(4)=3,那么/'(2017)的值為()

知識點三、同角三角函數的根本關系

同角三角函數的根本關系是三角變換的根底，也是高考命題的熱點，難度不大，屬低檔題.，常見的命題角度有:

1知弦求弦、切問題；

2知切求弦問題；

3sinaicosa,sintfcosa的關系應用問題；

4tana，求Fsina,cosa值問題.

角度一：知弦求弦、切問題

但1

1.cosa=k,aW2，那么sin（JT+。）=（）

A.一也一戶B.yjl一爐C.土｛1一芥D.—k

2.sin[a+W）=—",aW（0,/），那么cosa=（）

1八1八m口亞

A.B--2C2D--2

角度二：知切求弦問題

（三、

32（JI\

3.tan（。一Ji）=彳，且?！?，那么sin。+3=（）

43_n_V27

\27

A.7B.-7C.~D.-7

□0□□

角度三：sinaicosa,sinacosa的關系應用問題

4.（2019?揭陽模擬）sinacosa=J，且”"VaV§~，那么cosa—sina的值為（）

o4/

J3A/333

A-丫R―CD—

A*2244

5.sin(Jiu)cos(Ji十a)—2、。、11J，那么sinucos"—________.

角度四：tana，求F(sina,cosa)值問題

6.a是三角形的內角，且tana=一那么sina+cosa—________.

7.tan(a+￡)—2,tan(a￡)一3，那么‘°々的值為________.

cos2p

方法技巧

同角三角函數根本關系式的應用技巧

技巧解讀適合題型

主要利用公式tan"=衛匕'化成正弦、余弦，或者

cos0表達式中含有sin0,cos8與

切弦互化

利用公式24=tan"化成正切tan§

cos0

1=sin26+cos2。=cos2。（1+tan26）

“1”的變換n_表達式中需要利用"1”轉化

=tan-=（sin9±cos?）￥2sin0cos0

利用(sin8土cos")2=l±2sin，cos。的關系進表達式中含有sin0±cos?；?/p>

和積轉換

行變形、轉化sin"cos0

高考真題演練

3

1.（2019?全國卷10）假設tan。=牙，那么cos?a+2sin2a=（）

t64八48…八16

A,云B-25C-1D-25

2.（2019?大綱卷）角。的終邊經過點（一4,3）,那么cosa=（）

、43c3口4

A.7Bn.7C.--D.—7

5555

3.（2019?全國卷I）假設tan。>0,那么（）

A.sin2o>0B.cosa>0C.sina>0D.cos2。>0

3

4.（2019?全國卷I）。是第四象限角，且三，那么tan

5

高考達標檢測

一、選擇題

5

1.如圖，圓。與X軸的正半軸的交點為/I,點凡。在圓。上，且方§，點。在第一象限，

5n

ZA0C=a,BC=1,那么cos|T

434

A.B.C-D5

555

2.（2019?江西六校聯考）點力（sin2018°,cos20180）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

res0

3.假設sin"r那么tan〃十0的值是（）

A.-2B.2C.±2D.|

—

..-n--r-XJ,a*cos350°2sin1600..

4.（2019?江西五校o聯考）----:--------------=（）

sin—190

A.—\0B.—乎C.乎D.

5.小川，乂）是單位圓（圓心在坐標原點。上任意一點，將射線0A繞0點逆時針旋轉30°，交單位圓于點

?（刈，謁，那么照一％的取值范圍是（）

一1~

__~2

A.[-2,2]B,[-\/2,y/2]C.[-1,1]D.[

_2_

6.（2019?日照模擬）-a<0,sina+cosa=！，那么r~~=二的值為（）

25cosa-sma

72524

B-25CTD-25

二、填空題

sina—JI-Feosn—a

7.假設tana=3，那么

8.（2019?棗莊模擬）cos修一夕）=a（|a|WD，那么cos傳++sin段一的值是________.

9.（2019?成都一診）在直角坐標系才。中，任意角。以坐標原點0為頂點，以彳軸的非負半軸為始邊，假設

w

其終邊經過點P（照，/）,且8=r">0）,定義：sicos0=次不一，稱sicosM為“8的正余弦函數"

假設sicos。=0，那么sin（20-；）=.

三、解答題

3

10.角a的終邊在直線y=-3x上，求10sinaH-------的值.

cosa

cos(a—7n)=-\3?求sin(3丸+a)?tanfa—的值.

11.

5

?tan(JI-a)

12.為第三象限角，f（a）=

(—a—n)

（1）化簡F（。）；（2）假設cos（a一等）=（，求/（。）的值.

能力提高訓練題

1.假設sin(a-￡)cosa—cos(a-j^Jsin。=勿，且￡為第三象限角，那么cos￡的值為()

A.yj1~niB.C.yjnf—1D.—yjnf—1

2.化簡(〃￡Z)的結果為_________.

一c辦osL"2〃富+1;n—xj

高考研究課二、三角函數的1個?？键c一一圖象與性質

全國卷5年命題分析

考點考查頻度考查角度

由單調性求參數、求單調區間與周期、對稱性問題，

三角函數的圖象與性質5年3考

三角函數性質的綜合問題

知識點一、三角函數的定義域、值域

典例、(1)函數y=lg(2sinx—1)十#1-2cosx的定義域是_________.

(2)函數y=2sin|——YJ(0^X^9)的最大值與最小值之和為.

4

(3)函數/'(才)=cos2x+sinx的值域為_________.

JI

<L4J/

方法技巧

1.三角函數定義域的求法

務三房函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數圖象來求解.

2.三角函數最值或值域的求法

(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解.

(2)化一法：把所給三角函數化為y=/siM3x+0)+〃的形式，由正弦函數虺調性寫出函數的值域.

(3)換元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx土cosx換成t，轉化為二次函數求值域.

即時演練

1.函數y=|sinx\+sinx的值域為()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

2.在△力以7中，sin力cos—(2sinC+sin而cosA，那么函數F(x)=2sin2*+sin(2*一力)在區間n上

T

的最大值為.

3.求函數y=sinx+cosx+3cosxsinx的最值.

知識點二、三角函數的單調性

典例、(2019,浙江高考)函數f(x)=sin2A-cos2x-2-\/3sinxcosx(xER).

(1)求丁傳)的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區間.

方法技巧

1.求三角函數單調區間的2種方法

就是將比擬復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一

代換法

個角〃(或力，利用根本三角函數的單調性列不等式求解

圖象法畫出三角函數的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調區間

2.三角函數的單1司區間求參?殳取值范圍的3種方法

求出原函數的相應單調區間，由區間是所求某區間的子集，列不等

子集法

式(組)求解

由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某

反子集法

個單調區間的子集，列不等式(組)求解

由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離天超過"周期列不等

周期性

式(組)求解

即時演練

1.，函數ra)=sin(3＞+?)在2上是減函數，那么3的取值范圍是_______.

I兀＞

2.函數/'(x)=sinATCOSx+cos-的遞減區間是_______.

知識點三、三角函數的周期性、奇偶性及對稱性

正、余弦函數的圖象即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數的圖象只是中心對稱圖形，應把三角函數的

對稱性與奇偶性結