2.1平方根湘教版七年級數學下冊第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2平方根及其性質算術平方根及其性質無理數算術平方根的估算知識點平方根及其性質感悟新知11.平方根的定義：如果有一個數r，使得r2=a，那么r叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根.這就是說，若r2=a，則r

是a

的一個平方根.表示方法：正數a的平方根記作±a

，讀作“正、負根號a”.知1－練感悟新知2.平方根的性質：(1)正數有兩個平方根，且它們互為相反數；(2)0的平方根就是0本身；(3)負數沒有平方根.3.開平方：求一個非負數的平方根的運算，叫作開平方.這個非負數叫作被開方數.知1－練特別解讀1.平方根的定義中a是非負數，即a≥0.2.平方與開平方是互逆運算，平方的結果叫做冪，而開平方的結果叫做平方根.3.一般地，如果r是正數a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：r與-r.知1－練感悟新知

例1解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的數，然后根據平方根和算術平方根的定義確定.題型1利用平方根的定義求一個正數的平方根知1－練感悟新知

帶分數要先化成假分數，再求平方根.知1－練感悟新知

知1－練

知1－練感悟新知

例2

題型2利用平方根的定義解方程知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法點撥利用平方根的定義解方程的一般步驟：1.移項，使含未知數的項在等號的一邊，常數項在等號的另一邊；2.系數化為1，將方程化為“x2=a”的形式；3.根據平方根的性質求出未知數x的值.知1－練感悟新知(1)若a+1和a+3是正數m

的平方根，求m的值；(2)已知2a+3的平方根是±3，5a+2b-1的平方根是±4，求3a+2b

的平方根.解題秘方：根據平方根的性質列方程（組）求解.例3題型3利用平方根的性質求字母的值知1－練解：(1)因為a+1和a+3是正數m

的平方根，且a+1≠a+3,所以a+1+a+3=0，解得a=-2.所以a+1=-1，a+3=1.因為1和-1是1的平方根，所以m=1.知1－練

知1－練解法提醒一個正數的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數.知1－練知識點算術平方根及其性質感悟新知2

知2－練感悟新知特別提醒●求一個正數的算術平方根與求一個正數的平方剛好是互逆的兩個運算；●任何一個數的平方都是非負數，所以求算術平方根時，被開方數必須是非負數，算術平方根也一定是非負數.▲▲知2－練感悟新知2.性質：(1)正數的算術平方根是一個正數；(2)0的算術平方根是0；(3)負數沒有算術平方根；(4)被開方數越大，對應的算術平方根也越大.知2－練感悟新知3.平方根與算術平方根的區別與聯系：平方根算術平方根區別定義不同如果有一個數r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根正數a

的正平方根叫作a的算術平方根個數不同一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數一個正數的算術平方根只有一個感悟新知平方根算術平方根區別表示方法不同取值范圍不同正數的平方根是一正一負正數的算術平方根一定是正數知2－練感悟新知平方根算術平方根聯系具有包含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中正的那個(0除外)存在條件相同只有非負數才有平方根和算術平方根，0的平方根與算術平方根都是0知2－練感悟新知

a(a

≥0)，－a(a

＜0).知2－練感悟新知

區別運算順序先開方再求平方先求平方再開方a

的取值圍a≥0全體數聯系知2－練感悟新知

例4解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的非負數，然后根據算術平方根的定義求出算術平方根.考向：利用算術平方根的定義及性質解決問題題型1求一個數的算術平方根知2－練知識儲備1.求帶分數的算術平方根時，先將帶分數化成假分數，再求算術平方根.2.求一個數的算術平方根必須明確兩點：(1)這個數是非負數；(2)求出的算術平方根（結果）必須是非負數.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(6)0的算術平方根是0，即0=0.

不要誤認為是求81的算術平方根.知2－練

知2－練方法點撥本題運用了定義法.首先根據算術平方根的定義求出m，n的值，再求出m-n

的值，最后根據算術平方根的定義得出結果.知2－練感悟新知

解題秘方：根據已知條件求出m，n

的值，然后求m-n

的算術平方根.例5題型2已知一個數的算術平方根求這個數知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

解題秘方：首先觀察式子的結構特點，弄清式子所表示的意義，即要明確是求算術平方根還是求平方根，然后根據算術平方根或平方根的定義求解.例6題型3利用平方根或算術平方根的定義求值知2－練

知2－練

知2－練

412-402

是一個整體，首先要將412-402

化簡，再去計算化簡后結果的算術平方根.知2－練知識點無理數感悟新知31.定義：若一個數是一個無限不循環小數或可以表示成一個無限不循環小數，則把這個數叫作無理數.判斷標準：小數位數無限，小數部分的數字不循環.知3－練感悟新知

知3－練

知3－練3.無理數與有理數的區別(1)有理數是有限小數或無限循環小數，而無理數是無限不循環小數；(2)所有的有理數都可以寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數不能寫成分數的形式.知3－練感悟新知

解題秘方：根據無理數的定義進行辨析.例7考向：利用無理數的定義識別無理數知3－練感悟新知

知3－練感悟新知由于0.1212212221…（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）是無限不循環小數，因此0.1212212221…（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）是無理數.因此無理數有3個.答案：3知3－練知識點算術平方根的估算感悟新知41.求一個正數(非平方數)的算術平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點一點加強限制，使其所處范圍越來越小，從而達到理想的精確程度.???知4－練感悟新知2.大多數計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數的算術平方根(或其近似值).按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數，最后按

鍵.計算器上就會顯示這個數的算術平方根(或其近似值).知4－練感悟新知特別解讀計算器顯示屏顯示的數值中，許多都是近似值.知4－練感悟新知

例8解題秘方：找出與2026接近的兩個平方數，從而確定2026的算術平方根的取值范圍.考向：利用估算解決算術平方根問題題型1利用估算法求算術平方根的取值范圍知4－練感悟新知

答案：D知4－練

知4－練感悟新知

例9題型2利用計算器探究算術平方根的規律解題秘方：可利用計算器求出各個算術平方根，對照根號內的數和算術平方根尋找小數點移動的規律.知4－練感悟新知知4－練解：利用計算器探究發現：根號內的數的小數點每向左（或向右）移動兩位，其算術平方根的小數點就相應地向左（或向右）移動一位.答案：(1)0.2676；26.76

(2)0.8462；84.62規律點撥對于此類規律探究題，要從兩個方面進行比較：第一，把根號內的數進行比較；第二，把它們的結果進行比較，從中發現規律.知4－練平方根平方根算術平方根性質正數有兩個互為相反數的平方根0的平方根是0負數沒有平方根2.2立方根第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2立方根立方根的性質用計算器求一個數的立方根知識點立方根知1－講感悟新知11.定義：如果有一個數b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一個立方根，也叫作三次方根.表示方法：a的立方根記作a

3

，讀作“立方根號a”或“三次根號a”..知1－講感悟新知

??

??

??感悟新知知1－練

例1解題秘方：利用立方根的定義求解.

考向：利用立方根的定義解題題型1利用立方根的定義求立方根感悟新知知1－練

先化成假分數，再求立方根.

知1－練特別解讀：開立方與立方互為逆運算，根據這種關系，可以求一個數的立方根.感悟新知感悟新知知1－練[月考·衡陽蒸湘區]已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算術平方根是4，求ab

的平方根.解題秘方：一個數等于它的算術平方根的平方，一個數等于它的立方根的立方.例2題型2利用立方根的定義求值感悟新知知1－練

思路點撥：根據立方根和算術平方根的定義列出關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，再根據平方根的定義求出ab

的平方根．感悟新知知識點立方根的性質知2－講感悟新知2

???

??知2－講感悟新知2.平方根與立方根的比較：平方根立方根區別定義如果有一個數r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根如果有一個數b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一個立方根，也叫作三次方根性質正數有兩個平方根，它們互為相反數正數有一個立方根，仍為正數負數沒有平方根負數有一個立方根，仍為負數知2－講感悟新知平方根立方根區別表示方法聯系①開平方與開立方都與相應的乘方運算互為逆運算②0的平方根和立方根都是0感悟新知知2－練

例3考向：利用立方根的性質解題題型1利用立方根的性質計算感悟新知知2－練

解題秘方：根據立方根的性質進行化簡計算.

先化成假分數，再開平方.感悟新知知2－練解法提醒進行開平方或開立方運算時，若根號內不是單獨的一個數，則需先化簡，再進行運算.感悟新知知2－練

解題秘方：根據兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數互為相反數求解.例4題型2利用立方根的性質求字母的值感悟新知知2－練

感悟新知知2－練知識儲備正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.互為相反數的兩個數的立方根互為相反數.知識點用計算器求一個數的立方根知3－講感悟新知3用計算器可以求一個數的立方根或它的近似值，按鍵順序為先按鍵，再按數字鍵，最后按

鍵，根據顯示結果寫出立方根或它的近似值.知3－講感悟新知特別警示不同型號的計算器按鍵的順序可能不同，使用計算器時，一定要按說明書操作.感悟新知知3－練[母題教材P36例2、例3]用計算器求下列各數的立方根：(1)216；(2)100(結果精確到0.01)；(3)-13.27

(結果精確到0.001).解題秘方：根據用計算器求立方根的步驟進行按鍵操作.例5考向：利用計算器求立方根題型1利用計算器求立方根感悟新知知3－練

知3－練

感悟新知感悟新知知3－練解法提醒利用互為相反數的兩個數的立方根互為相反數這一關系，可以在求一個負數的立方根時，用計算器先求這個負數的絕對值的立方根，再在這個負數的絕對值的立方根前面加負號，從而得這個負數的立方根.感悟新知知3－練

解題秘方：可以用計算器求出各個數的近似值進行比較，也可以借助中間值進行比較，還可以用立方法進行比較，根據實際情況采用適當的方法即可.例6題型2用適當的方法比較大小感悟新知知3－練

感悟新知知3－練

立方根立方根定義性質正數的立方根是正數0的立方根是0負數的立方根是負數2.3實數第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2實數實數與數軸實數的性質實數的運算知識點實數知1－講感悟新知11.定義：有理數和無理數統稱實數.在實數范圍內，一個數不是有理數，那么它一定是無理數，反之亦成立.感悟新知2.分類：(1)按定義分類：有限小數或無限循環小數.無限不循環小數.知1－講感悟新知(2)按性質分類：0既不是正實數，也不是負實數.知1－講感悟新知特別解讀1.實數的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類的方法，都要按同一標準，做到不重復不遺漏.2.對實數進行分類時，應先對某些數進行計算或化簡，然后根據最后結果進行分類.不能看到帶根號的數，就認為是無理數，也不能看到有分數線的數，就認為是有理數.知1－講感悟新知

例1考向：利用實數中各類數的特征進行分類知1－講感悟新知有理數：{…}；無理數：{…}；分數：{…}；負實數：{…}.

知1－講感悟新知解：有理數：{③④⑤⑦⑧…}；無理數：{①②⑥⑨⑩…}；分數：{③⑦⑧…}；負實數：{②⑤⑥⑧⑩…}.知1－講解法提醒判斷一個實數的類別（如有理數、無理數）應遵循：一化簡，二辨析，三判斷.所有的有理數都可以化成有限小數或無限循環小數，而無理數只能化成無限不循環小數．知1－講知識點實數與數軸感悟新知21.實數與數軸上的點的關系：實數和數軸上的點一一對應.??

???特別提醒1.在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其對應點的大致位置.2.借助數軸上的點可以把實數直觀地表示出來，數軸上的任意一點表示的數，不是有理數就是無理數.知2－講感悟新知(1)“一一對應”包含著兩層含義：①每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；②數軸上的每一個點都表示一個實數.(2)數軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數來表示.即若點A，點B

在數軸上表示的數為x1，x2，則AB=|x1－x2|.知2－講感悟新知2.利用數軸比較實數的大小：對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大.?????知2－講感悟新知

解題秘方：比較一組實數的大小和比較一組有理數的大小一樣，可先將這些數在數軸上表示出來，然后根據“在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大”進行比較.例2考向：利用數軸比較實數的大小知2－講感悟新知解：將表示各數的點的大致位置在數軸上表示出來，如圖2.3-1所示.

知2－講方法點撥根據“實數和數軸上的點一一對應”，并且“在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大”，我們可以利用數形結合思想比較實數的大小.知2－講感悟新知知識點實數的性質感悟新知3

知3－講感悟新知

知3－講特別提醒1.在有理數范圍內的一些基本概念(如相反數、倒數、絕對值)和性質在實數范圍內依然適用.2.對實數的有關概念進行辨析時，錯誤的說法只需舉一個反例即可.感悟新知知3－講感悟新知

解題秘方：利用實數的性質求相反數、倒數和絕對值.例3考向：利用實數的性質解決相關問題知3－講感悟新知

感悟新知特別提醒1.求一個數的相反數，就是在這個數前面添上“-”.2.求一個數的絕對值時，首先要判斷所求數的符號，然后根據“正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值等于0”寫出這個數的絕對值.知3－講知識點實數的運算感悟新知41.在實數范圍內，進行加、減、乘、除、乘方和開方運算時，有理數的運算法則和運算律仍然適用；實數混合運算的運算順序與有理數混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號先算括號里面的.知4－講感悟新知2.實數的運算律：(1)加法交換律：a＋b=b＋a；(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)；(3)乘法交換律：ab=ba；(4)乘法結合律：(ab)c=a(bc)；(5)乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ab+ac；知4－講感悟新知

知4－講感悟新知

知4－講感悟新知4.實數也可以比較大小，對于實數a，b：若a-b>0，則稱a大于b(或者b

小于a)，記作a>b

(或b<a)