第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市豐臺區高三上學期期末考試數學試卷一、單選題：本大題共10小題，共40分。1.已知集合A=x?1≤x<2，B=x?2≤x<1，則A.x?1≤x<1 B.x?2≤x<2 C.xx≥?22.復數1?ii=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.設a，b為非零向量，則“a=b”是“a=bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知數列an的前n項和為Sn，且an+1=?3an，A.7 B.13 C.18 D.635.下列函數中，滿足“?x0∈R，fxA.f(x)=lnx2+1 B.f(x)=x26.在平面直角坐標系xOy中，角α以Ox為始邊，終邊與單位圓⊙O交于點P，且cosα=?14.點P在該單位圓上按逆時針方向做圓周運動到達點Q.若經過的圓弧PQ?的長為π2A.?154 B.154 7.如圖，在三棱錐P?ABC中，?ABC與?PAB都是邊長為2的等邊三角形，且PC=3，則點P到平面ABC的距離為(

)

A.1 B.32 C.328.溶液酸堿度是通過pH計量的，pH的計算公式為pH=?lgH+，其中H+表示溶液中氫離子的濃度(單位：mol/L).室溫下，溶液中氫離子和氫氧根離子的濃度之積為常數10?14，即H+?OH?=10?14，其中OH?A.12 B.2 C.110 9.在平面直角坐標系xOy中，已知直線ax+y?4a=0與直線x?ay+2=0交于點P，則對任意實數a，OP的最小值為(

)A.4 B.3 C.2 D.110.各項均為正整數的數列2，3，4，a，b，20，30，40為遞增數列.從該數列中任取4項構成的遞增數列既不是等差數列也不是等比數列，則有序數對(a,b)的個數為(

)A.73 B.75 C.76 D.78二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.設拋物線y2=8x的準線方程為

．12.在(x?2)5的展開式中，x的系數為

.(用數字作答)13.在?ABC中，A=π3，a=2①若B=π6，則b=②?ABC面積的最大值為

．14.已知函數f(x)=sinπ2x，x∈[0,8]，g(x)=1x?4，x∈[0,4)∪(4,8]，則f(3)+f(5)=

；方程15.已知曲線C:ax2+by2+xy=1(a①曲線C關于坐標原點對稱；②當a+b=0時，曲線C恒過兩個定點；③設P、Q為曲線C上的兩個動點，則存在a>0，b<0，使得PQ有最大值；④記曲線C在第一象限的部分與坐標軸圍成的圖形的面積為S，則對任意a>0，存在b>0，使得S>1其中所有正確結論的序號為

．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA(1)求證：EF//平面ACC(2)求平面CEF與平面ACC117.已知函數f(x)=32sinωx+cos2ωx2?(1)ω的值及f(x)的單調遞增區間；(2)f(x)在區間0,π條件①：函數y=f(x)圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為π2條件②：函數y=f(x)的圖象可以由函數y=cos條件③：直線x=?π3為函數注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18.為弘揚社會主義核心價值觀，加強校園誠信文化建設，提升中小學生的信息技術素養，某市開展了“中小學誠信主題短視頻征集展示活動”，入圍短視頻在某公共平臺展播.其中A，B，C，D，E，F，G這7個入圍短視頻展播前7天的累計播放量如下表：短視頻ABCDEFG前7天累計播放量(萬次)2.93.54.52.54.11.45.6(1)從這7個入圍短視頻中隨機選取1個，求該短視頻前7天的累計播放量超過4萬次的概率；(2)某學生從這7個入圍短視頻中隨機選取3個觀看，記X為選取的3個短視頻中前7天的累計播放量超過4萬次的個數，求X的分布列和數學期望E(X)；(3)若這7個入圍短視頻第8天的單日播放量如下表：短視頻ABCDEFG第8天單日播放量(萬次)0.40.40.60.30.50.10.8記這7個入圍短視頻展播前7天的累計播放量的方差為s12，前8天的累計播放量的方差為s22，試比較s1219.已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)設B為橢圓C的下頂點，動點M到坐標原點O的距離等于1(M與A，B不重合)，直線AM與棈圓C的另一個交點為N.記直線BM，BN的斜率分別為k1，k2，問：是否存在常數λ，使得k1+λ20.已知函數f(x)=ex(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)求f(x)的極值；(3)設函數g(x)=f(x)+x2+x，求證：g(x)的最小值大于21.給定數列A：a1，a2，a3，a4和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt=dt,1,dt,2,dt,3,dt,4(t=1,2,?,s)滿足：①dt,i∈{?1,3}(i=1,2,3,4)；②dt,1+dt,2+dt,3+dt,4=0.對數列A進行如下s次變換：將A的第1項，第2項，第3項，第4項分別加d(1)已知數列A：7，8，4，4，寫出一個序列Ω：T1，T2，使得Ω(A)為5，6，6，(2)對數列A：4，6，7，8，是否存在序列Ω：T1，T2，…，Ts，使得Ω(A)(3)對數列A：3，7，14，m，若存在序列Ω：T1，T2，…，Ts(s≤10)，使得Ω(A)中恰有三項相等，求參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.C

8.D

9.C

10.B

11.x=?2

12.80

13.23314.0；1615.①②④

16.(1)取A1C1的中點G，連接FG因為F為A1B1的中點，所以FG//又因為EC//B1C1，EC=1所以四邊形CEFG是平行四邊形.所以EF//CG．又因為EF?平面ACC1A1，CG?平面ACC(2)因為AA1⊥平面ABC，所以A又因為AB⊥AC，所以如圖建立空間直角坐標系A?xyz，則C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(1,0,2).所以CE=(1,?1,0)，EF=(0,?1,2)．設平面CEF的一個法向量為m=(x,y,z)則m?CE令z=1，則x=y=2.于是m=(2,2,1)不妨取平面ACC1A設平面CEF與平面ACC1A1夾角為所以平面CEF與平面ACC1A

17.(1)f(x)=選擇條件①：因為函數y=f(x)圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為π2，所以T2=因為ω>0，所以ω=2π因為f(x)=sin2x+π即?π3+kπ≤x≤π6選擇條件②：因為函數y=f(x)的圖象可以由函數y=cos所以函數y=f(x)與函數y=cos2x的周期相同，故因為ω>0，所以ω=2πT=2.以下解答過程同選擇條件①．選擇條件③：因為x=?π3為所以sinω×π3故ω=3k+1，其中k∈N，此時fx不唯一，故不選③(2)選擇條件①或②時，f(x)=因為x∈0,π2當2x+π6=π2，即x=當2x+π6=7π6，即x=

18.(1)這7個入圍短視頻中，前7天的累計播放量超過4萬次的有3個．設事件A=“從這7個入圍短視頻中隨機選取1個，該短視頻前7天的累計播放量超過4萬次”，則P(A)=3(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=C43P(X=2)=C41所以X的分布列為：X0123P418121E(X)=0×4(3)前7天累計播放量的平均數為：x1所以s1前8天累計播放量的平均數為：x前8天累計播放量的平均數為：x所以s所以s1

19.(1)由題意得a2=b2+所以橢圓C的方程為x2(2)因為B為橢圓C的下頂點，所以B(0,?1)．設Nx0,y0(x由點M到坐標原點O的距離等于1，可知點M在以AB為直徑的圓上，所以直線AM與直線BM垂直．由題意得直線AM的斜率kAM所以直線BM的斜率k1=?1因為點N在橢圓C上，所以x0故k1k2所以存在λ=?4，使得k1

20.(1)因為f(x)=ex?x，所以f′(x)=因為f(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1．(2)函數f(x)的定義域為R.令f′(x)=0，解得x=0．當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(?∞,0)0(0,+∞)f′(x)?0+f(x)單調遞減1單調遞增當x=0時，f(x)取得極小值，極小值為f(0)=1；f(x)無極大值．(3)因為g(x)=f(x)+x2+x=因為函數y=ex和y=2x在所以g′(x)=ex+2x又g′(?12)=所以存在x0∈當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：x?∞,xxg?0+g(x)單調遞減g單調遞增當x=x0時，g(x)取到最小值，最小值為由①得ex0=?2x0因為x0∈?12所以?x0>??14=

21.(1)Ω:T1=(?1,?1,?1,3)(或Ω:T1(2)不存在．由條件①②可得，dt,1，dt,2，dt,3，dt,4四個數中恰有三個因此得到結論：對數列進行一次變換，新數列的每項與原數列對應項奇偶不同．假設對數列A：4，6，7，8，存在序列Ω：T1，T2，…，使得Ω(A)中恰有三項相等．由于數列A：4，6，7，8中，4，6，8三項是偶數，7是奇數，由結論可得，只能4，6，8這三項經過一系列變換后相等．若在n次變換中，4經過p次“+3”的變換和n?p次“?1”的變換后，結果為4+3p?(n?p)=4+4p?n；6經過q次“+3”的變換和n?q次“?1”的變換后，結果為6+3q?(n?q)=6+4q?n．所以4+4p?n=6+4q?n，即2(p?q)=1，偶數等于奇數，矛盾．所以不存在序列Ω：T1，T2，…，Ts(3)數列A：3，7，14，m中，3，7兩項是奇數，14是偶數，由(2)中的結論可得，3，7，m這三項經過s(1≤s≤10)次變換后相等．設在s次變換中，3經過k次“+3”的變換和s?k次“?1”的變換后，結果為3+3k?(s?k)=3+4k?s；7經過l次“+3”的變換和s?l次“?1”的變換后，結果為7+3l?(s?l)=7+4l?s；m經過r次“+3”的變換和s?r次“?1”的變換后，結果為m+3r?(s?r)=m+4r?s；所以3+4k?s=7+4l?s=m+4r?s且k+l+r≤s(k,l,r∈N)，即k=l+1,r=l+1+3?m4令m=4t+3(t∈Z)，則r=l+1?t，3l+2?t