2024-2025學年安徽省合肥市高三上學期第三次月考數學教學診斷檢測試題一、單選題，本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圖中的U是全集，A，B是U的兩個子集，則表示）的陰影部分是（）A. B.C. D.2.已知函數的定義域為，且，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3.直線：，：，若，則實數的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或14.若函數在上不單調，則實數a的取值范圍為（）A B.C. D.5.為應對塑料袋帶來的白色污染，我國于2008年6月1日起開始實施的“限塑令”明確規定商場?超市和集貿市場不得提供免費塑料購物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料購物袋.“限塑令”實施后取得了一定的成效，推動了環保塑料袋產業的發展.環保塑料袋以易降解為主要特點.已知某種環保塑料袋的降解率與時間（月）滿足函數關系式（其中為大于零的常數）.若經過2個月，這種環保塑料袋降解了，經過4個月，降解了，那么這種環保塑料袋要完全降解，至少需要經過（）（結果保留整數）（參考數據：）A.5個月 B.6個月 C.7個月 D.8個月6.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，若，，則（）A. B. C. D.7.若函數且為常數在（為常數）上有最小值，則在上（）A.有最大值12 B.有最大值6C有最小值 D.有最小值8.已知函數（表示不超過的最大整數），，若對任意的，總存在三個不相等的實數，，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知正數滿足，則（）A. B.C D.10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.已知函數關于的方程，下列命題正確的是（）A.若，則方程恰有4個不同的解B.若，則方程恰有5個不同的解C.若方程恰有2個不同的解，則或D.若方程恰有3個不同的解，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.“”是“一元二次方程有實數解”的______條件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）13.已知，，則______．14.已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．四、解答題：本題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數f（x）＝x2－ax＋2．（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實數a，b的值；（2）當時，若關于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實數a的取值范圍．16.已知函數.（1）若時，求的最小值；（2）若恒成立，求實數取值范圍.17.已知為實數，函數（其中是自然對數的底數）.（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的恒成立，求的最小值.18.若至少由兩個元素構成有限集合，且對于任意的，都有，則稱為“集合”．（1）判斷是否為“集合”，說明理由；（2）若雙元素集為“集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件的“集合”．

2024-2025學年安徽省合肥市高三上學期第三次月考數學教學診斷檢測試題一、單選題，本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圖中的U是全集，A，B是U的兩個子集，則表示）的陰影部分是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據集合運算的定義，結合韋恩圖分析即可得解.【詳解】對于A，圖中陰影部分表示，故A錯誤；對于B，圖中陰影部分表示，故B錯誤；對于C，圖中陰影部分表示，故C正確；對于D，圖中陰影部分表示，故D錯誤.故選：C.2.已知函數的定義域為，且，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由已知可得，即的周期為，可得，即可求范圍.【詳解】解：，，即，即，所以4上函數的一個周期，，.故選：C.3.直線：，：，若，則實數的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【正確答案】C【分析】根據兩直線垂直的公式求解即可.【詳解】因為：，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當或時，.故選.4.若函數在上不單調，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由導數在上存在變號零點即可求解.【詳解】由題可得，若函數在上不單調，則時，，故，則．故選：A．5.為應對塑料袋帶來的白色污染，我國于2008年6月1日起開始實施的“限塑令”明確規定商場?超市和集貿市場不得提供免費塑料購物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料購物袋.“限塑令”實施后取得了一定的成效，推動了環保塑料袋產業的發展.環保塑料袋以易降解為主要特點.已知某種環保塑料袋的降解率與時間（月）滿足函數關系式（其中為大于零的常數）.若經過2個月，這種環保塑料袋降解了，經過4個月，降解了，那么這種環保塑料袋要完全降解，至少需要經過（）（結果保留整數）（參考數據：）A.5個月 B.6個月 C.7個月 D.8個月【正確答案】A【分析】由題意可計算出、的值，再令，代入所給函數關系式計算即可得.【詳解】由題意可得，，即有，即，則，令，即，即，則.故這種環保塑料袋要完全降解，至少需要經過5個月.故選：A.6.在平面直角坐標系中，已知點角終邊上一點，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由終邊上點的坐標求出，由的范圍及求得，最后由公式求值即可.【詳解】由點為角終邊上一點得，，，又，，∴，∴，∴.故選：D7.若函數且為常數在（為常數）上有最小值，則在上（）A.有最大值12 B.有最大值6C.有最小值 D.有最小值【正確答案】A【分析】構造函數，證明函數為奇函數，利用奇函數的性質可得最大值，由得解.【詳解】設，因為，所以的定義域為，關于原點對稱，，即為奇函數，且，因為在上有最小值，所以在上有最小值，由奇函數的對稱性知，在上有最大值，所以在上有最大值，故選：A8.已知函數（表示不超過的最大整數），，若對任意的，總存在三個不相等的實數，，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導數求函數的單調區間和極值，則在極小值和極大值之間，又，列不等式求的取值范圍.【詳解】，，解得或，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，時，有極大值；時，有極小值，時，；時，，若對任意的，總存在三個不相等的實數，，，使得，則有，，，即，所以，解得.故選：D.點睛】關鍵點點睛：本題除了利用導數研究函數單調性和極值，關鍵點是理解的意義，得到和的結論.二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知正數滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】A直接應用基本不等式判斷；B由代入目標式，結合二次函數性質判斷；C、D利用基本不等式“1”的代換判斷.【詳解】對于A，因為，且，所以，則，當且僅當時等號成立，正確．對于B，由，得，又，所以，則，所以，當且僅當，即時等號成立，正確．對于C，，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，錯誤．對于D，由，當且僅當，即時等號成立，正確．故選：ABD10.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】A選項，兩式平方后相加得到；D選項，由得到；B選項，利用同角三角函數關系得到；C選項，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【詳解】A選項，因為，兩式平方后相加可得，所以，故A錯誤；D選項，因為，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正確；B選項，，故B正確；C選項，，故，故C錯誤.故選：BD.11.已知函數關于的方程，下列命題正確的是（）A.若，則方程恰有4個不同的解B.若，則方程恰有5個不同的解C.若方程恰有2個不同的解，則或D.若方程恰有3個不同的解，則【正確答案】BC【分析】由得或，畫出的圖象，數形結合即可求解在不同條件下的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以或，的圖象如圖所示，由圖可知與有兩個交點.對于A，若且，則方程恰有2個不同的解，故A錯誤；對于B，若，則與有3個不同的交點，此時方程恰有5個不同的解，故B正確；對于C，若方程恰有2個不同的解，當與沒有交點時滿足題意，此時；當時，方程恰有2個不同的解，此時，故若方程恰有2個不同的解，則或，故C正確；對于D，若方程恰有3個不同的解，則，則與有1個交點，此時或，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.“”是“一元二次方程有實數解”的______條件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）【正確答案】充分不必要【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若一元二次方程有實數解，則，解得，所以由推得出一元二次方程有實數解，故充分性成立，由一元二次方程有實數解推不出，故必要性不成立；所以“”是“一元二次方程有實數解”的充分不必要條件.故充分不必要13.已知，，則______．【正確答案】【分析】由已知條件展開可求得，,代入即可.【詳解】由得：,由得：,所以，,所以.故14.已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．【正確答案】(01)∪(1,4)【詳解】y＝函數y＝kx－2的圖象恒過定點M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.當k＝1時，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時與直線y＝x＋1平行，此時有一個公共點，∴k∈(0,1)∪(1,4)時，兩函數圖象恰有兩個交點．點睛：已知函數零點求參數的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數的圖象，然后數形結合求解．四、解答題：本題共4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數f（x）＝x2－ax＋2．（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實數a，b的值；（2）當時，若關于x不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實數a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據一元二次不等式和一元二次方程的關系得出實數a，b的值；（2）不等式f（x）≥1－x2等價于，結合基本不等式得出實數a的取值范圍．【小問1詳解】若f（x）≤－4的解集為[2，b]，則的解集為[2，b]所以，解得【小問2詳解】由f（x）≥1－x2得對恒成立即在區間恒成立，所以又，當且僅當時，取等號所以，即，故實數的取值范圍為16.已知函數.（1）若時，求的最小值；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）求導，令，可得，進而可得左右兩側的導數值的正負，可求最小值；（2）分離變換可得，令，可得，利用導數求得最大值即可.【小問1詳解】當時，，當時，f′x<0，在上單調遞減；當時，f′x>0，在上單調遞增，.【小問2詳解】由，令，可得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減.17.已知為實數，函數（其中是自然對數的底數）.（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對求導，得到，再分和兩種情況，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；（2）根據條件，利用（1）中結果得到，構造函數，利用導數與函數單調性間的關系，求出的單調區間，進而求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】易知，因為，所以，當時，恒成立，此時在上單調遞增，當時，由，得到，當時，，當時，，即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，綜上，時，在上單調遞增，時，的減區間為，增區間為.【小問2詳解】因為當時，時，，由（1）知，要使對任意的恒成立，則，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，則，由，得到，當時，，時，，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，故的最小值為.18.若至少由兩個元素構成的有限集合，且對于任意的，都有，則稱為“集合”．（1）判斷是否為“集合”，說明理由；（2）若雙元素集為“集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件的“集合”．【正確答案】（1）不，理由見解析；（2）；（3），其中.【分析】（1）根據集合新定義直接判斷即可；（2）設，進而研究或是否存在正整數解即可；（3）討論“集合”為雙元素集或含有兩個以上的元素，同（2）分析及反證法研究是否存在正整數解.【小問1詳解】因為，所以不是“一集合”．【小問2詳解】設．若，則或．