專題07不等式及不等式組核心知識點精講理解不等式的的概念、解集；理解不等式的性質并能進行運用；了解一元一次不等式的概念與解法并能進行運用；掌握一元一次不等式組的概念及解法；掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；理解一元一次不等式組的整數(shù)解并能正確運用；掌握一元一次不等式（組）的實際應用。考點1不等式的概念與性質1.不等式的概念：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。3.不等式的性質：（1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。考點2一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1考點3一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。（2）一元一次不等式組的解法：a分別求出不等式組中各個不等式的解集b利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。c根據(jù)公共部分寫出不等式的解集，如果沒有公共部分，那么不等式組無解（空集）考點4在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．考點5一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．考點6一元一次不等式應用列不等式組解應用題的一般步驟基本相似，包括：審清題意；（2）設未知數(shù)；（3）列不等式；（5）檢驗；（6）作答。【題型1：不等式的概念與性質】【典例1】（2023?清遠一模）小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【答案】B【分析】直接根據(jù)題意可得50≤x＜80．【解答】解：小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為50≤x＜80．故選：B．【典例2】（2023?香洲區(qū)校級一模）已知a＞b，則下列各式中一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．a(chǎn)c2＞bc2 D．a(chǎn)【答案】D【分析】根據(jù)解不等式的性質將不等式變形，從而選出正確的選項．【解答】解：A、∵a＞b∴a﹣b＞0，故A不合題意；B、∵a＞b∴2a＞2b∴2a﹣1＞2b﹣1，故B不合題意；C、當c2＝0時，ac2＝bc2，故C不合題意；D、a＞b，則a3＞b故選：D．1．（2023?禪城區(qū)二模）若a＞b，則下列選項中，一定成立的是（）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b【答案】A【分析】根據(jù)a＞b和不等式的性子，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵a＞b，∴a+2＞b+2，故選項A正確，符合題意；a﹣2＜b﹣2，故選項B錯誤，不符合題意；2a＜2b，故選項C錯誤，不符合題意；﹣2a＞﹣2b，故選項D錯誤，不符合題意；故選：A．2．（2023?越秀區(qū)校級二模）若x＜y，且ax＜ay，則（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜1【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質2得出答案即可．【解答】解：∵由x＜y能得出ax＜ay，∴a＞0，故選：A．3．（2023?高明區(qū)二模）已知a＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)3＞b3 C．﹣3a＞﹣3b D．a(chǎn)﹣c【答案】B【分析】不等式的基本性質：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；由此即可解決問題．【解答】解：A、a＞b，則a+1＞b+1，故A不符合題意；B、a＞b，則a3＞bC、a＞b，則﹣3a＜﹣3b，故C不符合題意；D、a＞b，則a﹣c＞b﹣c，故D不符合題意．故選：B．4．（2023?龍華區(qū)二模）農(nóng)戶利用“立體大棚種植技術”把毛豆和芹菜進行混種，已知毛豆齊苗后棚濕在18～25℃最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15～20℃．農(nóng)戶在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，這時應該把大棚溫度設置在下列哪個范圍最適宜（）A．15～18℃ B．18～20℃ C．20～25℃ D．20℃以上【答案】B【分析】根據(jù)題意，設大棚溫度為t°C，則18≤t≤2515≤t≤20【解答】解：設大棚溫度為t°C，則18≤t≤2515≤t≤20解得18≤t≤20，∴這時應該把大棚溫度設置在18～20℃最適宜．故選：B．5．（2023?龍川縣一模）下列式子中，x＝2是它的解的是（）A．12x=1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x＜0 【答案】A【分析】根據(jù)方程的解和不等式的解集的定義解答即可．【解答】解：A、∵將x＝2代入原方程，左邊＝1＝右邊，∴A選項符合題意；B、∵將x＝2代入原方程，左邊＝4﹣4+1＝1≠右邊，∴B選項不符合題意；C、∵x＝2不是不等式x＜0的解，∴C選項不符合題意；D、∵x＝2不是不等式組x＞1x＞3∴D選項不符合題意．綜上所述，A選項符合題意．故選：A．【題型2：一元一次不等式】【典例3】（2022?南海區(qū)校級模擬）下列各數(shù)中，是不等式3（2﹣x）+1＜0的解是（）A．﹣3 B．?12 C．5【答案】D【分析】按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：3（2﹣x）+1＜0，6﹣3x+1＜0，﹣3x＜﹣1﹣6，﹣3x＜﹣7，x＞7∴不等式3（2﹣x）+1＜0的解可以是：3，故選：D．1．（2023?東莞市校級二模）在平面直角坐標系中，點P（a﹣2，2）在第二象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＞2【答案】A【分析】由點P（a﹣2，2）在第二象限，知a﹣2＜0，解之即可．【解答】解：∵點P（a﹣2，2）在第二象限，∴a﹣2＜0，解得a＜2，故選：A．2．（2023?深圳模擬）一元一次不等式x+43A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質，解一元一次不等式即可求解．【解答】解：x+43去分母得：x+4≥6，解得：x≥2．故選：C．3．（2023?從化區(qū)二模）定義運算“a☆b”為：當a≥b時，a☆b＝a+b；當a＜b時，a☆b＝a﹣b，例如：1☆（﹣2）＝1+（﹣2）＝﹣1，（﹣2）☆1＝﹣2﹣1＝﹣3．若（3m﹣1）☆（m+1）＞8，則m的取值范圍為（）A．m＞2 B．m＞5 C．2＜m＜5 D．m＜2或m＞5【答案】A【分析】分3m﹣1≥m+1和3m﹣1＜m+1兩種情況，根據(jù)新定義列出關于m的不等式，解之可得答案．【解答】解：當3m﹣1≥m+1，即m≥1時，3m﹣1+m+1＞8，解得m＞2，符合要求；當3m﹣1＜m+1，即m＜1時，3m﹣1﹣m﹣1＞8，解得m＞5，不符合要求，舍去；故選：A．4．（2023?高州市一模）解不等式1+2x3＞【答案】見試題解答內容【分析】去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，即可求得不等式的解集，然后確定解集中的正整數(shù)解即可．【解答】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），去括號，得1+2x＞3x﹣3，移項，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同類項，得﹣x＞﹣4，系數(shù)化為1，得x＜4，則不等式的正整數(shù)解為：1，2，3．【題型3：一元一次不等式組】【典例4】（2023?興寧市二模）一元一次不等式組3x+2≥4x?54x?3＜21A．x＞8 B．7≤x＜8 C．x≤7 D．x＜6【答案】D【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：3x+2≥4x?5①4x?3＜21②解不等式①得：x≤7，解不等式②得：x＜6，∴原不等式組的解集為：x＜6，故選：D．1．（2023?光明區(qū)校級三模）不等式組x?1＜0x+1≥0A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解出不等式組，然后根據(jù)不等式組的解集進行判斷．【解答】解：在x?1＜0x+1≥0由x﹣1＜0得：x＜1，由x+1≥0得：x≥﹣1，則不等式組的解集為﹣1≤x＜1．故選：A．2．（2023?南海區(qū)模擬）不等式組?3x＞65x?1A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由﹣3x＞6得：x＜﹣2，由5x?12?7≤0得：則不等式組的解集為x＜﹣2，將解集表示在數(shù)軸上如下：故選：B．3．（2023?南山區(qū)二模）不等式組x+4＞02(x+1)≥x?1的解集為x≥﹣3【答案】x≥﹣3．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由x+4＞0得：x＞﹣4，由2（x+1）≥x﹣1得：x≥﹣3，則不等式組的解集為x≥﹣3，故答案為：x≥﹣3．4．（2023?荔灣區(qū)校級二模）解不等式組3x?2＜2x2x?1≥x?2【答案】﹣1≤x＜2．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由3x﹣2＜2x得：x＜2，由2x﹣1≥x﹣2得：x≥﹣1，則不等式組的解集為﹣1≤x＜2，將解集表示在數(shù)軸上如下：【題型4：在數(shù)軸上表示不等式的解集】【典例5】（2023?鶴山市模擬）如圖，不等式組x?1＜2?3x≤9A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：x?1＜2，①由①，得x＜3；由②，得x≥﹣3；故不等式組的解集是：﹣3≤x＜3；表示在數(shù)軸上如圖所示：故選：A．1．（2023?鹽田區(qū)二模）不等式組的解集如圖所示，則該解集表示為（）A．﹣1＜x≤2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤2【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示，可得答案．【解答】解：由數(shù)軸上表示的不等式的解集，得﹣1＜x≤2，故選：A．2．（2023?寶安區(qū)校級三模）已知點P（2x+6，x﹣4）在第四象限，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)第四象限內點的坐標特點列出關于x的不等式組，求出x的取值范圍，并在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：∵點P（2x+6，x﹣4）在第四象限，∴2x+6＞0x?4＜0解得﹣3＜x＜4，解集在數(shù)軸上的表示為：故選：C．3．（2023?佛岡縣二模）關于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則此不等式組的解集是（）A．x≥0 B．x＜3 C．0≤x＜3 D．0＜x≤3【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集找出公共部分即可解答．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：x≥0x＜3∴此不等式組的解集為0≤x＜3，故選：C．【題型5：一元一次不等式的整數(shù)解】【典例6】（2023?惠城區(qū)一模）下列數(shù)值不是不等式組2x+4＞0?x≥?1A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分確定出不等式組的解集，即可作出判斷．【解答】解：不等式組2x+4＞0①?x≥?1②由①得：x＞﹣2，由②得：x≤1，∴不等式組的解集為﹣2＜x≤1，∴不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1，則﹣2不是不等式組的整數(shù)解．故選：A．1．（2023?三水區(qū)模擬）不等式組6x+3＞3(x+a)x2?1≤7?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由6x+3＞3（x+a）得x＞a﹣1，由x2?1≤7?32x【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a﹣1，由x2?1≤7?3∵所有整數(shù)解的和為9，∴整數(shù)解為4、3、2或4、3、2、1、0、﹣1，∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，解得2≤a＜3或﹣1≤a＜0，符合條件的整數(shù)a的值為2和﹣1，故選：B．2．（2023?東莞市一模）不等式組3x?1＜x+3x?32＜x?1【答案】0，1．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而得出答案．【解答】解：由3x﹣1＜x+3得：x＜2，由x?32＜x﹣1得：則不等式組的解集為﹣1＜x＜2，所以該不等式組的整數(shù)解為0，1，故答案為：0，1．3．（2023?潮南區(qū)模擬）解不等式組3x?1＜x+12(2x?1)≤5x+1【答案】見試題解答內容【分析】分別求出每一個不等式的解集，然后確定不等式組的解集，在解集內找到最大整數(shù)即可．【解答】解：3x?1＜x+1①由①得：x＜1，由②得：x≥﹣3，則不等式組的解集為：﹣3≤x＜1，則不等式組的最大整數(shù)解為0．【題型6：一元一次不等式的應用】【典例7】（2023?深圳模擬）某初三某班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊兩種畢業(yè)紀念禮物，已知購買1支定制鋼筆和4本紀念卡冊共需130元，購買3支定制鋼筆和2本紀念卡冊共需140元．（1）求每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為多少元？（2）該班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊共60件，總費用不超過1600元，且紀念卡冊本數(shù)小于定制鋼筆數(shù)量的3倍，那么有幾種購買方案，請寫出設計方案？【答案】（1）每支定制鋼筆的價格為30元，每本紀念卡冊的價格為25元；（2）5種，見解析．【分析】（1）設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為x、y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設購買定制鋼筆m支，則紀念卡冊有（60﹣m）本，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解．【解答】解：（1）解：設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為x、y元，依題意，得：x+4y=1303x+2y=140解得：x=30y=25答：每支定制鋼筆的價格為30元，每本紀念卡冊的價格為25元．（2）解：設購買定制鋼筆m支，則紀念卡冊有（60﹣m）本依題意，得：30m+25(60?m)≤1600解得：15＜m≤20∵m取整數(shù)，∴m＝16，17，18，19，20∴總共有5種方案，分別為：方案1：購買定制鋼筆16支，紀念卡冊44本；方案2：購買定制鋼筆17支，紀念卡冊43本；方案3：購買定制鋼筆18支，紀念卡冊42本；方案4：購買定制鋼筆19支，紀念卡冊41本；方案5：購買定制鋼筆20支，紀念卡冊40本．1．（2023?禪城區(qū)二模）日前市教育局發(fā)布了《佛山市教育局關于做好2023年我市初中畢業(yè)升學體育考試工作的通知》，確定了考試項目可由學生自行選擇．某校為了保證九年級畢業(yè)生有足夠的訓練器材，計劃增購一批籃球和足球，如果購買20個足球和15個籃球，共需2050元；如果購買10個足球和20個籃球，共需1900元．（1）足球與籃球的單價分別為多少元？（2）若學校計劃用不超過2800元的經(jīng)費購買足球和籃球共50個，且足球數(shù)不多于籃球數(shù)的3倍，則最多購買多少個籃球？【答案】（1）每個足球的價格是50元，每個籃球的價格是70元．（2）15．【分析】（1）設每個足球的價格是x元，每個籃球的價格是y元，根據(jù)“購買20個足球和15個籃球，共需2050元；如果購買10個足球和20個籃球，共需1900元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買m個籃球，則購買（50﹣m）個足球，由題意列出一元一次不等式組，則可得出答案．【解答】解：（1）設每個足球的價格是x元，每個籃球的價格是y元，依題意得：20x+15y=205010x+20y=1900解得：x=50y=70答：每個足球的價格是50元，每個籃球的價格是70元．（2）設購買m個籃球，則購買（50﹣m）個足球，依題意得：70m+50(50?m)≤280050?m≤3m解得：252∵m為整數(shù)，∴m的最大值為15，答：最多能買15個籃球．2．（2023?福田區(qū)模擬）某企業(yè)計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？【答案】（1）每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）購買A型機器人17臺，B型機器人13臺時，購買總金額最低是46.4萬元．【分析】（1）設每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，根據(jù)“A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同”列方程即可得解；（2）先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，利用次函數(shù)的性質，即可求出答案．【解答】解：（1）設每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，由題意得：540x解得：x＝90，當x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）設購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，由題意得：90m+100(30?m)≥28301.2m+2(30?m)≤48解得：15≤m≤17，w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；∵﹣0.8＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝17時，w最小，此時w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴購買A型機器人17臺，B型機器人13臺時，購買總金額最低是46.4萬元．3．（2023?新興縣三模）某商場計劃用7.8萬元從同一供應商處購進A，B兩種商品，供應商負責運輸．已知A種商品的進價為120元/件，B種商品的進價為100元/件．如果售價定為：A種商品135元/件，B種商品120元/件，那么銷售完后可獲得利潤1.2萬元．（1）該商場計劃購進A，B兩種商品各多少件？（2）供應商計劃租用甲、乙兩種貨車共16輛，一次性將A，B兩種商品運送到商場，已知甲種貨車可裝A種商品30件和B種商品12件，乙種貨車可裝A種商品20件和B種商品30件，試通過計算幫助供應商設計幾種運輸用車方案？【答案】見試題解答內容【分析】（1）設購進A種商品x件，B種商品y件．由題意列出二元一次方程組，則可得出答案；（2）設租用甲種貨車a輛，則租用乙種貨車（16﹣a）輛，由題意列出不等式組，解不等式組則可得出答案．【解答】解：（1）設購進A種商品x件，B種商品y件．根據(jù)題意得：120x+100y=78000(135?120)x+(120?100)y=12000解得：x=400y=300答：購進A種商品400件，B種商品300件．（2）設租用甲種貨車a輛，則租用乙種貨車（16﹣a）輛，則30a+20(16?a)≥40012a+30(16?a)≥300解得8≤a≤10．∵a為整數(shù)，∴a＝8，9，10．故有3種用車方案：①A種車8輛，B種車8輛；②A種車9輛，B種車7輛；③A種車10輛，B種車6輛．答：有3種用車方案：①A種車8輛，B種車8輛；②A種車9輛，B種車7輛；③A種車10輛，B種車6輛．一．選擇題（共8小題）1．已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6【答案】D【分析】分別根據(jù)不等式的基本性質對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故本選項錯誤；B、∵x＞y，∴3x＞3y，故本選項錯誤；C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，故選項錯誤；D、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故本選項正確．故選：D．2．不等式組3x+1＞42x?1≤3A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)解不等式的方法，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集的公共部分是不等式組的解集，可得答案．【解答】解：3x+1＞4①2x?1≤3②解得x＞1x≤2故選：C．3．小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【答案】B【分析】直接根據(jù)題意可得50≤x＜80．【解答】解：小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為50≤x＜80．故選：B．4．某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀（85分或85分以上），則小明至少答對了______道題．（）A．17 B．18 C．19 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，關系式為：5×答對的題數(shù)﹣1×其余題數(shù)≥85，進而得出答案．【解答】解：設小明答對了x道題．則：5x﹣1×（20﹣x）≥85，解得：x≥17.5，∴小明至少答對了18道題．故選：B．5．已知關于x的不等式組x＜2x＞m無解，則mA．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)不等式組x＜2x＞m無解，可以求出實數(shù)m【解答】解：由于不等式組x＜2x＞m所以m≥2，故選：C．6．下列說法不正確的是（）A．若a＞b，則﹣4a＜﹣4b B．若a＜b，則ax2＜bx2 C．若a＞b，則1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，則a+x＞b+x【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質，即可解答．【解答】解：A．若a＞b，則﹣4a＜﹣4b，此選項不合題意；B．當x＝0時，ax2＝bx2，此選項符合題意；C．若a＞b，則1﹣a＜1﹣b，此選項不合題意；D．若a＞b，則a+x＞b+x，此選項不合題意．故選：B．7．不等式組2x+3≥1x?1A．0個 B．2個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x?12＜1，得：則不等式組的解集為﹣1≤x＜3，∴其整數(shù)解有﹣1、0、1、2這4個，故選：C．8．滿足x≤3的最大整數(shù)x是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)不等式x≤3得出選項即可。【解答】解：滿足x≤3的最大整數(shù)x是3，故選：C．二．填空題（共4小題）9．不等式組x?3＜02x+10＞0的解集是﹣5＜x＜3【答案】﹣5＜x＜3．【分析】分別解出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即可得出結果．【解答】解：解不等式x﹣3＜0，得x＜3；解不等式2x+10＞0，得x＞﹣5．∴該不等式組的解集為﹣5＜x＜3．故答案為：﹣5＜x＜3．10．若關于x的不等式3x+1＜m的正整數(shù)解是1，2，3，則整數(shù)m的最大值是13．【答案】見試題解答內容【分析】先解不等式得到x＜13（m﹣1），再根據(jù)正整數(shù)解是1，2，3得到3＜1【解答】解：解不等式3x+1＜m，得x＜13（∵關于x的不等式3x+1＜m的正整數(shù)解是1，2，3，∴3＜13（∴10＜m≤13，∴整數(shù)m的最大值是13．故答案為13．11．定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+13）都是關于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m的相伴方程，則m的取值范圍為2≤【答案】見試題解答內容【分析】解方程求出兩個方程的解，再解不等式組得出m＜x≤m+2，根據(jù)x＝3、x＝4均是不等式組的解可得關于m的不等式組，解之可得．【解答】解：解方程8﹣x＝x，得：x＝4，解方程7+x＝3（x+13），得：由x﹣2≤m，得：x≤m+2，由x＜2x﹣m，得：x＞m，∵x＝3、x＝4均是不等式組的解，∴m＜3且m+2≥4，∴2≤m＜3，故答案為：2≤m＜3．12．某學校醫(yī)務室采購了一批水銀溫度計和額溫槍，其中有10支水銀溫度計，若干支額溫槍．已知水銀溫度計每支5元，額溫槍每支230元，如果總費用不超過1000元，那么額溫槍至多有4支．【答案】4．【分析】設額溫槍有x支，利用總價＝單價×數(shù)量，結合總價不超過1000元，可得出關于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結論．【解答】解：設額溫槍有x支，根據(jù)題意得：5×10+230x≤1000，解得：x≤95又∵x為正整數(shù)，∴x的最大值為4，∴額溫槍至多有4支．故答案為：4．三．解答題（共2小題）13．解不等式組：2(x+1)＞43x≤x+5【答案】1＜x≤5【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．【解答】解：2(x+1)＞4①3x≤x+5②解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤5則不等式組的解集為1＜x≤514．昌云中學計劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀，若購買1個大地球儀和3個小地球儀需用136元；若購買2個大地球儀和1個小地球儀需用132元．（1）求每個大地球儀和每個小地球儀各多少元；（2）昌云中學決定購買以上兩種地球儀共30個，總費用不超過960元，那么昌云中學最多可以購買多少個大地球儀？【答案】見試題解答內容【分析】（1）設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元，根據(jù)條件建立方程組求出其解即可；（2）設大地球儀為a個，則小地球儀為（30﹣a）個，根據(jù)要求購買的總費用不超過960元，列出不等式解答即可．【解答】解：（1）設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元，根據(jù)題意可得：x+3y=1362x+y=132解得：x=52y=28答：每個大地球儀52元，每個小地球儀28元；（2）設大地球儀為a個，則小地球儀為（30﹣a）個，根據(jù)題意可得：52a+28（30﹣a）≤960，解得：a≤5，答：最多可以購買5個大地球儀．一．選擇題（共8小題）1．已知關于x的不等式組3x?1＜4(x?1)x＜m無解，則mA．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】A【分析】先按照一般步驟進行求解，因為大大小小無解，那么根據(jù)所解出的x的解集，將得到一個新的關于m不等式，解答即可．【解答】解：解不等式3x﹣1＜4（x﹣1），得：x＞3，∵不等式組無解，∴m≤3，故選：A．2．若點P（1?13m，mA．﹣5＜m＜3 B．﹣3＜m＜5 C．3＜m＜5 D．﹣5＜m＜﹣3【答案】C【分析】根據(jù)第三象限內點的橫坐標與縱坐標都是負數(shù)列出不等式組，然后求解即可．【解答】解：∵點P（1?13m∴1?1解不等式①得，m＞3，解不等式②得，m＜5，所以，m的取值范圍是3＜m＜5．故選：C．3．不等式組4?x≥33x?1＞?10A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而得出答案．【解答】解：解不等式4﹣x≥3，得：x≤1，解不等式3x﹣1＞﹣10，得：x＞﹣3，則不等式組的解集為﹣3＜x≤1，故選：D．4．不等式組2x+13?5x?36＜1?①?5≤2x?1≤5?②的解集是關于A．0＜a≤1 B．?1C．?13＜a≤1 D．?【答案】D【分析】先求出不等式組的解集，分為三種情況：a＞0、a＜0，a＝0，求出不等式ax＞﹣1的解集，再求出答案即可．【解答】解：2x+13解不等式①，得x＞﹣1，解不等式組②，得﹣2≤x≤3，所以不等式組的解集是﹣1＜x≤3，分為三種情況：①當a＜0時，不等式ax＞﹣1的解集是x＜?1∵不等式組是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，∴?1∴a＞?1②當a＞0時，不等式ax＞﹣1的解集是x＞?1∵不等式組的解集是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，∴?1∴a≤1，③當a＝0時，ax＞﹣1變成0＞﹣1，此時不是一元一次不等式，舍去，即a的取值范圍是?13＜a故選：D．5．如圖，按下面的程序進行運算．規(guī)定：程序運行到“判斷結果是否大于28”為一次運算．若運算進行了3次才停止，則x的取值范圍是（）A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4【答案】A【分析】根據(jù)第二次運算結果不大于28且第三次運算結果要大于28列出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍．【解答】解：依題意，得：3(3x?2)?2≤283[3(3x?2)?2]?2＞28解得：2＜x≤4．故選：A．6．關于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負整數(shù)，且關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥xA．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)關于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負整數(shù)，且關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，可以求得k【解答】解：由方程3﹣2x＝3（k﹣2），得x=9?3k∵關于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負整數(shù)，∴9?3k2≥0，得k≤3且9﹣3x?2(x?1)≤3①由①，得x≥﹣1，由②，得x≤k，∵關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x∴﹣1≤k，得k≥﹣1，由上可得，﹣1≤k≤3且9﹣3k能被2整除，∴符合條件的整數(shù)k的值為：﹣1，1，3，∴符合條件的整數(shù)k的值的和為：﹣1+1+3＝3，故選：C．7．已知關于x的不等式組x?a＞05?2x＞1有三個整數(shù)解，則aA．﹣2＜a＜﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1 D．﹣2＜a＜0【答案】B【分析】先把不等式組標號，求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定a的取值范圍即可．【解答】解：x?a＞0①解不等式①得，x＞a，解不等式②得，x＜2，∴不等式組的解集是a＜x＜2，∵不等式組有3個整數(shù)解，∴整數(shù)解為﹣1、0，1，∴﹣2≤a＜﹣1．故選：B．8．若關于x的不等式組x?12≤1+x34x?a＞x+1有且只有8個整數(shù)解，關于yA．﹣8 B．﹣10 C．﹣8或﹣10 D．﹣8或﹣9或﹣10【答案】D【分析】解不等式組，得到不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)判斷a的取值范圍，解分式方程，用含有a的式子表示y，根據(jù)解的非負性求出a的取值范圍，確定符合條件的整數(shù)a，相加即可．【解答】解：不等式組x?12解①得x≤5，解②得x＞a+1∴不等式組的解集為a+13＜∵不等式組有且只有8個整數(shù)解，∴﹣3≤a+1解得﹣10≤a＜﹣7；解分式方程2y+a+1y+9+99+y=1得y∵方程的解為非負數(shù)，∴﹣a﹣1≥0即a≤﹣1；綜上可知：﹣10≤a＜﹣7；∵a是整數(shù)，∴a＝﹣8或﹣9或﹣10．故選：D．二．填空題（共4小題）9．如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是m＜?12【答案】m＜?1【分析】根據(jù)點P在第三象限，即橫縱坐標都是負數(shù)，據(jù)此即可列不等式組求得m的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得m＜0①1+2m＜0②解①得m＜0，解②得m＜?1則不等式組的解集是m＜?1故答案為：m＜?110．不等式組2x+3＞3xx+33?【答案】2．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，進一步即可求解．【解答】解：2x+3＞3x①x+3由①得x＜3，由②得x≥﹣1，故原不等式組的解集﹣1≤x＜3，故原不等式組的整數(shù)解是﹣1，0，1，2．和為﹣1+0+1+2＝2，故答案為：2．11．若關于x的不等式組x2?1＜2?3x3a?3＜4x?2有且僅有3個整數(shù)解，a【答案】﹣7≤a＜﹣3．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出答案．【解答】解：x2解不等式①得：x＜10解不等式②得：x＞a?1∵關于x的不等式組x2∴﹣2≤a?1∴﹣7≤a＜﹣3，故答案為：﹣7≤a＜﹣3．12．已知x滿足不等式組2x＞?4x2?1≤3?【答案】4．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：2x＞?4①x解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤2，∴原不等式組的解集為﹣2＜x≤2，∴原不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1，2共4個．故答案為：4．三．解答題（共4小題）13．某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號銷售收入第一周3臺5臺1800元第二周4臺10臺3100元（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進貨成本）（1）求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；（2）若超市準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？【答案】見試題解答內容【分析】（1）設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，根據(jù)3臺A型號5臺B型號的電扇收入1800元，4臺A型號10臺B型號的電扇收入3100元，列方程組求解；（2）設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30﹣a）臺，根據(jù)金額不多余5400元，列不等式求解．【解答】解：（1）設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，依題意得：3x+5y=18004x+10y=3100解得：x=250y=210答：A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為250元、210元；（2）設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30﹣a）臺．依題意得：200a+170（30﹣a）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采購A種型號電風扇10臺時，采購金額不多于5400元．14．2023年是農(nóng)歷癸卯年（兔年），兔子生肖掛件成了熱銷品．某商店準備購進A，B兩種型號的兔子掛件．已知購進A型號兔子掛件3件和B型號兔子掛件4件共需220元，且A型號兔子掛件比B型號兔子掛件每件貴15元．（1）該商店購進A，B兩種型號的兔子掛件進價分別為多少元？（2）該商店計劃購進A，B兩種型號的兔子掛件共50件，且A，B兩種型號的兔子掛件每件售價分別定為48元，30元．假定購進的兔子掛件全部售出，若要商店獲得的利潤超過310元，則A型號兔子掛件至少要購進多少件？【答案】見試題解答內容【分析】（1）設A型號兔子掛件每件進價x元，則B型號兔子掛件每件進價（x﹣15）元，根據(jù)購進A型號兔子掛件3件和B型號兔子掛件4件共需220元列出方程，解方程即可；（2