2023-2024學年九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）拋物線y=3（x-2）2+5的對稱軸是（）A.x=2 B.x=?2 C.x=5 D.x=?2平面內有一點P到圓上最遠的距離是6，最近的距離是2，則圓的半徑是（）A.2 B.4 C.2

或4 D.8如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點E在AB上，過點E作⊙O的切線，分別與PA，PB相交于點C，D．若PA=3cm，則△PCD的周長等于（）

A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm已知二次函數y=ax2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是（）x6.176.186.196.20y-0.03-0.010.020.04A.?0.01<x<0.02 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20如圖，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠BED的正切值等于（）A.255

B.55

C.2

如圖，已知二次函數y1=23x2-43x的圖象與正比例函數y2=23x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是（）A.0<x<2

B.0<x<3

C.2<x<3

D.x<0或x>3

將函數y=kx2與y=kx+k的圖象畫在同一個直角坐標系中，可能的是（）A. B. C. D.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，F是CD上一點，且DF=BC，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，則∠E的度數為（）A.45°

B.50°

C.55°

如圖，直線y=x與拋物線y=ax2（a＞0）在y軸右側依次交于A1，A2，A3…An，且OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An（n為正整數），其中經過點A1的拋物線為y=x2，則過點An的拋物線為（）A.y=1nx?2 B.y=1n?1如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110°，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在AB上的點D處，折痕交OA于點C，則AD的度數為（）A.40°

B.50°

C.60°

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）如圖所示，在直角△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設直線x=t截此三角形所得的陰影部分面積是S，則S與t之間的函數關系式是______．

如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加______m．

定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如min{1，-2}=-2，min{-1，2}=-1，則min{x2-1，-2}的值是______．如圖，小量角器的0°刻度線在大量角器的0°刻度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．如果它們外緣邊上的公共點P在大量角器上對應的度數為40°，那么在小量角器上對應的度數為______．（只考慮小于90°的角度）如圖，已知⊙O的半徑為5，銳角△ABC內接于⊙O，AB=8，BD⊥AC于D，若CD=4，則BD的長為______．

三、解答題（本大題共7小題，共55.0分）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D．已知：AB=24cm，CD=8cm．

（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求（1）中所作圓的半徑．

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發，那么經過多少秒，四邊形APQC的面積最?。?/p>

青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間價格比淡季上漲13．下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關記錄：

淡季旺季未入住房間數100日總收入（元）2400040000（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？

（2）今年旺季來臨，豪華間的間數不變．經市場調查發現，如果豪華間仍舊實行去年旺季價格，那么每天都客滿；如果價格繼續上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數增加1間．不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

如圖，AB是⊙O的直徑，在圓上取點C，延長BC到D，使BC=CD，連接AD交⊙O于點E，過點C作CF⊥AD，垂足為F．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若AE=25，sin∠BAE=23，求CF的長．

某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．

（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；

（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？

（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度．

小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．

求函數y=-x2+3x-2的“旋轉函數”．

小明是這樣思考的：由函數y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根據：a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能確定這函數的“旋轉函數”．

請參考小明的方法解決下面問題：

（1）寫出函數y=-x2+3x-2的“旋轉函數”；

（2）若函數y=-x2+43mx-2與y=x2-2nx+n互為“旋轉函數”，求（m+n）2018；

（3）已知函數y=-12(x+1)(x?4)的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1、B1、C1，試證明經過點A1、B1、C1的二次函數與函數y=-12(x+1)(x?4)互為“旋轉函數”．

已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數關系式及點C的坐標；

（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵y=3（x-2）2+5，

∴此函數的對稱軸就是x=2．

故選：A．

由于所給的是二次函數的頂點式，故能直接求出其對稱軸．

本題考查了二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式y=a（x-h）2+k中，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．2.【答案】C

【解析】解：∵點P到⊙O的最近距離為2，最遠距離為6，則：

當點在圓外時，則⊙O的直徑為6-2=4，半徑是2；

當點在圓內時，則⊙O的直徑是6+2=8，半徑為4，

故選：C．

分兩種情況：點在圓外，直徑等于兩個距離的差；點在圓內，直徑等于兩個距離的和．

本題考查了點與圓的位置關系，注意此題的兩種情況．從過該點和圓心的直線中，即可找到該點到圓的最小距離和最大距離．3.【答案】B

【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，

∴PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，

∴△PCD的周長=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；

故△PCD的周長是6cm．

故選：B．

由PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，根據切線長定理可得：PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長=PA+PB．

此題主要考查了切線長定理的應用，能夠將△PCD的周長轉換為切線PA、PB的長，是解答此題的關鍵．4.【答案】C

【解析】解：由表格中的數據看出-0.01和0.02更接近于0，故x應取對應的范圍．

故選：C．

觀察表格可知，y隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之間由負到正，故可判斷ax2+bx+c=0時，對應的x的值在6.18～6.19之間．

本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是找到y由正變為負時，自變量的取值即可．5.【答案】D

【解析】解：∵∠DAB=∠DEB，

∴tan∠DAB=tan∠DEB=．

故選：D．

根據同弧或等弧所對的圓周角相等來求解．

此題主要考查了圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相等的角是解題關鍵．6.【答案】C

【解析】解：∵二次函數y1=x2-x的圖象與正比例函數y2=x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），

∴由圖象得：若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是：2＜x＜3．

故選：C．

由二次函數y1=x2-x的圖象與正比例函數y2=x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），然后觀察圖象，即可求得答案．

此題考查了二次函數與不等式的關系．注意掌握數形結合思想的應用是關鍵．7.【答案】C

【解析】解：當k＞0時，

函數y=kx2的圖象是開口向上，頂點在原點的拋物線，y=kx+k的圖象經過第一、二、三象限，是一條直線，故選項A、B均錯誤，

當k＜0時，

函數y=kx2的圖象是開口向下，頂點在原點的拋物線，y=kx+k的圖象經過第二、三、四象限，是一條直線，故選項C正確，選項D錯誤，

故選：C．

根據題意，利用分類討論的方法，討論k＞0和k＜0，函數y=kx2與y=kx+k的圖象，從而可以解答本題．

本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．8.【答案】B

【解析】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°．

∵=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°．

故選：B．

先根據圓內接四邊形的性質求出∠ADC的度數，再由圓周角定理得出∠DCE的度數，根據三角形外角的性質即可得出結論．

本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．9.【答案】A

【解析】解：分別作A1B1垂直x軸，A2B2垂直x軸，…AnBn垂直x軸，

∵經過點A1的拋物線為y=x2，直線為y=x，

∴可得點A1坐標為（1，1），A1B1=1，OB1=1，

又∵A1B1∥A2B2∥AnBn，OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An，

∴可得A1B1=1，A2B2=2，…AnBn=n，

故可得拋物線經過點（n，n），代入拋物線y=ax2（a＞0），可得a=，

故拋物線方程為：y=x2．

故選：A．

分別作A1B1垂直x軸，A2B2垂直x軸，…AnBn垂直x軸，先根據題意求出A1的坐標，從而利用平行線分線段成比例的知識，可求出y=x與拋物線交點坐標的特點，繼而代入拋物線方程即可得出答案．

此題屬于二次函數的綜合題，求出A1的坐標，利用平行線分線段成比例的知識求出An的坐標是解答本題的關鍵，難度一般．10.【答案】B

【解析】解：連結OD，如圖，

∵扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在上的點D處，折痕交OA于點C，

∴BC垂直平分OD，

∴BD=BO，

∵OB=OD，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°，

∴的度數為為50°，

故選：B．

連結OD，先根據折疊的性質得到BC垂直平分OD，則BD=BO，易得△OBD為等邊三角形，所以∠DOB=60°，則∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°．

本題考查了圓周角定理和折疊的性質，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．11.【答案】S=12t2（0≤t≤3）

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°，

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=×OD×CD

=t2（0≤t≤3），

∴S與t之間的函數關系式是S=t2（0≤t≤3），

故答案為S=t2（0≤t≤3）．

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行線的性質得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，進而證明OD=CD=t；最后根據三角形的面積公式，解答出S與t之間的函數關系式．

本題主要考查了動點問題的函數圖象，根據題意列出函數關系式是解決問題的關鍵．12.【答案】（42-4）

【解析】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，

拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2），

通過以上條件可設頂點式y=ax2+2，其中a可通過代入A點坐標（-2，0），

到拋物線解析式得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2，

當水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：

當y=-2時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩點之間的距離，

可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：

-2=-0.5x2+2，

解得：x=±2，所以水面寬度增加到4米，比原先的寬度當然是增加了（4-4）米，

故答案為：4-4．

根據已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數解析式，再通過把y=-2代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．

此題主要考查了二次函數的應用，根據已知建立坐標系從而得出二次函數解析式是解決問題的關鍵．13.【答案】-2

【解析】解：∵x2≥0，

∴x2-1≥-1，

∴x2-1＞-2．

∴min{x2-1，-2}=-2，

故答案為-2．

比較x2-1與-2的大小，得到答案．

本題考查的是與二次函數和一次函數有關的新定義，根據題意理解新定義的計算公式是解題的關鍵，注意：一次函數和二次函數的性質的運用．14.【答案】70°

【解析】解：設大量角器的左端點是A，小量角器的圓心是B，連接AP，BP，則∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器所求弧所對的圓心角為70°，因而P在小量角器上對應的度數為70°．

故答案為：70°；

設大量角器的左端點為A，小量角器的圓心為B．利用三角形的內角和定理求出∠PBA的度數．然后根據圓的知識可求出小量角器上對應的度數．

本題主要考查了直徑所對的圓周角是90度．能把實際問題轉化為數學問題是解決本題的關鍵．15.【答案】163

解：如圖，延長BO交⊙O于H，連接AH，

∵BH是⊙O的直徑，

∴∠HAB=90°，

∴AH===6，

∵∠HAB=∠CDB=90°，∠H=∠C，

∴△HAB∽△CDB，

∴=，即=，

解得，BD=，

故答案為：．

延長BO交⊙O于H，連接AH，根據勾股定理求出AH，證明△HAB∽△CDB，根據相似三角形的性質列式計算即可．

本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．16.【答案】解：（1）作弦AC的垂直平分線與弦AB的垂直平分線交于O點，以O為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．

（2）連接OA，設OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，

則根據勾股定理列方程：

x2=122+（x-8）2，

解得：x=13．

答：圓的半徑為13cm．

【解析】

（1）、由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點O，則點O是弧ACB所在圓的圓心；

（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長．

本題利用了垂徑定理，中垂線的性質，勾股定理求解．17.【答案】解：設經過x秒，四邊形APQC的面積最小

由題意得，AP=2x，BQ=4x，

則PB=12-2x，

△PBQ的面積=12×BQ×PB

=12×（12-2x）×4x

=-4（x-3）2+36，

當x=3s時，△PBQ的面積的最大值是36mm2，

此時四邊形APQC的面積最小．

設經過x秒，四邊形APQC的面積最小，根據題意列出△PBQ的面積關于x的解析式，根據二次函數的性質求出△PBQ的面積的最大值，得到答案．

本題考查的是二次函數的應用，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．18.【答案】解：（1）設淡季每間的價格為x元，酒店豪華間有y間，

x(y?10)=24000x(1+13)y=40000，

解得，y=50x=600，

∴x+13x=600+13×600=800，

答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價格為800元；

（2）設該酒店豪華間的價格上漲x元，日總收入為y元，

y=（800+x）（50-x25）=?125(x?225)2+42025，

∴當x

（1）根據題意可以列出相應的方程組，進而求得該酒店豪華間的間數和旺季每間的價格；

（2）根據題意可以求得總收入和上漲價格之間的函數解析式，然后化為頂點式即可解答本題．

本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質解答．19.【答案】解：（1）連接OC．

∵BC=CD，OB=OA，

∴OC∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線．

（2）連接BE．

∵AB是直徑，

∴∠BEA=90°，

∵sin∠BAE=BEAB=23，設BE=2k，AB=3k，

則AE=5k，

∵AE=25，

∴k=2，BE=4，

∵CF∥BE，BC=CD，

∴EF=DF，

∴CF=12BE=2．

（1）欲證明CF是切線，只要證明OC⊥CF即可；

（2）想辦法求出BE，再證明CF是△BDE的中位線即可解決問題；

本題考查切線的判定、圓周角定理、三角形的中位線定理、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用此時解決問題，屬于中考常考題型．20.【答案】解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=a（x-3）2+5（a≠0），

將（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，

解得：a=-15，

∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=-15（x-3）2+5（0＜x＜8）．

（2）當y=1.8時，有-15（x-3）2+5=1.8，

解得：x1=-1，x2=7，

∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內．

（3）當x=0時，y=-15（x-3）2+5=165．

設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=-15x2+bx+165，

∵該函數圖象過點（16，0），

∴0=-15×162+16b+165，解得：b=3，

∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=-15x2+3x+165=-15（x-15

（1）根據頂點坐標可設二次函數的頂點式，代入點（8，0），求出a值，此題得解；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征，求出當y=1.8時x的值，由此即可得出結論；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出拋物線與y軸的交點坐標，由拋物線的形狀不變可設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=-x2+bx+，代入點（16，0）可求出b值，再利用配方法將二次函數表達式變形為頂點式，即可得出結論．

本題考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式；（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征求出當y=1.8時x的值；（3）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式．21.【答案】解：（1）由y=-x2+3x-2函數可知a1=-1，b1=3，c1=-2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得

a2=1，b2=3，c2=2．

函數y=-x2+3x-2的“旋轉函數”為y=x2+3x+2；

（2）由y=-x2+43mx-2與y=x2-2nx+n互為“旋轉函數“，得

-2n=43m，-2+n=0．

解得n=2，m=-3．

當m=2，n=-3時，（m+n）2018=（2-3）2018=（-1）2018=1；

（3）∵當y=0時，-12（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，x=4，

∴A（-1，0），B（4，0）．

當x=0時，y=-12×（-4）=2，即C（0，2）．

由點A，B，C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，得

A1（1，0），B1（-4，0），C1（0，-2）．

設過點A1，B1，C1的二次函數y=ax2+bx+c，將A1，B1，C1代入，得

a+b+c=016a?4b+c=0c=?2，

解得a=12b=32c=?2，

過點A1，B1，C1的二次函數y=12x2+32x-2．

y=-12（x+1）（x-4）=-12x2+32x+2函數可知a1=-12，b1=32，c1=2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得a2=12，b2=32，c2=-2．

y=-12（x+1）（x-4）的“旋轉函數”為y=12x2+32x-2．

（1）根據y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，可得旋轉函數；

（2）根據y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，根據負數偶數次冪是正數，可得答案；

（3）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B、C的坐標，根據關于原點對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得A1，B1，C1，根據待定系數法，可得函數解析式；根據y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，可得旋轉函數．

本題考查了二次函數綜合題，利用y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”得出a2，b2，c2是解題關鍵．22.【答案】解：（1）∵拋物線y=ax