2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．3．已知，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)f(x)＝，的圖象大致是（

）A． B．C． D．5．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若下圖中所示的角為（），且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知外接圓圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．函數(shù)有兩個零點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．有最大值，沒有最小值8．如果一個方程或不等式中出現(xiàn)兩個變量，適當(dāng)變形后，可使得兩邊結(jié)構(gòu)相同，此時可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性把方程或不等式化簡.利用上述方法解決問題：已知實數(shù)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．若函數(shù)的圖象為如圖所示的曲線m和線段n，曲線m與直線l無限接近，但永不相交，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為B．的值域為C．在的定義域內(nèi)任取一個值，總有唯一的y值與之對應(yīng)D．在的值域內(nèi)任取一個值，總有唯一的x值與之對應(yīng)10．已知平面四邊形，則下列命題正確的是（

）A．若，則四邊形是梯形B．若，則四邊形是菱形C．若，則四邊形是平行四邊形D．若且，則四邊形是矩形11．已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（

）A．若，則是的對稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個零點，則12．已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列選項正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．關(guān)于點對稱D．關(guān)于點對稱三、填空題（本大題共4小題）13．已知弧度數(shù)為的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長是.14．已知，則的最小值為.15．如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發(fā)在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點在第1804次相遇時，點的坐標是.16．如圖，在平面直角坐標系中，已知曲線依次為的圖象，其中為常數(shù)，，點是曲線上位于第一象限的點，過分別作軸、軸的平行線交曲線分別于點B、D，過點B作軸的平行線交曲線于點，若四邊形為矩形，則的值是.四、解答題（本大題共6小題）17．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實數(shù)的值.18．已知函數(shù)(1)當(dāng)，求的最大值以及取得最大值時的集合.(2)先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求當(dāng)時，使成立的的取值集合.19．已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．已知角為銳角，，且滿足，(1)證明：；(2)求.21．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種烏龍茶用100℃的水泡制，等到茶水溫度降至60℃時再飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某實驗小組為探究在室溫下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的如下數(shù)據(jù)：時間/min012345水溫/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②（，，）；③（，，）．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的烏龍茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，試判斷進行實驗時的室溫為多少℃，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，．）22．小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動中，定義了一種運等“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，通過研究發(fā)現(xiàn)新運算滿足交換律.小穎提出了兩個猜想：，，，①；②.(1)請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進行證明；若錯誤，請說明理由；（注：兩個猜想都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分）(2)設(shè)且，，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【分析】由集合的交集運算可得.【詳解】，，所以.故選：C.2．【正確答案】B【分析】直接計算得到答案.【詳解】，則.故選：B.3．【正確答案】B根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時，則，但是，不是充分條件，當(dāng)時，因為，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ允潜匾獥l件，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B結(jié)論點睛：本題考查必要不充分條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含.4．【正確答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在上的符號，利用排除法進行判斷即可．【詳解】∵f(x)＝，∴，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，排除D，當(dāng)時，，則，排除B，C.故選：A．5．【正確答案】D【分析】設(shè)大正方形的邊長為，求出小正方形的邊長，根據(jù)小正方形與大正方形面積之比得，再利用弦化切求解可得答案.【詳解】如圖，設(shè)大正方形的邊長為，則小正方形的邊長為，所以小正方形與大正方形面積之比為，化簡得，且，由，解得.故選：D.6．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，向量在向量上的投影向量為．【詳解】如圖，由知為中點，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．7．【正確答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合對各個選項逐個判斷即可.【詳解】在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)，的圖象，從而得函數(shù)圖象，如圖實線部分：對于A，因為函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以是偶函數(shù)，正確；對于B，根據(jù)零點的定義結(jié)合函數(shù)的圖象知，函數(shù)有三個零點，分別為，錯誤；對于C，從函數(shù)圖象觀察得在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確；對于D，從函數(shù)圖象觀察得有最大值，沒有最小值，正確；故選：B8．【正確答案】B【分析】對結(jié)合和變形，得到不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性化簡得到答案.【詳解】由，變形可知，則，利用換底公式等價變形，得，令，因為，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，排除C，D；其次，因為，得，即，即，同樣利用的單調(diào)性知，，又因為，得，即，所以故選：B.9．【正確答案】BC【分析】A選項，取不到-3，A錯誤；B選項，由圖象可知值域為；C選項，由圖象及函數(shù)的定義可知定義域內(nèi)任取一個值，總有唯一的y值與之對應(yīng)；D選項，可舉出反例.【詳解】由題意得：定義域為，A錯誤；的最小值為1，故值域為，B正確；由函數(shù)定義及圖象可知：在的定義域內(nèi)任取一個值，總有唯一的y值與之對應(yīng)，C正確，在的值域內(nèi)任取一個值時，此時有兩個x值與之對應(yīng)，D錯誤.故選：BC10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)向量相等及向量模長的判斷各個選項即可.【詳解】對于A選項：因為，所以,則四邊形是梯形,A選項正確；對于B選項：因為相鄰兩邊相等不能得出四邊形是菱形，所以B選項正確；對于C選項：因為，所以四邊形是平行四邊形,C選項正確；對于D選項：因為，所以,則四邊形是平行四邊形,因為,所以,則四邊形是矩形,D選項正確；故選：ACD.11．【正確答案】BC【分析】求出可判斷A；由恒成立，可知，計算可判斷B；由可得，求解可判斷C；由可得，求解可判斷D.【詳解】對于A，若，則，所以，所以是的對稱軸，故A錯誤；對于B，若恒成立，即恒成立，則,解得：，又因為，則的最小值為2，故B正確；對于C，時，，因為在上單調(diào)遞增，則，解得，故C正確；對于D，時，，若在上恰有2個零點，則，解得，故D錯誤.故選：BC.12．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，推得函數(shù)的對稱性和周期性，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以，；因為是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以，；所以，，所以周期為4，又因為，所以，即為奇函數(shù)，對于A項，因為的圖象關(guān)于直線對稱，故A項正確；對于B項，因為的圖象關(guān)于直線對稱，周期為4，時，，所以；；；所以，故B項正確；對于C項，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，的圖象關(guān)于點對稱，的圖象關(guān)于點對稱，故C項正確，D項錯誤.故選：ABC.13．【正確答案】【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)圓心角與弦長、半徑關(guān)系求，再由弧長公式求圓心角所對的弧長.【詳解】若圓的半徑為，則，可得，∴圓心角所對的弧長.故14．【正確答案】8【分析】利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】時，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故8.15．【正確答案】【分析】計算相遇時間，再確定轉(zhuǎn)過的角度，得到坐標.【詳解】相遇時間為秒，故轉(zhuǎn)過的角度為，故對應(yīng)坐標為，即.故16．【正確答案】/【分析】設(shè)出點坐標，求得點坐標并代入，從而求得的值.【詳解】設(shè)，其中，則，，由解得，則，所以，將點坐標代入得.故17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因為，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因為，所以，即，即，所以，即，解得.18．【正確答案】(1)最大值為2，的集合為.(2)【分析】（1）利用正余弦的兩角和與差的展開式化簡，再根據(jù)的范圍可得答案；（2）根據(jù)平移規(guī)律化簡得到，再解不等式可得答案.【詳解】（1）由題意：函數(shù)，化簡得：，因為，所以，則，當(dāng)即時有最大值，且最大值為2，此時的集合為；（2）將的圖象的橫坐標縮短到原來的得到的圖象，再向右平移個單位后得到，則.即，，（），解得，（），所以成立的的取值集合是.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）分別在和的情況下解方程即可求得結(jié)果；（2）由單調(diào)性可知；當(dāng)時，不等式恒成立，可知；當(dāng)時，分離變量可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，由此可得的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則無解；當(dāng)時，，由得：，解得：，又，，則；綜上所述.（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，，則，則；當(dāng)時，，，，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.20．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的正切公式計算可得即可證明；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合求解即可【詳解】（1）證明：因為，所以，因為為銳角且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（2）由，結(jié)合角為銳角，解得，，因為，且所以.又，所以21．【正確答案】(1)理由見解析，(2)剛泡好的烏龍茶大約放置能達到最佳飲用口感(3)烏龍茶所在實驗室的室溫約為20℃【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的特點，分析判斷即可得到結(jié)果，然后將點的坐標代入即可得到解析式；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，然后代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)所選函數(shù)模型，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）選擇②（，，）作為函數(shù)模型．由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值減小，所以不應(yīng)該選擇對數(shù)增長模型③；當(dāng)自變量增加量為1時，函數(shù)值的減少量有遞減趨勢，不是同一個常數(shù)，所以不應(yīng)該選擇一次函數(shù)模型①．故應(yīng)選擇②（，，）將表中前的數(shù)據(jù)代入，得，解得，所以函數(shù)模型的解析式為：．（2）由（1）中函數(shù)模型，有，即，所以，即，所以剛泡好的烏龍茶大約放置能達到最佳飲用口感．（3）由為減函數(shù)，且當(dāng)x越大時，y越接近20，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，所以烏龍茶所在實驗室的室溫約為20℃．22．【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）無論選①還是選②，均要根據(jù)新運算定義分別計算兩個猜想等式的兩邊，比較其結(jié)果，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)新運算定義化簡可得的表達式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合其值域可得關(guān)于的方程，繼而推出是在上的兩個不同