專題14.5認識無理數（知識講解）【學習目標】掌握無理數的概念，能正確區別有理數和無理數,掌握無理數的表現形式，并能確找出無理數.【要點梳理】1、定義：有理數：我們把能夠寫成分數形式(m、n是整數，n≠0)的數叫做有理數。無理數：無限不循環小數叫做無理數。如圓周率、。2、有理數的分類整數和分數都可以寫成分數的形式，它們統稱為有理數。零既不是正數，也不是負數。有限小數和無限循環小數都可以看作分數，也是有理數。3、無理數的兩個前提條件：（1）無限（2）不循環4、區別：（1）無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數。（2）任何一個有理數后可以化為分數的形式，而無理數則不能。實數的分類實數注意：通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數（也叫做自然數），負整數和0統稱為非正整數。如果用字母表示數，則a＞0表明a是正數；a＜0表明a是負數；a0表明a是非負數；a0表明a是非正數。幾個易混淆概念【典型例題】類型一、實數的分類1．把下列各數填入相應的括號內：－2，100，－，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，正有理數集合：｛…｝整數集合：｛…｝負分數集合：｛…｝無理數集合：｛…｝【分析】根據有理數和無理數的定義，以及有理數的分類分別進行判斷，即可得到答案．解：根據題意，則正有理數集合：｛0.9，，…｝；整數集合：｛－2，0，…｝；負分數集合：｛－，－∣－5.2∣，…｝；無理數集合：｛100，0.1010010001…，…｝；【點撥】本題考查了有理數和無理數的定義，以及有理數的分類，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行解題．【變式1】把下列各數寫入相應的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）（1）正數集合{

}；（2）有理數集合{

}；（3）無理數集合{}．【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）；（2）、0.1、、、0；（3）、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）．【分析】根據實數的分類標準進行填寫即可．解：（1）正數集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）}；（2）有理數集合{-、0.1、、、0}；（3）無理數集合{、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）}．【點撥】本題主要考查了實數的分類，掌握有理數和無理數的概念是解答本題的關鍵．【變式2】將這些數按要求填入下列集合中：，4，，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，負數集合｛…｝分數集合｛…｝非負整數集合｛…｝無理數集合｛…｝【答案】見解析【解析】試題分析：根據負數、分數、非負整數以及無理數的定義進行判斷即可.題中-（-5）=5，-|-5|=-5.解：負數集合｛，-1，-|-5|，…｝分數集合｛，3.2…｝非負整數集合｛4，0，-（-5）…｝無理數集合｛，…｝類型二、網格上認識無理數1．如圖，在甲乙兩個4×4的方格圖中，每個小正方形的邊長都為1．（1）請求出圖中陰影正方形的邊長；（2）大家知道是無理數，，∴它的整數部分為1，小數部分可以表示為．請在圖乙中畫一個與圖甲陰影部分面積不相等的正方形，要求邊長為無理數，并求所畫正方形邊長的整數部分．（3）的整數部分是；小數部分是．【答案】（1）；（2）圖見解析，整數部分為2；（2）6，【分析】（1）直接根據勾股定理即可求解；（2）畫出正方形，然后利用勾股定理求解即可；（3）估算出的范圍，即可找到答案．解：（1）邊長為；（2）如圖，邊長為，，，整數部分是2；（3），，∴整數部分為6，小數部分為．【點撥】本題主要考查無理數，掌握無理數的估算和勾股定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】在下列網格中分別畫出一個符合條件的直角三角形，要求三角形的頂點均在格點上，且滿足：（1）三邊均為有理數；（2）其中只有一邊為無理數．【答案】答案見解析【分析】（1）由勾股定理得出5，畫出圖形即可；（2）由勾股定理得出直角邊長為2、斜邊長為的等腰直角三角形，畫出圖形即可．解：（1）5，△ABC即為所求，如圖1所示；（2）由勾股定理得：，△DEF即為所求，如圖2所示．【點撥】本題考查了勾股定理、實數的定義；熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算與作圖是解決問題的關鍵．【變式2】如圖，每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD中AC，BD相交于點O，試說明邊AB，BC，CD，AD的長度和對角線AC，BD的長度中，哪些是有理數？哪些不是有理數？【答案】AB，AC，BD的長度是有理數，BC，CD，AD的長度不是有理數.【解析】【分析】運用勾股定理求出各條線段的長度即可求得結果.解：由題圖知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理，得ABBCCDAD因此AB，AC，BD的長度是有理數，BC，CD，AD的長度不是有理數.【點撥】此題主要考查了有理數及無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001?，等有這樣規律的數.類型三、與無理數有關的探究題3．數學老師在課堂上提出一個問題：“通過探究知道：≈1.414…，它是個無限不循環小數，也叫無理數，它的整數部分是1，那么有誰能說出它的小數部分是多少”，小明舉手回答：它的小數部分我們無法全部寫出來，但可以用﹣1來表示它的小數部分，張老師夸獎小明真聰明，肯定了他的說法．現請你根據小明的說法解答：（1）的小數部分是a，的整數部分是b，求a+b﹣的值．（2）已知8+=x+y，其中x是一個整數，0＜y＜1，求3x+（y﹣）2018的值．【答案】（1）1；（2）28.【解析】（1）估算出和的大致范圍，然后可求得a、b的值，然后再求代數式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后進行計算即可．試題解析：（1）∵4＜5＜9，9＜13＜16，∴2＜＜3，3＜＜4．∴a=﹣2，b=3．∴a+b﹣=﹣2+3﹣=1．（2）∵1＜＜2，∴9＜8+＜10，∴x=9．∵y=8+﹣x．∴y﹣=8﹣x=﹣1．∴原式=3×9+1=28．舉一反三：【變式1】（閱讀材料）∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜＜2．∴﹣1的整數部分為1．∴﹣1的小數部分為﹣2（解決問題）的小數部分是多少；我們還可以用以下方法求一個無理數的近似值．閱讀理解：求的近似值．解：設=10+x，其中0＜x＜1，則107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．因為0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值為10.35．理解應用：利用上面的方法求的近似值（結果精確到0.01）．【答案】解決問題：的小數部分為-9；理解應用：的近似值為9.89.【分析】解決問題：先求出介于哪兩個連續的整數之間，即可得出結論；理解應用：設=9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．解：解決問題：∵，即，∴的整數部分為9，∴的小數部分為-9.理解應用：設=9+x，其中0＜x＜1，則97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1，∴97≈81+18x，解之得x≈0.89，即的近似值為9.89.【點撥】本題考查了估算無理數的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．【變式2】觀察下圖,每個小正方形的邊長均為1.

(1)圖中陰影部分(正方形)的面積是多少?它的邊長是多少?(2)估計陰影部分(正方形)的邊長在哪兩個整數之間?【答案】(1).(2)邊長在3與4之間..【解析】試題分析：（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊長；

（2）根據＜＜，可以估算出邊長的值在哪兩個整數之間．試題解析：(1)由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：，則陰影正方形的面積為10，即圖中陰影正方形的面積是10，邊長是.(2)∵＜＜,∴，即邊長的值在3與4之間.類型四、無理數的估算4已知的平方根是，的立方根是2，是的整數部分，求的值..【答案】16【分析】直接利用平方根以及立方根和估算無理數的大小得出a，b，c的值進而得出答案．解：∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，

解得：a=5，

∵3a+b-9的立方根是2，

∴15+b-9=8，

解得：b=2，

∵c是的整數部分，

∴c=7，

則a+2b+c=5+4+7=16．【點撥】此題主要考查了實數的運算，涉及了平方根以及立方根和估算無理數的大小，正確得出a，b，c的值是解題關鍵．舉一反三：【變式1】閱讀理解：∵＜＜，即2＜＜3∴的整數部分為2，小數部分為-2解決問題：已知a-1的平方根是±1，3a+b-2的立方根是2，x是的整數部分，y是的小數部分，求a+b+2x+y-的算術平方根．【答案】3.【分析】根據平方根和立方根的定義解答即可．解：∵a-1的平方根是±1，∴a-1=1，∴a=2，∵3a+b-2的立方根是2，∴3a+b-2=8，∴b=4，∵x是的整數部分，y是的小數部分，∴x=3，y=-3，∴a+b+2x+y-=9，∴a+b+2x+y-的算術平方根=3．故答案為：3.【點撥】本題考查了估算無理數的大小：估算無理數大小要用逼近法．也考查了平方根．【變式2】設2＋的整數部分為x，小數部分為y.（1）求2x＋1的平方根；（2）化簡：|y－2|.【答案】（1）±3；（2）4－.【分析】（1）先求出x和y的值，再根據平方根的定義求解；（2）根據絕對值的定義求解即可。解：解，∴x＝4，y＝2＋－4＝－2（1）（2）|y－2|＝|－2－2|＝|－4|＝4－【點撥】本題考查了無理數的估算，也考查了平方根和絕對值的定義，能估算出的大小是關鍵。類型五、無理數的應用5.閱讀下列材料：設：，①則.②由，得，即.所以.根據上述提供的方法.把和化成分數，并想一想.是不是任何無限循環小數都可以化成分數？【答案】，.任何無限循環小數都可以化成分數.【解析】【分析】設①則，②；由，得；由已知，得，所以任何無限循環小數都可以這樣化成分數.解：設①則，②由，得，即.所以.由已知，得，所以.任何無限循環小數都能化成分數.【點撥】考核知識點：無限循環小數和有理數.模仿，理解材料是關鍵.舉一反三：【變式1】如圖所示，是直角三角形，四邊形是正方形.，.(1)求正方形的面積；(2)求正方形對角線的長.（精確到1)【答案】(1)161；(2)18【分析】（1）在中，根據勾股定理，；（2）連接，在中.根據勾股定理，得.再估計AE大小.解：（1）在中，根據勾股定理，得.所以.所以正方形的面積為161.(2)如圖，連接AE，在中.根據勾股定理，得.所以.因為，，.所以.所以.所以正方形的對角線長約為18.【點撥】此題考查了勾股定理的應用．要注意三角形的三邊的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．【變式2】化簡求值：已知是的整數部分，，求的平方根．已知：實數，在數軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.分析：（1）由