1.集合與元素

(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系,用符號且或色表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數集的記法

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*(或N()ZQR

［注意］N為自然數集(即非負整數集)，包含0,而N*和N+的含義是一樣的,

表示正整數集，不包含0.

2.集合間的基本關系

、表示

自然語言符號語言Venn圖

關系

集合A中所有元素都在集合B中(即若?

子集

(或8叫

或<5^0

集合A是集合B的子集，且集合B中至AB

真子集O

少有一個元素不在集合A中(或8A)

集合相等集合A,B中元素相同A=B

3.集合的基本運算

X集合的并集集合的交集集合的補集

圖形

語言Q?

符號

[源={x|x￡U且依41

語言

4.集合的運算性質

(1)AAA=A,ACI0=0,AHB=BQA.

(2)AUA=A,AU0=A,AU8=8UA.

(3)4n((u4)=。，AU([M)=U,

常用結論

(1)對于有限集合A,其元素個數為〃，則集合A的子集個數為2〃，真子集個

數為2〃-1,非空真子集個數為2〃一2.

(2)473㈡AA3[中.

(3)[(XAn3)=([uA)U([uB)，[MAUB)=([uA)n(CuB).

清易錯,

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1){巾=f+l}={y[y=f+l}={(x,y)|y=f+l}.()

(2)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.()

(3){小Wl}={帕1}.()

(4)對于任意兩個集合A,B,(4nB)U(AUB)恒成立.()

(5)若AnB=AGC,則3=C()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)V(5)X

二、易錯糾偏

常見誤區I(1)忽視集合中元素的互異性致誤；

(2)忽視空集的情況致誤；

(3)忽視區間端點值致誤.

1.已知集合4={1,3,赤},8={1,w),若則相=.

解析：因為所以m=3或m即〃2=3或也=()或/n=1,根據

集合元素的互異性可知，機手1,所以m=0或3.

答案:。或3

2.己知集合M={x|x-2=0},/V={x|ar-l=0},若MCN=N,則實數。

的值是.

解析：易得M={2}.因為MGN=M所以NGM,所巾N=0^N=M,所

以〃=0或a=g.

答案:。或3

2

3.己知集合4={斗￥—4尤+3<0},B={x\2<x<4}f貝ljAGB=

AUB=,(CRA)UB=.

解析：由已知得4={月1VxV3},3={x|2VxV4},所以An8={x|2VxV3},

AU3="|1VxV4},（［RA）UB={XIX^1或K>2}.

答案：（2,3）（1,4）（-oo,1］U（2,+8）

考點探究題型突破

考點KI

集合的概念（自主練透）

1.設集合4={0,1,2,3）,B=（x\~x^A,\~x^A}f則集合3中元素的

個數為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A.若則一x^Ai故人只可能是0,—1,—2,—3,當0C4

時，l-0=l￡A;

當一時，1一（-1）=2￡A;

當一2W8時，1一（一2）=3￡A:

當一3￡8時，1一（一3）=4由4,

所以8={—3},故集合B中元素的個數為1.

3

2.已知集合4={］以￡2,且廠^￡Z},則集合A中的元素個數為（）

A.2B.3

C.4D.5

3

解析：選C.因為:;一ez,所以2—x的取值有-3,-1,1,3,又因為x￡Z,

2—x

所以x的值分別為5,3,1,-1,故集合4中的元素個數為4.

3.已知集合人={m+2,2蘇+機},若3￡A,則m的值為.

3

解析：由題意得m+2=3或2m?+機=3,則m=1或m=一,

當〃7=1時，川+2=3且2m2+m=3,根據集合中元素的互異性可知不滿足

題意：

33

當--

〃=-

2"Z+2=7,而2〃。+〃?=3,符合題意，故2

所以①若B=。,則2加一lv〃z+1,此時m＜2.

2m—11,

加+12-2,解得2WmW3.

(2m—1W5.

由①@可得，符合題意的實數機的取值范圍為〃zW3.

【答案】(1)C(2)D(3)(—8,3]

【遷移探究1】(變條件)本例⑶中，若BA,求加的取值范圍？

解：因為3A,

①若8=0,成立，此時〃zV2.

2m—12根+1,

m+12—2,且邊界點不能同時取得，

(2m~1W5,

解得2這〃zW3.

綜合①②，機的取值范圍為(-8,3].

【遷移探究2】(變條件)本例⑶中，若AGB,求加的取值范圍.

機+1W-2,3,

解：若418,則，、即J、所以機的取值范圍為。.

[2/n—125,1加23.

【遷移探究3](變條件)若將本例(3)中的集合A改為4={x|xv—2或心＞5},

試求機的取值范圍.

解：因為BGA,

所以①當B=0時，2加-1＜加+1,即機＜2,符合題意.

"2+1W2/〃-1機+1W2tn-1,

②當BW。時，,或<

y?z+1>5'[2/71—K—2,

加22,

〃722,

解得或“1即m>4.

,m>4加<一].

綜上可知，實數機的取值范圍為(-8,2)U(4,4-oo).

出陶防明

（I）判斷兩集合關系的3種常用方法

僂學，樂加限中尾爰春豆臬至吝用不褻家通茶:點看正

」辛：較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系

特征分：雙用又■而正而語坂大事:音看點與「石簡：后亞

析法：'等技巧，從元素結構上找差異進行判斷

數軸米_；五前二下底訕工蓑￡由鬲木■A：應至顯氐乏百

:的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系

（2）根據兩集合的關系求參數的方法

方法一二'秦星A）樂五二二為耳嘀,展加章A屆居吳7：親語/

’,解方程（組）求解，此時注意集合中元素的互異性

方于一一：至盡《襄孤狀才濠磊聲尾：岳板至應面由值許

:‘等式（組）求解，此時需注意墻點值能否取到

［提醒］題目中若有條件B=A,則應分8=。和BW。兩種情況進行分類討論.

1.設集合用=**-x>0},N=\x^<1|,貝U()

A.MNB.NM

C.M=ND.MUN=R

解析：選C.集合M={x|f—x>O}={x|x>l或xvO},N=h七<1]={小>1或

x<0},所以M=N.故答案為C.

2.設M為非空的數集，MQ{1,2,3},且M中至少含有一個奇數元素，

則這樣的集合M共有()

A.6個B.5個

C.4個D.3個

解析：選A.由題意知，M={1},(3),(1,2},{1,3),(2,3),{1,2,

3},共6個.

3,若集合4={1,2},B={*d+〃u:+l=O,xeR},且則實數相

的取值范圍為.

解析：①若B=0,則/=機2—4V0,

解得一2VmV2,符合題意;

②若1￡B,則12+機+1=0,

解得機=-2,此時3={1},符合題意;

③若2￡8,則22+2"Z+1=0,

解得"2=—最此時5=’,不合題意.

綜上所述，實數相的取值范圍為[-2,2).

答案：[-2,2)

考點3

集合的基本運算(多維探究)

角度一集合的運算

681方II(1)(2020?高考全國卷I)已知集合A={x|『一3x—4v0},8={-4,1,

3,5),則AA8=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5)D.{1,3}

(2)(2021?東北三校笫一次聯考)已知全集U=R,集合A={4?—2x—3V0},

B=[x：>),貝此()

A.(一8,-1)U(3,+8)B.(一8,-1]U[3,+8)

C.[3,+8)D.(-8,-1]U[1,+oo)

(3)(2020?高考全國卷III)己知集合A={(斯y)|x,y￡N*,y^x],B={(x,y)\x

+y=8},則4nB中元素的個數為()

A.2B.3

C.4D.6

【解析】(1)方法一：由/一3x—4v0,得一即集合4={x[—l<r<4},

又集合3={-4,I,3,5},所以4G5={1,3},故選D.

方法二：因為(一4)2—3><(-4)一4>0,所以一4至4,故排除A;又^—3X1

-4<0,所以1W4,則1￡(AA3),故排除C;5132-3X3~4<0,所以3WA,

則3W(An6),故排除B.故選D.

方法三：觀察集合A與集合8,發現3&4,故3W(AnB),所以排除選項A

和B,又52-3X5-4〉。，所以5M,56(AAB),排除C.故選D.

(2)由已知，得A={X|-1VKV3},B={x\0<x<\]f所以AU3={x[—1<r

<3},所以或x23},故選B.

(3)由題意得，ADB={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以AA5中元素

的個數為4,選C.

【答案】(1)D(2)B(3)C

出倒法明

集合運算的常用方法

(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解.

(2)若集合中的元素是連續的實數，則用數軸表示，此時要注意端點的情況.

角度二利用集合的運算求參數

乘耳(1)(2020?高考全國卷I)設集合4={x*—4W0},B={X|2￥+4<0},

且4n8={x|-2WxWl},則4=()

A.-4B.-2

C.2D.4

(2)(2021?福州市適應性考試)已知集合A={(x,y)|2x+y=0},B={(xfy)\x

+my+l=0}.若AnB=0,則實數加=()

A.-2B.一

C.D.2

【解析】⑴方法一：易知A={x|-2WxW2},3={小〈一芻，因為4nB

={x|—2WxWl},所以一%=1,解得。=—2.故選B.

方法二：由題意得A={R-2WxW2}.若。=-4,則8={x|xW2},又4=

{x|-2WxW2},所以4n8={x|-2WxW2},不滿足題意，排除A;若。=一2,

則8={x|x〈l},又A={*-2Wx<2},所以AnB={x|-2WxWl},滿足題意；

若a=2,則6={4iW-l},又A="|—2W人W2},所以AG6=3-2W4W-1},

不滿足題意，排除C;若〃=4,則B={x|xW-2),又A="|-2〈xW2},所以

AQB={x\x=-2],不滿足題意.故選B.

(2)因為AG8=0,所以直線2r+y=0與直線x+〃zy+l=0平行，所以m=；，

故選C.

【答案】(1)B(2)C

阿國防困

利用集合的運算求參數的值或取值范圍的方法

(1)對于與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值能否取到；

(2)若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,

再列方程(組)求解.

[提醒]在求出參數后，注意對結果的驗證(滿足互異性).

1.(2021?河北九校第二次聯考)已知集合人二住!%2一五一2<0,xez),B={y\y

=2\貝ljAU8=()

A.{1}B.(0,1,2)

C.1,2,4j-D.{0,1,2,4)

解析：選B.A={x|-l<x<2,xeZ}={0,1},B={yfy=2\%￡A}={1,

2},所以AUB={0,1,2},故選B.

2.(2021?四省八校第二次質量檢測)若全集U=R,集合4=(—8,—1)U(4,

+8),B={X|WW2},則如區陰影部分所表示的集合為()

A.{川一2WxV4}B.{x|xW2或x24}

C.{x|-2Wx〈-l}D.{x|—lWxW2}

解析：選D.[uA={x|-lWxW4},3={x|-2WxW2},則所求陰影部分所

表示的集合為C,則。=([〃)C8={x|—l〈xW2}.

3.(2021?廣東省七校聯考)設集合4={1,2,4),8={x|F—4x+m=0},若

AQB={i}t則8=()

A.{1,-3)B.{1,0)

C.{1,3}D.{1,5)

解析：選C.由題意可程1一4+根=0,解得m=3,所以3={4?—4工+3

=0}={1,3),故選C.

砥

方法素養?助學培優〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

核心素養系列1數學抽象——集合的新定義問題

以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以

“發現”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對新概念的理解，充分

體現了核心素養中的數學抽象.

崛］若集合A具有以下性質:

(l)OeA,1GA；

(2)若y￡A,則工一y￡A,且xWO時，^A.

則稱集合4是“好集”.

給出下列說法：

①集合3={-1,0,1}是“好集”；②有理數集Q是“好集”③設集合A

是“好集”，若)心4,則其中，正確說法的個數是()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①集合8不是“好集”，假設集合8是“好集”，因為一

1?從所以一1一1=一2彳8,這與一2G8矛盾.

②有理數集Q是“好集”，因為0￡Q,leQ,對任意的x￡Q,yWQ,有

X-y￡Q,且xW()時，1EQ,所以有理數集Q是“好集”.

③因為集合A是“好集”，則0￡4,由性質(2)知，若y￡A,則0—)，￡4,

知一因此x—(―y)=x+y￡A,所以③正確.故正確的說法是②③.故選C.

【答案】C

典倒法嚼

解決集合的新定義問題的兩個切入點

(1)正確理解新定義.這類問題不是簡單的考查集合的概念或性質問題，而

是以集合為載體的有關新定義問題.常見的命題形式有新概念、新法則、新運算

等；

(2)合理利用集合性質.運用集合的性質(如元素的性質、集合的運算性質等)

是破解新定義型集合問題的關鍵.在解題時要善于從題設條件給出的數式中發現

可以使用集合性質的一些因素，但關鍵之處還是合理利用集合的運算與性質.

拓展練習;

1.如果集合A滿足若則一工￡4那么就稱集合4為“對稱集合”.己

知集合A={2x,0,f+x},且A是對稱集合，集合8是自然數集，則AAB=

解析：由題意可知一2x=f+x,所以x=0或x=—3.

而當x=0時不符合元素的互異性，所以舍去.

當犬=-3時，4={一6,0,6),所以AG8={0,6}.

答案：{0,6}

2.設4,B是非空集合，定義且居AG8}.己知集合4

={x\0<x<2},8={y|y20},MA?B=.

解析：由已知A=304<2},8={)，|y20},

又因為新定義4@8={%僅三408且送4^8},

結合數軸得A?5={0}U[2,+8).

答案：{0}U[2,+8)

知能提升;分層演練

[A級基礎練]

1.(2020?新高考卷I)設集合A={X|1WXW3},3={X|2<EV4}/IJAUB=()

A.{x[2<rW3}B.{x|2Wx<3}

C.*|lWx<4}D.{x\\<x<4}

解析：選C.A={R|1WXW3},B={x\2<x<4}f則AUB={x|lWxV4},選

C.

2.(2020?高考全國卷H)己知集合A={x||x|<3,x￡Z},B={x|W>l,x￡Z},

則AA3=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

解析：選D.通解：因為A={x||x|<3,xez}={x|-3<v<3,%ez)={-2,

-1,0,1,2),B={x||x|>l,x￡Z}={x|x>l或xv-l,x￡Z},所以AAB={—

2,2),故選D.

優解：AC8={x|l<|x|<3,x^Z}={x\-3<x<-\或14<3,xeZ}={-2,

2}?

3.(2020?高考全國卷[I)已知集合U={—2,-1,0,1,2,3),A={-1,

0,1(,B={1,2),則[(XAU5)=()

A.(-2,3)B.(-2,2,3(

C.(-2,-1,0,3)D.(-2,-1,0,2,3)

解析：選A.方法一：由題意，得AU8={-1,0,1,2},所以[（XAU5）

={-2,3},故選A.

方法二：因為2￡B,所以2EAU3,所以2或故排除B,D;又0EA,

所以0WAU3,所以故排除C,故選A.

4.（2021?湖北八校第一次聯考）己知集合M=同『一5犬一6三0},N=

,尸卷‘e-、則（）

A.MJNB.NJM

C.M=ND.MU（[R/V）

解析：選B.由*-5L6W0得一K6,即歷=[-1,6].由尸⑨，x

2—1得0VyW6,即N=（0,6],所以NGM,故選B.

5.（2021?昆明市三診一樓）己知集合A={x￡N"Wl},集合B={xeZ|-

1WXW3},則圖中陰影部分表示的集合是（）

A.[1,3]B.（1,3]

C.{-1,2,3）D.{-1,0,2,3）

解析：選C.因為A={REN|fWl}={x￡N|-lWxWl}={0,1},B={x^Z\

一1WXW3}={-1,0,1,2,3）.圖中陰影部分表示的集合為（1R4）05,[R4

={4xW0且xWl},所以（[RA）n5={-l,2,3},故選C.

6.（2021?廣州市階段訓斑）已知集合A={0,1,2,3},{x|x=n2—1,n

￡A},P=4G5,則P的子集共有（）

A.2個B.4個

C.6個D.8個

解析：選B.因為B={x|x=〃2-1,〃￡A}={-1,0,3,8）,所以尸=AA3

={0,3},所以尸的子集共有22=4個，故選B.

7.（2021?成都市診斷性檢測）已知集合4={-1,0,m},B={1,2}.若AUB

={—1,0,1,2},則實數用的值為（）

A.-1或0B.0或1

C.-1或2D.1或2

解析：選D.因為4=(-1,0,m},8={1,2},AUB={-1,0,1,2),

所以/nEAUB,且相不能等于A中的其他元素，所以m=1或m=2.

?江西五校聯考)己知集合/"={小2Z：

8.(2021—3%+2?0},N={x\y=y[xa}f

若MAN=M,則實數。的取值范圍為()

A.(一8,1]B.(一8,1)

C.(1,+8)D.[1,+8)

解析：選A.由題意，得朋={x\(x-1)(L2)W0}={x|KW2},N={小2},

由MGN=M得，MUN,所以選A.

9.(2021?貴陽市四校聯考)已知集合人={(》，y)|x+y=l}，B={x|x—y=l},

則4nB=()

A.{(1,0)}B.{(0,1)}

C.{1,0}D.0

解析：選D.因為集合A中的元素為點集，集合B中的元素為數集，所以

兩集合沒有公共元素，所以408=3故選D.

10.(2021?武昌區離三調研)己知集合人二住川一上一2V0},8="|。一2VxV

a],若An8={x|—IVxVO},則AU8=()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(-2,1)D.(-2,2)

解析：選D.由/一x-2V0得一1VxV2,即A={x|—1V%V2},因為B=

所以。=所以月-所

{x\a-2<x<a}fAnB=(x|-1<x<0},0,5={2VxV0},

以AU0=(-2,2),故選D.

11.己知集合A={尢*-2^—3WO},B={x|y=ln(2-x)J,則AnB=,

AUB=.

解析：人二民F一2r—3《0}=國(1+1)(%—3)W0}={x|-1WxW3},B={x\y

=In(2-x)}={x\2-x>0}={A|X<2),則AGB=L1，2),AUB=(-8,3].

答案：[-1,2)(一8,3]

12.若集合A=3x+2=0}中只有一個元素，貝1」。=.

9

解析：當。=0時，顯然成立；當aWO時，[