微積分基本定理一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系

為了討論質點在變速直線運動中位置函數與速度函數間的聯系，有必要沿質點的運動方向建立坐標軸.設時刻t時質點所在位置st，速度vtvt≥0.已知質點在時間間隔T1,T2內經過的路程可以用速度函數vt在T1,T2上的定積分來表示；另一方面，這段路程又可通過位置函數st在區間T1,T2上的增量

因為s′t=vt，所以上式表示，速度函數vt在區間T1,T2上的定積分等于vt的原函數st在區間T1,T2上的增量.上述從變速直線運動這個特殊問題中得出來的關系，在一定條件下具有普遍性.請看下面的分析.一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系二、積分上限的函數及其導數

設函數f(x)在區間［a,b］上連續，x是［a,b］上的一點，則由（5-1）所定義的函數稱為積分上限的函數（或變上限的函數）.式（5-1）中積分變量和積分上限有時都用x表示，但它們的含義并不相同，為了區別它們，常將積分變量改用t來表示，即Φ(x)的幾何意義是：右側直線可移動的曲邊梯形的面積.如圖5-7所示，曲邊梯形的面積Φ(x)隨x的位置的變動而改變，當x給定后，面積Φ(x)就隨之確定.圖5-7二、積分上限的函數及其導數定理1若函數f(x)在區間［a,b］上連續，則積分上限的函數在［a,b］上可導，且（5-2）證明設x∈(a,b)，x獲得增量Δx，其絕對值足夠的小，使得x+Δx∈（a,b），則有其中ξ在x與x+Δx之間.二、積分上限的函數及其導數其中ξ在x與x+Δx之間.又函數f(x)在點x處連續，而Δx→0時，ξ→x,所以若x為區間［a,b］的端點,則只需將上面證明中的x換成a或b,再分別限制Δx>0或Δx<0,即能證明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).綜上所述,即有(a≤x≤b).這個定理指出了一個重要結論：連續函數f(x)取變上限x的定積分然后求導，其結果還原為f(x)本身.二、積分上限的函數及其導數【例1】【例2】二、積分上限的函數及其導數【例3】二、積分上限的函數及其導數

設f(x)在區間I上連續,且u(x),v(x)皆可導,證明【例4】二、積分上限的函數及其導數三、牛頓-萊布尼茨公式定理2

若函數f(x)在區間［a,b］上連續，則函數

就是f(x)在［a,b］上的一個原函數.由定理2知，連續函數的原函數是存在的，并且可以通過原函數來計算定積分.定理3

若函數F(x)是連續函數f(x)在區間［a,b］上的一個原函數，則（5-3）公式（5-3）稱為牛頓-萊布尼茨公式.三、牛頓-萊布尼茨公式

證明已知函數F(x)是f(x)的一個原函數，又根據定理2知，也是f(x)的一個原函數，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而所以F(a)=C，故在上式中再令x=b，即得公式（5-3）.該公式也常記為三、牛頓-萊布尼茨公式當a>b時，牛頓-菜布尼茨公式仍成立.注意三、牛頓-萊布尼茨公式由于f(x)的原函數F(x)一般可通過求不定積分求得，因此，牛頓-萊布尼茨公式巧妙地把定積分的計算問題與不定積分聯系起來，轉化為求被積函數的一個原函數在區間［a,b］上的增量問題.定理3通常稱為微積分基本定理，牛頓