波函數薛定諤方程波函數一、用來描述實物粒子德布羅意波的數學表達式稱為波函數.對于一個自由粒子的波函數，可根據德布羅意物質波求得.與自由粒子對應的是單色平面波.在經典波動理論中，平面簡諧波的波函數為用光波與物質波對比的方法可闡明波函數的物理意義.從波動的觀點來看，光的衍射圖樣越明亮的區域，光的強度越大，說明接收的能量越多.若把光束看作一束光子流，按照愛因斯坦關系，則每個光子所攜帶的能量都相同，那么越明亮的地方就意味著到達的光子數目越多.換句話說，光通過雙縫后之所以形成明暗變化的干涉條紋，是因為到達光屏上各點的光子數目不同，即每個光子到達光屏各點的概率不同.因為光強與光振動的振幅的平方成正比，所以光子在某處附近出現的概率與該處的光強成正比，即與該處光振動振幅的平方成正比.對于電子雙縫干涉實驗，通過與光的雙縫實驗類比，可以得出結論：電子分布越多的地方就是到達的電子數目越多的地方，電子分布越少的地方就是到達的電子數目越少的地方.也就是說，電子到達各點的概率是不同的.其他微觀粒子也有類似的結論.綜上所述，微觀粒子的運動狀態用波函數Ψ(r,t)描述，t時刻粒子在空間r處附近的體積元dV中出現的概率dW與該處波函數模的平方成正比，即薛定諤方程二、既然微觀粒子的運動可以用波函數描述，那么波函數應該滿足什么樣的方程才能反映微觀粒子的運動規律呢？對此，從一個簡單的一維運動出發，引出薛定諤方程.薛定諤方程是描述微觀粒子運動規律的基本方程.對于質量為m，動量為p，在勢場V(x)中做一維運動的粒子，其非相對論總能量為薛定諤方程是描述微觀粒子運動的一般方程，自然也可以描述自由粒子的運動，即式（15-36）應為薛定諤方程的一個解，由式（15-36）可得（15-37）由式（15-35）可得（1）這并不是薛定諤方程的證明，薛定諤方程是量子力學的基本假定，是對大量實驗觀測結果的概括，它和經典力學中的牛頓三定律一樣，是不能被證明的.（2）式（15-40）實際上是單粒子薛定諤方程，其中Ψ(r,t)是單粒子波函數，V(r)也是單粒子感受到的勢場。而對于大量微觀粒子組成的系統，波函數應是總的波函數，勢場也是總的勢場，既包括整個系統所感受到的外部勢場，也包括系統內部各粒子之間的相互作用勢.定態薛定諤方程三、玻爾在解釋氫原子光譜時就提出了定態的概念雛形.定態也是量子力學中最重要的概念之一，本節就從薛定諤方程出發，對定態的性質做一些概括性的討論.若勢能V(r)與時間無關，則可以設Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)（15-41）

把式（15-41）代入式（15-40）,得到兩邊同除以Ψ(r)f(t)，就可以分離變量，即在這種情況下，一方面，式（15-45）與時間無關，因此該方程稱為定態薛定諤方程.相應的解就稱為定態.另一方面，式（15-45）左邊的方括號是體系的哈密頓算符，因此式（15-45）就是哈密頓算符的本征方程，即能量本征方程.這樣，所謂定態，實際上就是能量本征態.在能量本征態下測量能量，則一定得到相應的本征值，即定態是具有確定能量的狀態.而式（15-44）就是能量為E的定態的時間演化因子.可以看出，定態波函數也是要隨著時間變化的，即上式是與時間無關的.也就是說，雖然定態波函數本身可以隨著時間變化，但是粒子出現在空間各處的概率卻與時間無關，所以定態的物理性質不隨時間變化.這就是稱之為定態的原因.若定態波函數能夠滿足歸一化條件，即則在無限遠處，定態波函數必然迅速趨于0，即粒子不可能出現在無窮遠處，也就是粒子被限制在有限的范圍內運動，這種狀態就稱為束縛態，否則就稱為游離態.在經典情況下，粒子當然也不能出現在阱外，這一點與量子力學的解并無區別.若是經典粒子，在阱內各處的勢場都為零，因此粒子在阱內均勻分布.在量子力學情況下，容易解得粒子出現在各處的概率并不相同，隨著位置的變化而變化，即粒子分布是不均勻的.此外，在經典情況下，粒子的能量可以取任意的有限值，即粒子的能量是可以連續變化的，但在量子力學情況下，粒子的能量只能取一系列分立值，即能級是量子化的.圖15-13所示為無限深方勢阱中的波函數Ψ(x).圖15-13無限深方勢阱中的波函數圖15-14無限深方勢阱中的粒子分