文科數學一、單選題（共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A. B. C. D.2.已知i是虛數單位，則A.i B. C. D.13.已知函數，若，則A. B.0 C.1 D.4.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x（每分鐘鳴叫的次數）與氣溫y（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地觀測人員根據下表的觀測數據，建立了y關于x的線性回歸方程.則當蟋蟀每分鐘鳴叫80次時，該地當時的氣溫預報值為x（次數/分鐘）2030405060y（℃）2527.52932.536A.38℃ B.39℃ C.40℃ D.41℃5.雙曲線的焦距為，若，，成等差數列，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.6.已知為圓O的一條弦，且，則A.4 B. D.7.在長方體中，，，，則與平面所成角的正切值為A. B.2 C. D.8.化簡A. B. C. D.9.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數為A. B. C. D.10.的內角A，B，C所對的邊分別為a，b、c.已知，，則A. B. C. D.11.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，即，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.記，則A. B. C.m D.12.已知，，對，且，恒有，則實數a的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分.）13.拋物線的準線方程是，則_______.14.已知函數，，則其值域為_______.15.若，則函數有零點的概率為________.16.農歷五月初五是端午節，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，古稱“角黍”.如圖，是由六個邊長為3的正三角形構成的平行四邊形形狀的紙片，某同學將其沿虛線折起來，制作了一個粽子形狀的六面體模型，則該六面體的體積為_____；若該六面體內有一球，則該球體積的最大值為________.三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.）（一）必考題：共60分17.（本小題12分）已知等差數列的前n項和為，，且，，成等比數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若，是數列的前n項和，求.18.（本小題12分）搪瓷是在金屬坯體表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾經是人們不可或缺的生活必備品，廚房用具中的鍋碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗臉用到的臉盆；婚嫁禮品等，它濃縮了上世紀整整一個時代的記憶．某搪瓷設計公司新開發了一種新型復古搪瓷水杯，將其細分成6個等級，等級系數X依次3，4，5，6，7，8，該公司交給生產水平不同的A和B兩個廠生產，從B廠生產的搪瓷水杯中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如圖所示.（1）依據圖表，若從上述等級系數為7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求這兩件全部來自等級系數為8的搪瓷水杯的概率；（2）若A廠生產搪瓷水杯的等級系數的平均值為6，在電商平臺上A廠生產的搪瓷水杯的零售價為36元/件，B廠生產的搪瓷水杯的零售價為30元/件．設，若以L的值越大，產品越具可購買性為判斷標準．根據以上數據，哪個工廠的產品更具可購買性?說明理由.19.（本小題12分）如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面.（1）求證：；（2）若點E是線段上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐的體積為?20.（本小題12分）已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，，T為橢圓C上任意一點，面積的最大值為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知，過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線，與x軸的交點分別為P，Q，證明：以為直徑的圓過定點.21.（本小題12分）已知函數.（1）討論在上的單調性；（2）若對于任意，若函數恒成立，求實數k的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標系與參數方程]在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為，（t為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）在直角坐標系中，若把曲線圖象向下平移2個單位，然后橫坐標不變，縱坐標壓縮到原來的，得到曲線，直線l與曲線交于點M、N，與x軸交于點P，求的值.23.[選修4-5：不等式選講]已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，零a的取值范圍.參考答案1-5ABCCA 6-10DDBCB 11-12BA11.【答案】B【解答】解：因為所以因為，，所以.12.【答案】A解：依題意，得，且，所以.所以，則在上單調遞增，令，則在恒成立，即，令，則，當時，；當時，，故，所以.13.14.15.16.，【解析】解：由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體組成的，兩個正四面體的底面為邊長為3的正三角形其面積為，每個正四面體的高為，故每個正四面體的體積為，因此該六面體的體積為；要使小球的體積達到最大，需球與該六面體的六個面都相切，連接球心和該六面體的五個頂點，六面體被分成了六個三棱錐．設球的半徑為R，則，解得，所以球的體積.三、解答題（本大題共7小題，共84.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.【答案】解：（Ⅰ），，設數列的公差為d，由，，成等比數列得，，，（Ⅱ），.18.【答案】解：（1）設等級系數為7的搪瓷水杯為A，B，C，等級系數為8的搪瓷水杯為a，b，c，則從中抽取2件的基本事件為，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中兩件全部來自等級系數為8的搪瓷水杯的基本事件為，，共3種，所以概率為.（2）A廠產品更具有購買性，理由如下：將頻率視為概率，可得B廠生產的搪瓷水杯的等級系數的平均值為，即B廠生產的搪瓷水杯的等級系數平均值為4.8，A廠生產的搪瓷水杯的等級系數的平均值等于6，價格為36元/件，，B廠生產的搪瓷水杯的等級系數的平均值等于4.8，價格為30元/件，，，故A廠生產的搪瓷水杯更具可購買性.19.【答案】證明：（1）四邊形是直角梯形，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）由（1）可知平面，，設，則E到平面的距離.是等腰直角三角形，，，，，即..E為線段上靠近點D的三等分點.20.【答案】（1）解：因為橢圓C的離心率為，所以.又當T位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.又，即，所以，.所以橢圓C的標準方程為.（2）證明：由題知，直線l的斜率存在，所以設直線l的方程為，設，，將直線l代入橢圓C的方程得：，由韋達定理得：，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.21.【答案】解：（1）令，則；令，則在單調遞增，在單調遞減.（2）令，有當時，，不滿足，所以，令在恒成立，則在單調遞減，當，即時，在單調遞減，，滿足題意當，即時，因為在單調遞減；存在唯一，使得，在單調遞增，不滿足，舍去，綜上：22.解：（1）由直線l的參數方程為（t為參數），將代入中，可得；曲線的極坐標方程為，所以有，即，所以.（2）把曲線圖象向下平移2個單位，然后橫坐標不變，縱坐標