PAGE5-專題強化三天體運動中的三種問題一、近地衛星、同步衛星及赤道上物體的運行問題1．同步衛星和赤道上物體：角速度相同，同步衛星軌道半徑大，則線速度大。2．同步衛星和近地衛星：向心力都是由萬有引力供應，是軌道半徑不同的兩個地球衛星，都滿意v＝eq\r(\f(GM,r))，因此近地衛星的速度大。3．近地衛星和赤道上物體：做圓周運動的半徑相同，由1、2結論可知，近地衛星的線速度最大。4．特殊留意：赤道上物體的向心力由萬有引力和支持力的合力供應，所以Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)不適用。例1(2024·吉林延吉二高模擬)a、b、c、d四顆地球衛星，a還未放射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，向心加速度為a1；b處于近地軌道上，運行速度為v1；c是地球同步衛星，離地心距離為r，運行速度為v2，加速度為a2；d是高空探測衛星，各衛星排列位置如圖所示，已知地球的半徑為R，則有(C)A．a的向心加速度等于重力加速度gB．d的運動周期有可能是20小時C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)D．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)[解析]本題考查地球表面的物體與衛星做圓周運動時的區分和聯系。同步衛星的周期與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，依據a＝ω2r知，c的向心加速度大。由eq\f(GMm,r2)＝ma可知，衛星的軌道半徑越大，向心加速度越小，則同步衛星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，知衛星的半徑越大，周期越大，所以d的運行周期大于c的周期24h，故B錯誤；由a＝ω2r得，eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)，故C正確；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r,R))，故D錯誤。方法總結：衛星與赤道上物體運行問題解題技巧同步衛星是近地衛星與赤道上物體的聯系橋梁，同步衛星與近地衛星符合相同規律，軌道半徑越大，周期T越大，線速度v，角速度ω，向心加速度an越小；同步衛星與赤道上物體有相同的角速度ω和周期T。二、衛星的變軌與對接問題1．衛星的變軌兩類變軌離心運動近心運動變軌起因衛星速度突然增大衛星速度突然減小萬有引力與向心力的關系Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)軌跡改變由圓變為外切橢圓，或由橢圓變為外切圓由圓變為內切橢圓，或由橢圓變為內切圓速度和加速度改變兩個軌道切點的加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度2.衛星的對接在低軌道運行的衛星，加速后可以與高軌道的衛星對接。同一軌道的衛星，不論加速或減速都不能對接。例2(2024·福建漳州一模)(多選)2019年1月3日，“嫦娥四號”月球探測器順當著陸在月球背面，成為人類首個實現軟著陸月背的探測器。著陸前，探測器先在距月球表面高度約為100km的圓軌道上運行；然后在A點實施變軌，使運行軌道變為遠月點A高度約為100km和近月點P高度約為15km的橢圓軌道；再在P點實施制動著陸月背。下列說法正確的是(BC)A．從圓軌道到橢圓軌道的變軌過程中，探測器的機械能變大B．探測器在橢圓軌道運行時，在P點的速率大于在A點的速率C．探測器在P點時的加速度大于在A點時的加速度D．探測器在橢圓軌道的運行周期大于在圓軌道的運行周期[解析]本題考查變軌時機械能、速率、加速度、周期的改變。“嫦娥四號”在A處變軌進入橢圓軌道是由圓周運動變為近心運動，心須點火減速，線速度變小，動能變小，高度降低引力勢能也減小，所以機械能減小，故A錯誤；探測器在橢圓軌道從A點到P點的過程，距離月球變近，萬有引力做正功，動能增大，則探測器在P點的速率大于在A點的速率，故B正確；依據牛頓其次定律有eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，知距離月球越遠，加速度越小，則探測器在P點時的加速度大于在A點時的加速度，故C正確；圓軌道的半徑大于橢圓軌道的半長軸，依據開普勒第三定律，軌道半徑越大運行周期越長，則探測器在橢圓軌道的運行周期小于在圓軌道的運行周期，故D錯誤。規律總結：航天器變軌問題的三點留意事項(1)航天器變軌的半徑的改變，依據萬有引力和所需向心力的大小關系推斷；穩定在新軌道上的運行速度改變由v＝eq\r(\f(GM,r))推斷。(2)同一航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。(3)航天器經過不同軌道相交的同一點時加速度相等，交點處外軌道的速度大于內軌道的速度。三、衛星的追及相遇問題某星體的兩顆衛星之間的距離有最近和最遠之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理，而是通過衛星運動的圓心角來衡量，若它們初始位置在同始終線上，事實上內軌道所轉過的圓心角與外軌道所轉過的圓心角之差為π的整數倍時就是出現最近或最遠的時刻。例3(2024·安徽池州聯考)A、B兩顆人造地球衛星在同一個平面內同向做勻速圓周運動，B星的軌道半徑大于A星的軌道半徑。A星繞地球做圓周運動的周期為2小時，經觀測每過t小時A、B兩顆衛星就會相遇(相距最近)一次。則A、B兩顆衛星的軌道半徑之比為(D)A．eq\r(1＋\f(2,t)3) B．eq\r(1－\f(2,t)3)C．eq\r(3,1＋\f(2,t)2) D．eq\r(3,1－\f(2,t)2)[解析]本題考查不同軌道衛星相距最近時的軌道半徑關系的狀況。A星運動的周期為T1＝2h，軌道半徑為r1，設B星運動周期為T2，軌道半徑為r2，經過t小時A、B兩衛星就會相遇一次，表明A星比B星多轉一圈，有(eq\f(2π,T1)－eq\f(2π,T2))t＝2π，解得T2＝eq\f(2t,t－2)小時；依據開普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，得A、B兩衛星的軌道半徑之比為eq\r(3,1－\f(2,t)2)，選項D正確，A、B、C錯誤。〔專題強化訓練〕1．(2024·江蘇，4)1970年勝利放射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛星，該衛星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設衛星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則(B)A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))[解析]衛星繞地球運動，由開普勒其次定律知，近地點的速度大于遠地點的速度，即v1>v2。若衛星以近地點時的半徑做圓周運動，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,近),r)，得運行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于衛星在近地點做離心運動，則v1>v近，即v1>eq\r(\f(GM,r))，選項B正確。2．(多選)已知地球赤道上的物體隨地球自轉的線速度大小為v1、向心加速度大小為a1，近地衛星線速度大小為v2、向心加速度大小為a2，地球同步衛星線速度大小為v3、向心加速度大小為a3。設近地衛星距地面高度不計，同步衛星距地面高度約為地球半徑的6倍。則以下結論正確的是(BCD)A．eq\f(v2,v3)＝eq\r(6) B．eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)C．eq\f(a2,a3)＝49 D．eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)[解析]近地衛星和同步衛星都繞地球做勻速圓周運動，依據萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，兩衛星的軌道半徑之比為1∶7，所以eq\f(v2,v3)＝eq\f(\r(7),1)，故A錯誤；地球赤道上的物體和同步衛星具有相同的周期和角速度，依據v＝ωr，地球的半徑與同步衛星的軌道半徑之比為1∶7，所以eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)，故B正確；依據萬有引力供應向心力得Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，兩衛星的軌道半徑之比為1∶7，則eq\f(a2,a3)＝49，C正確；同步衛星與隨地球自轉的物體具有相同的角速度，依據a＝rω2，地球的半徑與同步衛星的軌道半徑之比為1∶7，所以eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)，故D正確。3．(2024·安徽六安一中三模)(多選)如圖所示，A、B兩衛星繞地球運行，運動方向相同，此時兩衛星距離最近，其中A是地球同步衛星，軌道半徑為r。地球可看成質量勻稱分布的球體，其半徑為R，自轉周期為T。若經過時間t后，A、B第一次相距最遠，下列說法正確的是(AC)A．在地球兩極，地表重力加速度是eq\f(4π2r3,T2R2)B．衛星B的運行周期是eq\f(2Tt,T＋t)C．衛星B的軌道半徑是req\r(3,\f(2t,t＋T)2)D．若衛星B通過變軌與A對接之后，B的機械能可能不變[解析]本題考查衛星的追及、相遇問題。對于衛星A，依據萬有引力供應向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得地球的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，在地球兩極，依據萬有引力等于重力，可得m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，聯立解得g＝eq\f(4π2r3,R2T2)，故A正確；衛星A的運行周期等于地球自轉周期T，設衛星B的周期為T′。當衛星B比衛星A多轉半周時，A、