函數的極值與最值函數的極值與最值理論和生產實踐中很多問題都可歸結為求某一函數(通常稱為目標函數)的最大值和最小值問題，如在一定條件下，怎樣使“產品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等.要解決這些問題，需先討論函數的極值.本節主要介紹函數的極值和最值的求法.

一、函數的極值及其求法定義1設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義，若對該鄰域內任一點x(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)［或f(x)>f(x0)］,

則稱f(x)在點x0處取得極大值(或極小值)，而x0稱為函數f(x)的極大值點(或極小值點).

極大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點與極小值點統稱為函數的極值點.一、函數的極值及其求法(1)函數的極值是局部概念，極值不一定是最值.也就是說，如果f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)，那只是就x0鄰近的一個局部范圍來說，對函數f(x)的整個定義域來說就不一定是最大(或最小)的了.注一、函數的極值及其求法(2)極值不唯一，極大值不一定比極小值大.如圖4-7所示，函數f(x)有兩個極大值f(x1)和f(x3)，兩個極小值f(x2)和f(x4)，其中極大值f(x1)比極小值f(x4)還小.圖4-7一、函數的極值及其求法定理9(必要條件)如果f(x)在點x0處可導，且在x0處取得極值，那么f′(x0)=0.

證不妨設x0是f(x)的極小值點，由極小值的定義可知，f(x)在點x0的某個鄰域U(x0)內有定義，且對于x0+Δx∈U(x0)，恒有

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0,

于是一、函數的極值及其求法因為f(x)在點x0處可導，所以f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),

從而f′(x0)=0.

根據定理9，可導函數f(x)的極值點必定是它的駐點，但函數的駐點卻不一定是極值點.例如，y=x3在點x=0處的導數等于零，但顯然x=0不是y=x3的極值點.此外，函數在它的導數不存在的點處也可能取得極值.例如，函數f(x)=x在點x=0處不可導，但函數在該點取得極小值.

一、函數的極值及其求法當求出函數的駐點或不可導點后，還要從這些點中判斷哪些是極值點，以及進一步判斷極值點是極大值點還是極小值點.由函數極值的定義和函數單調性的判定法易知，函數在其極值點的鄰近兩側單調性改變(即函數一階導數的符號改變)，由此可導出關于函數極值點判定的一個充分條件.

一、函數的極值及其求法定理10(第一充分條件)設函數f(x)在點x0處連續，且在x0的某去心鄰域內可導.

(1)若在點x0的左鄰域內，f′(x)>0；在點x0的右鄰域內，f′(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值f(x0).

(2)若在點x0的左鄰域內，f′(x)<0；在點x0的右鄰域內，f′(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值f(x0).

(3)若在點x0的鄰域內，f′(x0)不變號，則f(x)在x0處沒有極值.一、函數的極值及其求法證(1)由題設條件，函數f(x)在點x0的左鄰域內單調增加，在點x0的右鄰域內單調減少，又f(x)在點x0處連續，故在點x0的去心鄰域內任取一點x，有f(x)<f(x0).所以f(x)在x0處取得極大值f(x0).

同理可證(2),(3).

根據定理9和定理10，若函數f(x)在所討論的區間內連續，除個別點外處處可導，則可按下列步驟來求函數的極值點和極值:

(1)確定函數f(x)的定義域，并求其導數f′(x).

(2)求出f(x)的全部駐點與不可導點.

(3)討論f′(x)在駐點和不可導點左、右兩側鄰近范圍內符號變化的情況，確定函數的極值點.

(4)求出各極值點的函數值，就得到函數f(x)的全部極值.一、函數的極值及其求法求函數f(x)=(x+2)2(x－1)3的極值.解(1)函數定義域是(－∞,+∞)，且【例29】一、函數的極值及其求法【例30】一、函數的極值及其求法定理11(第二充分條件)設函數fx在點x0處具有二階導數,且f′x0=0,f″x0≠0,則(1)當f″x0<0時,函數fx在點x0處取得極大值.

(2)當f″x0>0時,函數fx在點x0處取得極小值.

一、函數的極值及其求法證對情形(1)，由于f″(x0)<0，按二階導數的定義一、函數的極值及其求法求函數f(x)=x3－3x的極值.解f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得駐點x1=－1,x2=1.因f″(1)=6>0,故極小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－6<0,故極大值是f(－1)=2.如果函數在駐點處的二階導數為零，則定理11失效，這種情況必須使用定理10判斷.【例31】一、函數的極值及其求法求函數f(x)=(x2－1)3+1的極值.解函數的定義域為－∞,+∞.由f′(x)=6x(x2－1)2，得函數的駐點為x1=－1,x2=0,x3=1.由f″(x)=6(x2－1)(5x2－1)，得f″(0)=6>0，由定理11知，x=0為函數的極小值點，但f″(－1)=f″(1)=0，定理11對x=±1失效，因此改用定理10.因為f′(x)在區間(－∞,－1),(－1,0)內同號(均為負)，在區間(0,1),(1,+∞)內也同號(均為正)，所以x=±1均不是函數的極值點，函數只有極小值f(0)=0.【例32】二、函數的最值及其求法假定函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，則函數在該區間上必取得最大值和最小值.函數的最大(小)值與函數的極大(小)值是有區別的，前者是指在整個閉區間［a,b］上的所有函數值中最大(小)的，因而最大(小)值是全局性的概念.但是，如果函數的最大(小)值在(

a,b

)內達到，則最大(小)值同時也是極大(小)值.此外，函數的最大(小)值也可能在區間的端點處達到.二、