第一章解三角形§1.2應(yīng)用舉例(一)1.會用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)距離的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力．學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識點(diǎn)一常用角試畫出“北偏東60°”和“南偏西45°”的示意圖．答案在解決實(shí)際問題時(shí)常會遇到一些有關(guān)角的術(shù)語，請查閱資料后填空：(1)方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于

度的角．(2)仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平線

時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線

時(shí)叫俯角．(如下圖所示)梳理90上方下方知識點(diǎn)二測量方案可以在地球上選兩點(diǎn)，與月亮構(gòu)成三角形，測量地球上兩點(diǎn)的距離和這兩點(diǎn)看月亮的視角，通過解三角形求得地月距離．

思考

答案如何不登月測量地月距離？梳理測量某個(gè)量的方法有很多，但是在實(shí)際背景下，有些方法可能沒法實(shí)施，比如直接測量地月距離．這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)方案繞開障礙間接地達(dá)到目的．設(shè)計(jì)測量方案的基本任務(wù)是把目標(biāo)量轉(zhuǎn)化為可測量的量，并盡可能提高精確度．一般來說，基線越長，精確度越高．題型探究例1

如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B兩點(diǎn)間的距離．(精確到0.1m)類型一測量可到達(dá)點(diǎn)與不可到達(dá)點(diǎn)間的距離解答

所以A，B兩點(diǎn)間的距離為65.7m.解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分理解題意，正確作出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為___千米．

如圖所示，由題意知C＝180°－A－B＝45°，答案解析類型二測量兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離例2

如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法．解答

測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD＝a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得引申探究對于例2，給出另外一種測量方法．解答

測量者可以在河岸邊選定點(diǎn)E、C、D，使A、E、C三點(diǎn)共線，測得EC＝a，ED＝b，并且分別測得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，在△AED和△BEC中，應(yīng)用正弦定理得在△ABE中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離反思與感悟本方案的實(shí)質(zhì)是：把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為類型一．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，為測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點(diǎn)的距離是答案解析

在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為123答案解析

∠B＝180°－45°－105°＝30°，√1232.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120°，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好

千米，那么x的值是___.

由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.4答案解析1233.如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長為____km.7答案解析123

因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，故AC＝7.1.運(yùn)用正弦定理就能測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理.測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別.2.正弦、余弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2)