高考資源網(）您身邊的高考專家（AI教學）訂購熱線密★啟用前2024年下學期高三期末質量檢測數學本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則A. B. C. D.2.已知復數，則A. B. C. D.13.已知非零向量，滿足，且，則與的關系是A.垂直 B.共線 C.夾角為 D.夾角為4.已知函數是上的增函數，則實數的取值范圍是A. B.（0，4） C. D.5.設，分別是橢圓的左、右焦點，過點作軸的垂線交于，兩點，其中點在第一象限，且.若是上的動點，則滿足是直角三角形的點的個數為A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內部有一個內切球（與上、下底面和三個側面都相切），則正三棱臺的高為A.3 B.4 C.5 D.67.已知數列滿足，則下列說法正確的是A.所有項恒大于等于B.若，則是單調遞增數列C.若是常數列，則D.若，則是單調遞增數列8.在平面直角坐標系中，，，，其中，，，則當面積最小時，A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.設樣本空間含有等可能的樣本點，且，，，則下列結論正確的是A. B.C. D.10.斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，與雙曲線交于，兩點，是線段的中點，則下列說法正確的是A.是雙曲線兩條漸近線所構成的“X”形圖象的方程B.也是線段的中點C.若過雙曲線的焦點，則直線的斜率是D.若過雙曲線的焦點，點的坐標為（2，1），則11.已知的定義域為非零有理數集，且滿足下面三個性質：①；②；③當時，，其中下列說法正確的是A.若，，則B.恰有兩個整數解C.若，，則，，中至少有兩個相等D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個正四面體四個面顏色各不相同.我們規定：如果兩個已上色的四面體，可以通過旋轉將其中一個變得與另一個完全相同，則認為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有__________種.14.在平面直角坐標系中，射線，，半圓.現從點向上方區域的某方向發射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線，時會發生鏡面反射.設光線在發生反射前所在直線的斜率為，若光線始終與半圓沒有交點，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，.（1）求的外接圓半徑；（2）若為銳角三角形，求周長的取值范圍.16.（15分）如圖，正方體的棱長為1，點，分別在線段，上，且，.（1）若，證明：；（2）若，點，分別在直線，上，且，，求的取值范圍.17.（15分）箱子里有四張卡片，分別寫有數字1，2，3，4，每次從箱子中隨機抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數字，然后將卡片放回箱子.重復這個操作，直到滿足下列條件之一結束：（a）第一次抽取的卡片上寫的數字是4；（b）設為大于等于2的整數，第次抽取的卡片上寫的數字大于第次抽取的卡片上寫的數字.例如，當記錄的數字依次為3，2，2，4時，這個操作在第4次結束.（1）若操作進行了4次仍未結束，求前四次抽取的情況總數；（2）求操作在第次結束的概率.18.（17分）已知函數，.（1）設直線與曲線交于點，求點縱坐標的最小值；（2）a取遍全體正實數時，曲線在坐標平面上掃過一片區域，該區域的下邊界為函數，求的解析式；（3）證明：當時，對任意正實數，.（附：）19.（17分）在直角坐標系中，橢圓經過點，短半軸長為.過點作直線交于，兩點，直線交軸于點，直線交軸于點，記直線，的斜率分別為和.（1）求的標準方程；（2）證明是定值，并求出該定值；（3）設點，證明上存在異于其上下頂點的點，使得恒成立，并求出所有滿足條件的點坐標.2024年下學期高三期末質量檢測·數學參考答案、提示及評分細則1.【答案】B【解析】表示滿足的奇數，.2.【答案】D【解析】.3.【答案】B【解析】，，即兩者共線.4.【答案】A【解析】.5.【答案】C【解析】，，.，即，取上頂點時最大..不會為直角，只有當或是直角才符合題意.6.【答案】D【解析】如左圖所示作截面，得到右圖，由勾股定理可得高為6.7.【答案】D【解析】A錯，首項不一定成立；B錯，，，而；C錯，還可以令；D對，，因為，所以是單調遞增數列.8.【答案】C【解析】如圖所示，設，，，，，所以由可得，，記，則，時，，即，時可取最小值而.9.【答案】ABD【解析】A.，A正確；B.，B正確；C.，而，C錯誤；D.，D正確.10.【答案】ABD【解析】A.，或，這恰為雙曲線兩條漸近線，A正確；B.分別聯立與，得和這兩式的兩根之和都是，所以，共用同一個中點，B正確；C.點差法可得直線的斜率是，C錯誤；D.由C選項可知，即，D正確.11.【答案】AC【解析】A選項：先證是偶函數，令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數；因為，，所以，A正確；B選項：假設選項正確，則對于任意除1和-1以外的整數，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯誤.C選項：，所以，若，結論顯然成立；若，則，即或，結論依然成立，C正確；D選項：，，D錯誤.12.【答案】【解析】，.13.【答案】2【解析】假設一個正四面體四個頂點為，，，，則作底面頂點時，通過旋轉，除底面外三個面的朝向有三種，如圖所示：同理，，作底面頂點時也分別有3種，一共有12種，即一個正四面體可以通過旋轉得到12種朝向.因為四種顏色的排列數有種，所以一共有種不同的上色模式.14.【答案】【解析】將半圓依次沿著，，對稱，如圖所示：光線在鏡面發生反射可以等效處理為：光線進入了鏡子后的空間，因此問題就轉化為光線如何與鏡子內外的圓沒有交點，光線變化的范圍如圖所示.只需考慮光線與，，相切時的斜率，按上圖寫出范圍即可.15.【解析】（1），根據正弦定理，可把原式化簡為，即，再由余弦定理得由于，所以， ……2分，根據解得，所以的外接圓半徑為. ……5分（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以， ……8分因為為銳角三角形，所以， ……10分所以，則，所以，則.所以周長的取值范圍為. ……13分16.【解析】（1）連接，，則是的中點，所以，因為面，面，所以，所以. ……4分（2）以點為原點，，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，所以，，所以， ……6分又，設直線的方向向量為，則由得，又， ……8分所以 ……10分由得， ……11分易知在單調遞減，單調遞增所以，所以. ……15分17.【解析】（1）15種：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333. ……4分（2）設操作在第次結束的概率為，操作在第次未結束的概率為.當時， ……6分當時，.接下來我們討論操作進行了次，但是并沒有結束的情形，抽取的數字結構如下所示：分別設序列中的3，2，1的個數為，，，可知.利用隔板法，可以知道對應情形的數量，操作如下：令，，，即，一共有種情形， ……10分各情形概率均為，所以有.當時，. ……13分經檢驗，其對依然成立，即. ……15分18.【解析】（1）時，.令，當且僅當時等號成立，所以點縱坐標的最小值為. ……4分（2），令，則①當，即時，，在上單調遞增，； ……7分②當，即時，由，在上單調遞減，在上單調遞增，.綜上所述，. ……10分（3）由第（2）問可知恒成立，所以只需證明即可.①若，構造因為，所以在上恒成立，在上單調遞增，所以，即在上恒成立； ……13分②若，，因為，所以構造，則.令，則，所以在單調遞增，而，所以恒成立，在單調遞增，.因為，即，，所以，而，即證在上恒成立 ……17分19.【解析】（1）由已知得的標準方程為. ……4分（