不定積分概述一、原函數的概念

由微分學知，若已知曲線方程y=f(x)，則可求出該曲線在任一點x處的切線的斜率k=f′(x).例如，曲線y=x2在點x處切線的斜率為k=2x.現在要解決其反問題：已知曲線上任意一點x處的切線的斜率，要求該曲線的方程.為此，引進原函數的概念.

設f(x)是定義在區間I上的函數，若存在函數F(x)，使得對任意x∈I均有F′(x)=f(x)或dFx=fxdx,則稱函數Fx為fx在區間I上的一個原函數.例如，因為(sinx)′=cosx,故sinx是cosx的一個原函數.又如，當x>0時，(lnx)′=1/x，所以lnx是1/x在區間0,+∞上的一個原函數.對于給定的函數fx具備什么條件才有原函數？這個問題將在下一章討論，這里先介紹一個結論.定義1

一、原函數的概念定理1（原函數存在定理）若函數f(x)在區間I上連續,則函數f(x)在區間I上存在原函數F(x).由于初等函數在其定義區間上都是連續的,所以初等函數在其定義區間上都存在原函數.如果一個函數存在原函數，那么它的原函數是否唯一？事實上，函數fx的原函數不是唯一的.例如，x2是2x的一個原函數，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一個原函數.如果一個函數存在原函數，那么這些原函數之間有什么關系呢？一、原函數的概念定理2若F(x)是函數f(x)在區間I上的一個原函數,則F(x)+C（C為任意常數）是fx在區間I上的全體原函數.定理2說明,若一個函數有原函數,則它必有無窮多個原函數,且它們彼此相差一個常數.事實上，設F(x)和G(x)都是f(x)的原函數，則［F(x)－G(x)］′=F′(x)－G′(x)=f(x)－f(x)=0,即F(x)－G(x)=C(C為任意常數)，由此知道，若F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數，則函數f(x)的全體原函數為F(x)+C(C為任意常數).一、原函數的概念求函數fx的原函數，實質上就是討論它是由什么函數求導得來的.而若求得fx的一個原函數F(x)，其全體原函數即為F(x)+C.注意一、原函數的概念二、不定積分的概念定義2

若函數Fx是f(x)在區間I上的一個原函數,則函數f(x)的全體原函數F(x)+C稱為fx在區間I上的不定積分,記為∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C，其中記號“∫”稱為積分號,f(x)稱為被積函數,f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量,C稱為積分常數.一個函數的不定積分既不是一個數，也不是一個函數，而是一族函數.注意

由不定積分的定義知，求函數f(x)的不定積分，就是求f(x)的全體原函數，在∫fxdx中，積分號∫表示對函數f(x)進行求原函數的運算，故求不定積分的運算實質上就是求導(或求微分)運算的逆運算.二、不定積分的概念

求∫exdx.

解

因為(ex)′=ex,所以∫exdx=ex+C.【例1】二、不定積分的概念

求∫1/xdx.

解

當x>0時,因為(lnx)′=1/x，所以∫1xdx=lnx+C;當x<0時,因為

,所以∫1/xdx=ln(－x)+C.綜上可得，∫1/xdx=ln|x|+C.【例2】二、不定積分的概念三、不定積分的幾何意義函數f(x)的一個原函數F(x)的圖形稱為f(x)的一條積分曲線.因此，不定積分∫f(x)dx=F(x)+C對應的是一族積分曲線，稱為f(x)的積分曲線族.這就是不定積分的幾何意義.f(x)的積分曲線族有如下特點：（1）積分曲線族中的每一條曲線都可以由某一條確定的積分曲線沿y軸的方向上、下平行移動得到.（2）在每一條積分曲線上作橫坐標相同的點處的切線，這些切線的斜率相等，從而使相應點的切線相互平行(見圖4-1).三、不定積分的幾何意義

已知曲線上任一點的切線斜率等于該點處橫坐標平方的3倍，且曲線過點(0,1)，求此曲線.解設所求的曲線方程為y=f(x)，由導數的幾