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文檔簡介

廣義積分廣義積分前面介紹的定積分有兩個限制條件：積分區間有限和被積函數有界.實際問題中還需要某些函數在無窮區間上的積分以及某些無界函數在有限區間上的積分.因此要求將定積分概念加以推廣，這就是廣義積分.廣義積分包括無窮區間的廣義積分和無界函數的廣義積分兩類.一、無窮區間的廣義積分定義2設f(x)在區間［a,+∞)內連續，任取b>a，若極限limb→+∞∫baf(x)dx存在，則稱此極限為f(x)在區間［a,+∞)上的廣義積分，記作∫+∞af(x)dx，即∫+∞af(x)dx=limb→+∞∫baf(x)dx，(6-9)

此時稱廣義積分∫+∞af(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞af(x)dx沒有意義或發散.

類似地，可定義f(x)在區間(－∞,b］上的廣義積分∫b－∞f(x)dx=lima→－∞∫baf(x)dx，(6-10)

以及∫b－∞f(x)dx收斂和發散的概念.一、無窮區間的廣義積分定義3f(x)在區間(-∞,+∞)上連續，如果廣義積分定義為∫+∞－∞f(x)dx=∫a－∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx，(6-11)

其中a為任意實數.當上式右端兩個積分都收斂時，稱廣義積分∫+∞－∞f(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞－∞f(x)dx沒有意義或發散.

∫+∞－∞f(x)dx是否收斂和a的取值無關.

一、無窮區間的廣義積分【例33】一、無窮區間的廣義積分【例34】該題的結論一般要記住，可作為定理使用.注二、無界函數的廣義積分定義4設f(x)在區間(a,b］上連續，而limx→a+f(x)=∞，取ε>0，若極限limε→0+∫ba+εf(x)dx存在，將其記作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx,(6-12)

此時稱廣義積分∫baf(x)dx存在或收斂；否則稱廣義積分∫baf(x)dx沒有意義或發散.這種廣義積分又稱為瑕積分，a為瑕點.類似地，可定義f(x)在區間［a,b)上的廣義積分∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx

(6-13)

以及∫baf(x)dx收斂和發散的概念.二、無界函數的廣義積分定義5設f(x)在區間［a,b］上除點c(a<c<b)外連續，而limx→cf(x)=∞，如果兩個廣義積分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx都收斂，則稱廣義積分∫baf(x)dx收斂，且有∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx;(6-14)

否則，稱其沒有意義或發散.二、無界函數的廣義積分【例35】二、無界函數的廣義積分【例36】二、無界函數的廣義積分【例37】二、無界函數的廣義積分【例38】二、無界函數的廣義積分二、無界函數的廣義積分由這個遞推公式不難看出該積分收斂.特別地，對任何正整數n，有Γ(n+1)=n!，這是因為Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)，而Γ(1)=∫+∞0e－xdx=1，所以Γ(n+1)=n!.

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