第三章圖形的平移與旋轉（9類壓軸題專練）題型一圖形的平移在三角形的證明中的應用1．某同學在一次課外活動中用硬紙片做了兩個直角三角形，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．該同學將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動，在移動過程中，D、(1)當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F、C的連線與AB平行？(2)當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長為三邊長的三角形是直角三角形？(3)在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長；如果不存在，說明理由．2．如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，以EF為邊構造，使，，過點D作，垂足為H，延長BF交DH于點G．(1)如圖①，若點D恰好在AC的延長線上，此時點A與點H重合，點C與點G重合．①求證：．②若，，求DF的長．(2)如圖②，將點F沿著BC邊繼續平移，此時仍成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，連結AD，當點C與點F重合時，請直接寫出AD與DH的數量關系．題型二圖形的平移與平面直角坐標系3．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，點，其中a，b滿足a是的整數部分，在數軸上，b表示的數在原點的右側，離原點的距離是4個單位長度．(1)求A點的坐標_，B點的坐標_；(2)將平移到，點A對應點，點B對應點，求三角形的面積；(3)如圖2，若C，D也在坐標軸上，過點D作射線軸，P為射線上一點，連接，平分交于F點，交于E點，的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，說明理由．4．在平面直角坐標系中，點為原點，點是軸負半軸上一點，將點向右平移個單位得到點．(1)如圖，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，同時動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿軸向上運動，當點運動到點時，同時停止運動，設點運動時間為秒．用含的式子表示兩點的坐標．是否存在使的面積為？若存在，求出，并寫出此時點的坐標；若不存在，說明理由．(2)如圖，點為線段（端點除外）上某一點，當點在線段上運動時，過點作直線交軸正半軸于，交直線于，、的平分線相交于點，若，請用含的式子表示的大小，并說明理由．題型三圖形的旋轉與三角形的證明5．問題提出：如圖1，在銳角等腰中，，，K是動點，滿足，將線段繞點A逆時針旋轉至，連接并延長，交于點M，探究點M的位置．特例探究：（1）如圖2，當點K在上時，連接，求證：；（2）如圖3，當點K在上時，求證：M是的中點．問題解決：再探究一般化情形，如圖1，求證：M是的中點．6．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖1等邊內有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉到處，此時≌，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出________；(2)基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖2，中，，，，為上的點且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點為內一點，連接，，，且，求的值．題型四圖形的旋轉與三角形的證明-最值問題7．【發現】如圖1，在等腰直角中，，點在直線上，過作于，過作于．小明通過探索發現：，請證明這個結論；

【應用】①如圖2，在中，為針角，把邊繞點沿逆時針方向旋轉得，把邊繞點沿順時針方向旋轉得，作于點于點，若，則___________；②如圖3，是等邊三角形紙片，將紙片折疊，使得點的對應點落在上，折痕為．若，求的度數；【拓展】如圖4，在等腰中，兩點分別是邊、上的動點，且，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，則線段長度的最小值為___________．8．如圖1，為等腰直角三角形，，點D為外一點，連接，過點A作，交于點E，過點D作，垂足為H，．(1)求證：；(2)如圖2，延長到點G，連接，使得，F為上一點，連接，若．求證：；(3)如圖3，點K在內，連接，當的值最小時，直接寫出的值．題型五圖形的旋轉與三角形的證明-動點問題9．如圖，是等腰直角三角形，，，將繞點順時針旋轉得線段，連接并延長，過點作的垂線，交的延長線于點．(1)當時，求的度數；(2)如圖1，與交于點，與交于點，若恰為中點，求證：；(3)如圖2，，是射線上的動點，連接將繞點逆時針旋轉得線段，是上的動點，（為已知數），求的最小值．10．等腰和等腰如圖1放置，，．【問題探究】（1）連接，于點O，請說明、的數量關系和位置關系；【深入探究】（2）如圖2，連接，，若，，①則_______．②如圖3，將等腰繞點A旋轉，交于點F，當是直角三角形時，的長為_______；【遷移應用】（3）如圖4，已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，過點C作直線軸，點D是直線上的一個動點，線段繞點A按逆時針方向旋轉得到線段，則的最小值為_______．題型六圖形的旋轉與三角形的證明-在平面直角坐標系中的應用11．【模型建立】如圖1，等腰直角三角形中，，直線經過點C，過點A作于點D，過點B作于點E．易證；(1)【初步應用】將點繞坐標原點逆時針旋轉，得到點，則點坐標為_；將點繞坐標原點逆時針旋轉，得到點，則點坐標為_______．(2)【解決問題】已知一次函數的圖象為直線l，將直線l繞它與x軸的交點P逆時針旋轉，得到直線，則直線相應的一次函數表達式為__________________．(3)【綜合運用】已知直線與坐標軸交于點A、B．將直線繞點A逆時針旋轉至直線，求直線的解析式．如圖2，直線在x軸上方的圖象上是否存在一點Q，使得的面積與的面積相等？若存在，求出Q的坐標；不存在，說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標系中，，，直線與x軸相交于點C，與直線交于點D，交y軸于點E．(1)求直線的解析式及點D的坐標；(2)如圖2，直線繞點C逆時針旋轉與直線交于點F，連接，求的面積；(3)將繞平面內某點旋轉，旋轉后的三角形記為，若點落在直線上，點落在直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．題型七圖形的旋轉與三角形的證明-對稱問題13．已知，點為平面中的一點，將繞著點按逆時針方向旋轉到，且滿足，連接．

(1)如圖1，點在內部，，求的度數；(2)如圖2，若點為邊上的一點，點在邊上，連接并延長交于點，且滿足，求證：點為的中點；(3)如圖3，點Rt，點與點在直線的異側，，點在直線上移動，點關于直線的對稱點為，請直接寫出的最小值．14．如圖①，等邊中，，點在上，且，動點P從點A出發沿射線以速度運動，連接OP，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，設點運動的時間為(1)用含t的代數式表示的長．(2)如圖②，當點D落在邊上時，求證：．(3)當平行于的一邊時，直接寫出t的值．(4)作點D關于點O的對稱點E，當______秒時，點E恰好落在射線AC上．題型八圖形的旋轉與三角形的證明-定值問題15．如圖，點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數量關系并證明你的結論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，將線段PB繞點P順時針旋轉90°至PE，直線AE交y軸于點Q，當P點在x軸上移動時，線段BE和線段BQ中哪一條線段長為定值，并求出該定值．題型九圖形的旋轉與三角形的證明-新定義題16．某研究性學習小組在學習《簡單的圖案設計》時，發現了一種特殊的四邊形，如圖1，在四邊形中，,，我們把這種四邊形稱為“等補四邊形”．如何求“等補四邊形”的面積呢？探究一：(1)如圖2，已知“等補四邊形”，若，將“等補四邊形”繞點A順時針旋轉，可以形成一個直角梯形（如圖3）．若，,則“等補四邊形”的面積為_探究二：(2)如圖4，已知“等補四邊形”，若，將“等補四邊形”繞點A順時針旋轉，再將得到的四邊形按上述方式旋轉120°，可以形成一個等邊三角形（如圖5）．若，,則“等補四邊形”的面積為_．由以上探究可知，對一些特殊的“等補四邊形”，只需要知道，的長度，就可以求它的面積．那么，如何求一般的“等補四邊形”的面積呢？探究三：(3)如圖6，已知“等補四邊形”，連接，將以點A為旋轉中心順時針旋轉一定角度，使與重合，得到，點C的對應點為點．①由旋轉得：_，因為，所以，即點，B，C在同一直線上，所以我們拼成的圖形是一個三角形，即．②如圖7，在中，作于點H，若，，試求出“等補四邊形”的面積（用含m，n的代數式表示），并說明理由．

第三章圖形的平移與旋轉（9類壓軸題專練）答案全解全析題型一圖形的平移在三角形的證明中的應用1．某同學在一次課外活動中用硬紙片做了兩個直角三角形，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．該同學將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動，在移動過程中，D、(1)當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F、C的連線與AB平行？(2)當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長為三邊長的三角形是直角三角形？(3)在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長；如果不存在，說明理由．【答案】(1)12?4(2)31(3)不存在，理由見解析．【分析】本題主要考查平移的性質以及勾股定理的應用，結合已知條件應用相關性質解題即可．（1）因為∠B=90°，∠A=30°BC=6，所以AC=12，又因為∠D=90°，∠E=45°，DE=4，所以DF=4，連接FC，設FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長可求；（2）設AD=x，則FC2=DC2+FD2=（3）假設∠FCD=15°，因為∠EFC=30°，作∠EFC的平分線，交AC于點P，則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°所以PD=43，PC=FP=8，則PC+PD【解析】（1）解：∵Rt△ABC，∠B=90°，∠A=30°BC=6∴AC=2BC=12，∵Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，∴DF=4，如圖1，連接FC，當FC∥AB時，∠FCD=∠A=30°，∴FC=2DF=8∴DC=∴AD=AC?DC=12?4∴當AD=12?43時，FC∥AB（2）設AD=x，在Rt△FDC中，F當FC為斜邊時，由AD2+B解得：x=31當AD為斜邊時，由F得12?x2解得：x=∵DE=4∴AD=AC?DE=12?4=8，∴x=49當BC為斜邊時，由A得，x2整理得出∶x∵Δ∴此方程無解，綜上所述：當x=316時，以線段AD、FC、（3）不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°理由如下∶假設∠FCD=15°（如上圖2）∵∠EFC=180°?∠D?∠FCD?∠DFE=180°?90°?15°?45°=30°作∠EFC的平分線，交AC于點P，則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°，∴∠FPD=30°，∴FP=2FD=8∴PD=F又∵∠CFP=∠FCP=15°∴PC=FP=8，∴PC+PD=8+4∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°．【點睛】本題考查的是平移的性質、勾股定理的應用，以及角平分線的性質，平行的性質等等知識點，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵，解答時，注意勾股定理的應用和正確解出一元二次方程．2．如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，以EF為邊構造，使，，過點D作，垂足為H，延長BF交DH于點G．(1)如圖①，若點D恰好在AC的延長線上，此時點A與點H重合，點C與點G重合．①求證：．②若，，求DF的長．(2)如圖②，將點F沿著BC邊繼續平移，此時仍成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，連結AD，當點C與點F重合時，請直接寫出AD與DH的數量關系．【答案】(1)①見解析；②(2)△HDE≌△GFD仍成立，AD＝DH【分析】（1）①由“AAS”可證△HDE≌△GFD；②由平移的性質可得EH＝BF＝1，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可證△HDE≌△GFD，可得DH＝GF，通過證明，可得GF＝AH，由等腰直角三角形的性質可求解．【解析】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF＋∠DFC＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），②∵△HDE≌△GFD，∴EH＝DG，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EH＝BF＝1，∴DG＝EH＝1，∴DF＝；（2）△HDE≌△GFD仍成立，理由如下：∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF＝AB，EFAB，連接AF，∴，∵EF＝AB，，∴，∴，∴AEBF，∵DH⊥AE∴DH⊥BF，∴∠HGB＝90°，∴∠HGB＝∠GDF＋∠DFG＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠EDH＋∠FDG＝90°，∴∠EDH＝∠DFG，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），當點F與點C重合時，∵△HDE≌△GFD，∴DH＝GF，∵EABG，DH⊥AE，∴∠AHD＝∠BGH＝90°，∴∠HGB＝∠AFB＝90°，∴HGAF，∴，∵∠AHD＝90°,，∴∴GF＝AH，∴DH＝AH，∴AD＝DH．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了，全等三角形的判定和性質，平移的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．題型二圖形的平移與平面直角坐標系3．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，點，其中a，b滿足a是的整數部分，在數軸上，b表示的數在原點的右側，離原點的距離是4個單位長度．(1)求A點的坐標______，B點的坐標_______；(2)將平移到，點A對應點，點B對應點，求三角形的面積；(3)如圖2，若C，D也在坐標軸上，過點D作射線軸，P為射線上一點，連接，平分交于F點，交于E點，的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，說明理由．【答案】(1)，(2)13(3)不改變，【分析】（1）根據題中條件即可求出答案；（2）連接，先根據平移的性質求出點C的坐標，再根據，即可求解；（3）根據和得到，再根據角平分線的性質和即可得到答案．【解析】（1）解：∵點，點，a是的整數部分，b表示的數在原點的右側，離原點的距離是4個單位長度，∴A點的坐標，點的坐標；（2）解：連接，如圖所示，由點平移到點，由點平移到點，∴先向下平移5個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到，∴，∴，，∴；（3）解：如圖所示，比值不變，且；理由如下：∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵軸，∴，即；【點睛】本題考查了幾何問題，靈活運用所學知識是解題關鍵．4．在平面直角坐標系中，點為原點，點是軸負半軸上一點，將點向右平移個單位得到點．(1)如圖，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，同時動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿軸向上運動，當點運動到點時，同時停止運動，設點運動時間為秒．用含的式子表示兩點的坐標．是否存在使的面積為？若存在，求出，并寫出此時點的坐標；若不存在，說明理由．(2)如圖，點為線段（端點除外）上某一點，當點在線段上運動時，過點作直線交軸正半軸于，交直線于，、的平分線相交于點，若，請用含的式子表示的大小，并說明理由．【答案】(1)，；，，；(2)存在，．【分析】（）由平移的性質得出軸，根據點坐標可求出答案；求出和，根據三角形的面積公式可得出答案；（）過點作軸，由平行線的性質及角平分線的性質可得出，，利用三角形外角性質，即可得出的度數．【解析】（1）解：∵將點向右平移個單位得到點，軸，∵點，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，∴，∵動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿軸向上運動，∴；∵，，∴，，∴，∴，解得或（舍去），∴，；（2）解：存在．如圖，過點作軸，∵，∴，∵是的角平分線，∴，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵軸，∴，∵，∴．【點評】本題考查了平移的性質，三角形的面積公式，平行線的性質，角平分線的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．題型三圖形的旋轉與三角形的證明5．問題提出：如圖1，在銳角等腰中，，，K是動點，滿足，將線段繞點A逆時針旋轉至，連接并延長，交于點M，探究點M的位置．特例探究：（1）如圖2，當點K在上時，連接，求證：；（2）如圖3，當點K在上時，求證：M是的中點．問題解決：再探究一般化情形，如圖1，求證：M是的中點．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質；熟練掌握各性質及判定是解題的關鍵．特例探究：（1）根據旋轉的性質證明，依據為等腰三角形且，即可解答；（2）根據，表示出，依據線段繞點A逆時針旋轉至，表示出，由證出，，即可得結論；問題解決：連接，過點C作于E，過點B作，根據旋轉性質得，在證，，即可的結論【解析】解：特例探究（1）證明：線段繞點A逆時針旋轉至，．在和中，，，．又，，，（2）在中，，，線段繞點A逆時針旋轉至，，，，所以，，，，，即M是的中點．問題解決如圖，連接，過點C作于E，過點B作，交的延長線于F．線段繞點A逆時針旋轉至，∴同（1）可證得，∵，∵，，．在和中，，，在和中，，，，即M是的中點．6．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖1等邊內有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉到處，此時≌，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出________；(2)基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖2，中，，，，為上的點且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點為內一點，連接，，，且，求的值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由旋轉的性質得，，，，再證是等邊三角形，得，，然后證，進而得出結論；（2）把繞點A逆時針旋轉得到，根據旋轉的性質可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證；（3）將繞點B順時針旋轉至處，連接，根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據旋轉的性質求出是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得，求出，然后求出C、O、、四點共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．【解析】（1）解：連接，如圖：

∵點P到頂點A、B、C的距離分別為3、4、5，∴，由旋轉的性質得：，∴，，，，∴，即，∵是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴，∴；（2）證明：把繞點A逆時針旋轉得到，如圖，由旋轉的性質得，，，，，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，，∴；（3）解：將繞點B順時針旋轉至處，連接，如圖：在中，，∴，，∵繞點B順時針方向旋轉，∴，∵繞點B順時針方向旋轉，得到，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴C、O、、四點共線，∴，∴．【點睛】本題考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉變換添加輔助線，構造全等三角形解決問題，題型四圖形的旋轉與三角形的證明-最值問題7．【發現】如圖1，在等腰直角中，，點在直線上，過作于，過作于．小明通過探索發現：，請證明這個結論；【應用】①如圖2，在中，為針角，把邊繞點沿逆時針方向旋轉得，把邊繞點沿順時針方向旋轉得，作于點于點，若，則___________；②如圖3，是等邊三角形紙片，將紙片折疊，使得點的對應點落在上，折痕為．若，求的度數；【拓展】如圖4，在等腰中，兩點分別是邊、上的動點，且，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，則線段長度的最小值為___________．【答案】[發現]見解析；[應用]①5；②；[拓展]【分析】[發現]由，可得，證明，進而結論得證；[應用]①解：由旋轉的性質可知，，，如圖2，作于，同理[發現]可得，則，同理，，則，根據，計算求解即可；②由折疊的性質可知，，，則，，證明是等邊三角形，則，由，可求的值；[拓展]由旋轉的性質可知，，，如圖4，在上取點，使，連接，證明，則，，，，則，，可知在與夾角為的直線上運動，，如圖4，作于，則，是線段最小的情況，則，由勾股定理求，然后作答即可．【解析】[發現]證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，即；[應用]①解：由旋轉的性質可知，，，如圖2，作于，∵，∴，又∵，，∴，∴，同理，，∴，∴，故答案為：5；②解：由折疊的性質可知，，，∵，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，，∴，解得，，∴的度數為；[拓展]解：由旋轉的性質可知，，，如圖4，在上取點，使，連接，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴在與夾角為的直線上運動，∵，∴，∴，如圖4，作于，則，是線段最小的情況，∴，由勾股定理得，，∴線段長度的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，含的直角三角形等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，含的直角三角形是解題的關鍵．8．如圖1，為等腰直角三角形，，點D為外一點，連接，過點A作，交于點E，過點D作，垂足為H，．(1)求證：；(2)如圖2，延長到點G，連接，使得，F為上一點，連接，若．求證：；(3)如圖3，點K在內，連接，當的值最小時，直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據證明，即可推出；（2）在上截取，連接與交于M，利用SAS可證得，得出，進而可得是等腰直角三角形，再證得平分，利用等腰三角形的性質可得，，即垂直平分，推出，即可證得結論；（3）延長交于S，延長交于T，先證明當點K在內，的值最小時，，再運用三角形外角性質即可求得答案．【解析】（1）∵為等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）如圖2，在上截取，連接與交于M，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵為等腰直角三角形，，∴，即，∴，∴平分，∴，即垂直平分，∴，∵，∴；（3）如圖3，延長交于S，延長交于T，以點H為中心，將逆時針旋轉60度到，則，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴當共線時，的值最小，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形外角性質，等腰直角三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，兩點之間線段最短等知識，正確添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．題型五圖形的旋轉與三角形的證明-動點問題9．如圖，是等腰直角三角形，，，將繞點順時針旋轉得線段，連接并延長，過點作的垂線，交的延長線于點．(1)當時，求的度數；(2)如圖1，與交于點，與交于點，若恰為中點，求證：；(3)如圖2，，是射線上的動點，連接將繞點逆時針旋轉得線段，是上的動點，（為已知數），求的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，求得，進而即可求解；（2）過點作于點，過點作于點，是等腰直角三角形，，，點恰為中點，證明，是等腰直角三角形，可得，證明進而證明，最后證明，得出，則，即可得證；（3）過點作垂足為，將繞點逆時針旋轉得線段，則，，得出在平行于的直線上運動，作點關于的對稱點，當三點共線時，取得最小值，根據題意可得是等邊三角形，進而勾股定理，即可求解．【解析】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，將繞點順時針旋轉得線段∴，則是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴（2）解：如圖所示，過點作于點，過點作于點，∵∴，∵是等腰直角三角形，，，點恰為中點，∴∴∴又∵，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，則，∵是等腰直角三角形，∴，又∵∴，∴∴∴，則∴又∵，∴，∵∴在中，∴∴∴∴又∵∴（3）解：如圖所示，過點作垂足為，將繞點逆時針旋轉得線段，則，∵將繞點逆時針旋轉得線段，∴，∴∴∴∴在平行于的直線上運動，如圖所示，作點關于的對稱點，當三點共線時，取得最小值，如圖所示，∵，則，又，則是等邊三角形，∵∴，，，∴∴的最小值為．【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，軸對稱求線段和的最值問題，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．10．等腰和等腰如圖1放置，，．【問題探究】（1）連接，于點O，請說明、的數量關系和位置關系；【深入探究】（2）如圖2，連接，，若，，①則________．②如圖3，將等腰繞點A旋轉，交于點F，當是直角三角形時，的長為________；【遷移應用】（3）如圖4，已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，過點C作直線軸，點D是直線上的一個動點，線段繞點A按逆時針方向旋轉得到線段，則的最小值為_．【答案】（1），；（2）①66；②或；（3）3【分析】（1）結論：．只要證明即可解決問題；（2）①由勾股定理求得，，由，再根據勾股定理可得結論；②分和時，兩種情況討論，利用全等三角形的性質以及勾股定理即可求解；（3）連接，在y軸下方取點，使，證明，當軸時，有最小值，則有最小值，據此即可求解．【解析】解：（1）結論：，．理由：如圖1中，，，在和中，，，，，，∵∴；（2）①∵，，，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：66；②當時，∵，，且，∴，∴，∴，∴；當時，∴，由（1）知，∴，∴，∴在同一直線上，設，則，由勾股定理得，解得，∴，綜上，的長為或；故答案為：或；（3）連接，在y軸下方取點，使，∵，∴，，∵線段繞點A按逆時針方向旋轉得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴當軸時，有最小值，則有最小值，∵過點作直線軸，∴，∴的最小值為3．故答案為：3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，勾股定理的運用，坐標與圖形的性質，解一元二次方程．解答時證明三角形全等是關鍵．題型六圖形的旋轉與三角形的證明-在平面直角坐標系中的應用11．【模型建立】如圖1，等腰直角三角形中，，直線經過點C，過點A作于點D，過點B作于點E．易證；(1)【初步應用】將點繞坐標原點逆時針旋轉，得到點，則點坐標為_；將點繞坐標原點逆時針旋轉，得到點，則點坐標為_______．(2)【解決問題】已知一次函數的圖象為直線l，將直線l繞它與x軸的交點P逆時針旋轉，得到直線，則直線相應的一次函數表達式為__________________．(3)【綜合運用】已知直線與坐標軸交于點A、B．將直線繞點A逆時針旋轉至直線，求直線的解析式．如圖2，直線在x軸上方的圖象上是否存在一點Q，使得的面積與的面積相等？若存在，求出Q的坐標；不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)的解析式為：，直線在x軸上方的圖象上存在一點Q點為，使得的面積與的面積相等【分析】（1）過點作軸于D，過點A作軸于C，證明得出，即可得出點的坐標，點的坐標同求點的方法；（2）利用（1）的結論判斷求出點P，E的坐標，借助（1）的結論求出點的坐標即可得出結論；（3）過B點作交于E，同（2）可求出解析式，設Q點坐標，利用的面積與的面積相等列方程即可求解．【解析】（1）過點作軸于D，過點A作軸于C，如圖1，∵，∴，∵軸，軸，∴，∴，∵，∴∴，在和中，，∴；∴，∴，同求點的方法得，，故答案為；（2）如圖∵，令，則，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，∴直線l與y軸的交點，∵將直線l繞它與x軸的交點P逆時針旋轉，得到直線，過點作軸于F，同（1）的方法得，，∴，∴，點E繞點P逆時針旋轉的對應點，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，故答案為：；（3）過B點作交于點C，過C點作軸，對于直線，令，則令，則∵直線是直線繞點A逆時針旋轉45°得到的，∴∠CAB＝45°∵∴∴,同（1）可證，∴，∴C的坐標為設的解析式為，把代入得，，解得，故的解析式為：，設Q點坐標為，∴的面積為，∵的面積為，依題意得：解得，∴Q點為，故直線在x軸上方的圖象上存在一點Q點為，使得的面積與的面積相等【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質，點的坐標的確定方法，一次函數的應用、等腰直角三角形以及旋轉的性質，借助給出的結論明確思維方法是解本題的關鍵．12．如圖1，在平面直角坐標系中，，，直線與x軸相交于點C，與直線交于點D，交y軸于點E．(1)求直線的解析式及點D的坐標；(2)如圖2，直線繞點C逆時針旋轉與直線交于點F，連接，求的面積；(3)將繞平面內某點旋轉，旋轉后的三角形記為，若點落在直線上，點落在直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．【答案】(1)直線AB的解析式為，點D的坐標為．(2)的面積為．(3)點的坐標為或．【分析】（1）本題考查用待定系數法求一次函數解析式和聯立方程組求交點坐標，設直線的解析式為，將，兩點代入解析式中，求解即可，再聯立方程組求解，即可求出點D的坐標．（2）本題考查勾股定理和勾股定理逆定理，利用直線求出點C，點E．用勾股定理求出、、，根據得出，由直線繞點C逆時針旋轉，得到為等腰直角三角形，有，最后根據三角形面積公式求解即可．（3）本題根據點落在直線上，點落在直線上，設，，由旋轉的旋轉可知，軸，，列出與的式子，求解即可．【解析】（1）解：設直線的解析式為，將，兩點代入解析式中，有，解得，直線AB的解析式為，直線與直線AB交于點D，，解得，點D的坐標為．（2）解：由（1）知，直線與x軸相交于點C，交y軸于點E．，，，，，即，，由旋轉的性質可知，，，，，的面積．（3）解：點落在直線上，點落在直線上，且直線AB的解析式為，直線的解析式為，設，，繞平面內某點旋轉得到，且軸，軸，，，，整理得，將其代入中，有，解得，，將代入中，有，將代入中，有，點的坐標為或．【點睛】本題考查了一次函數解析式的求法、聯立方程組求交點坐標、勾股定理、勾股定理逆定理、點到點的距離、旋轉的性質等，本題難度較大，熟練掌握一次函數性質并靈活運用是解題的關鍵．題型七圖形的旋轉與三角形的證明-對稱問題13．已知，點為平面中的一點，將繞著點按逆時針方向旋轉到，且滿足，連接．(1)如圖1，點在內部，，求的度數；(2)如圖2，若點為邊上的一點，點在邊上，連接并延長交于點，且滿足，求證：點為的中點；(3)如圖3，點Rt，點與點在直線的異側，，點在直線上移動，點關于直線的對稱點為，請直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質，軸對稱的性質等知識．（1）利用證，利用全等三角形對應角相等得出，再利用等腰三角形等邊對等角求出，可得；（2）利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得出，結合，可求，在上取點T，使，利用證明，得出，，根據余角性質得出，最后根據等腰三角形的判定得出即可；（3）利用全等和軸對稱，求出或，點M的運動路線是一條直線，當時，最小，是的一半．【解析】（1）解：∵旋轉，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∵，，，∴，∵，，∴，∵，∴，，即，又，∴，在上取點T，使，又，∴∴，，∴，∴，即點G是的中點；（3）解∵點F關于直線的對稱點為M，則，∴，∵，∴，∴，①如圖3，

∵，∴．又，∴，②如圖4，

，∴或，∴點M的運動路線是一條直線，當時，最小，∵，∴，∴．14．如圖①，等邊中，，點在上，且，動點P從點A出發沿射線以速度運動，連接OP，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，設點運動的時間為(1)用含t的代數式表示的長．(2)如圖②，當點D落在邊上時，求證：．(3)當平行于的一邊時，直接寫出t的值．(4)作點D關于點O的對稱點E，當______秒時，點E恰好落在射線AC上．【答案】(1)(2)證明見解析(3)的值為或(4)10【分析】（1），當時，，當時，；（2）由線段繞點順時針旋轉得到線段，得，，可得，而是等邊三角形，有，故，即得，由可證；（3）當時，是等邊三角形，可得，；當時，可得，重合，，故；（4）由線段繞點順時針旋轉得到線段，得，，又關于點的對稱點，有，故，再證，，即可得，，可得，，從而．【解析】（1）解：由已知得，，當時，，當時，；；（2）證明：線段繞點順時針旋轉得到線段，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，；（3）當時，如圖：，，，是等邊三角形，，，；當時，如圖：，，，重合，，，綜上所述，的值為或；（4）如圖：線段繞點順時針旋轉得到線段，，，關于點的對稱點，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：10．【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，列代數式，等邊三角形的判定和性質，動點問題等，解題的關鍵是分類討論思想的應用．題型八圖形的旋轉與三角形的證明-定值問題15．如圖，點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數量關系并證明你的結論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，將線段PB繞點P順時針旋轉90°至PE，直線AE交y軸于點Q，當P點在x軸上移動時，線段BE和線段BQ中哪一條線段長為定值，并求出該定值．【答案】(1)a=2,b=2(2)CD=BD+AC．理由見解析(3)BQ是定值，【分析】（1）根據非負數的性質得到a-2=0，4b-8=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到結果；（2）證明：將△AOC繞點O逆時針旋轉90°得到△OBF根據已知條件得到∠DBF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同時代的∠BOD+∠AOC=45°，求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根據全等三角形的性質得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得到∠PAB=∠PDE=135°，根據余角的性質得到∠BPA=∠PED，推