第二章§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.課標要求內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時，都有

，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有

，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上

或

，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減2.函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有

；(2)?x0∈D，使得________(1)?x∈D，都有

；(2)?x0∈D，使得_________結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.?x1，x2∈I且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減).2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù).3.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝

的單調(diào)性相反.4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上單調(diào)遞增.(

)(2)若函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3).(

)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值.(

)(4)函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)×××√2.下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是A.y＝－2x＋1 B.y＝x2＋1C.y＝

D.y＝2xy＝－2x＋1在R上是減函數(shù)，故A正確；y＝x2＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯誤；y＝

在[0，＋∞)上是增函數(shù)，故C錯誤；y＝2x在R上是增函數(shù)，故D錯誤.√√4.函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x－1)>

的x的取值范圍是________.∵f(x)的定義域是[0，＋∞)，返回又∵f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，第二部分探究核心題型命題點1函數(shù)單調(diào)性的判斷例1

(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是A.y＝x－

B.y＝|x2－2x|C.y＝2x＋2cosx

D.y＝lg(x＋1)√題型一確定函數(shù)的單調(diào)性√√∵y＝x與y＝－

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴y＝x－

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故A正確；由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；∵y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx是R上的增函數(shù)，故C正確；函數(shù)y＝lg(x＋1)是定義域(－1，＋∞)上的增函數(shù)，故D正確.命題點2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)＝x2－

＋1(x>0)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明.證明：任取0<x1<x2，則所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·樂山檢測)函數(shù)f(x)＝(x－4)·|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是A.(－∞，0)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－∞，0)和(2，＋∞)D.(2，＋∞)√函數(shù)f(x)＝(x－4)·|x|＝

的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞).(2)(2024·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝

的單調(diào)遞增區(qū)間為____________.由f(t)＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，函數(shù)t＝2x2－3x－2的單調(diào)遞減區(qū)間，即為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，再結(jié)合f(x)的定義域可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.令t＝2x2－3x－2>0，命題點1比較函數(shù)值的大小例3

(2023·湘潭統(tǒng)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有

<0，則A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3)題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用√所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4).命題點2求函數(shù)的最值例4

(2023·四川外國語大學(xué)附中模擬)函數(shù)f(x)＝x－

＋1在[1,4]上的值域為√微拓展求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結(jié)合法.(4)換元法：引進一個(幾個)新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式.典例

(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是A.當(dāng)x∈[0,3)時，函數(shù)y＝x2－2x＋3的值域為[2,6)√√√對于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域為[2,6).故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞).由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，命題點3解函數(shù)不等式例5函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2,2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)<f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________.[－1,1)所以實數(shù)a的取值范圍是[－1,1).命題點4求參數(shù)的取值范圍例6

(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝

在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是√(1)比較函數(shù)值的大小時，先轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2024·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若f(a－1)≥f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是√由圖象知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(a－1)≥f(－a)轉(zhuǎn)化為a－1≥－a，(2)(2023·常德模擬)若函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋a在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是A.(0，＋∞) B.(0,1]C.[1，＋∞) D.[0，＋∞)√當(dāng)a＝0時，f(x)＝x，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，滿足題意；要使函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，綜上，a的取值范圍是[0，＋∞).返回課時精練一、單項選擇題1.函數(shù)f(x)＝|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(0,2) D.(0，＋∞)√12345678910111213141234567891011121314∴函數(shù)f(x)＝|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2).1234567891011121314√12345678910111213143.(2023·邵陽統(tǒng)考)已知f(x)是偶函數(shù)，f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，則f(1)，f(－2)，f(－3)的大小關(guān)系為A.f(1)>f(－2)>f(－3) B.f(－2)>f(－3)>f(1)C.f(－3)>f(1)>f(－2) D.f(－3)>f(－2)>f(1)√12345678910111213141234567891011121314因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因為f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1).4.設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(a＋1)≥f(2a－1)，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，1] B.(－∞，2]C.[2,6] D.[2，＋∞)√畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，結(jié)合圖象可知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(a＋1)≥f(2a－1)，得a＋1≥2a－1，解得a≤2.12345678910111213145.(2023·杭州模擬)設(shè)a∈R，則“a≥1”是“函數(shù)f(x)＝

在(1，＋∞)上單調(diào)遞減”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件1234567891011121314√1234567891011121314則a－1>0，解得a>1.因為a≥1不能推出a>1，a>1?a≥1，6.(2023·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√12345678910111213141234567891011121314因為y＝ex是增函數(shù)，y＝e－x是減函數(shù)，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上是增函數(shù).又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).二、多項選擇題7.(2023·深圳模擬)下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有

>0”的是A.f(x)＝21－x

B.f(x)＝－C.f(x)＝x2＋4x＋3 D.f(x)＝x－1234567891011121314√√√1234567891011121314函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有

>0”，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)＝21－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；函數(shù)f(x)＝－

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B符合題意；函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C符合題意；函數(shù)f(x)＝x－

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故D符合題意.8.(2023·湛江檢測)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1，則下列說法正確的是A.函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－1]上單調(diào)遞增B.函數(shù)y＝f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減C.當(dāng)x＝0時，函數(shù)y＝f(x)有最小值D.當(dāng)x＝－1或x＝1時，函數(shù)y＝f(x)有最大值√1234567891011121314√√1234567891011121314因為f(x)＝－x2＋2|x|＋1，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知f(x)在(－∞，－1]上單調(diào)遞增，在[－1,0]上單調(diào)遞減，故A，B正確；由圖象可知f(x)在x＝－1或x＝1時，函數(shù)y＝f(x)有最大值，沒有最小值，故C錯誤，D正確.三、填空題9.(2023·松原聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，則不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集為____________.1234567891011121314函數(shù)y＝2x與y＝－2－x均在R上是增函數(shù)，故f(x)在R上是增函數(shù)，10.已知命題p：“若f(x)<f(4)對任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增”.能說明命題p為假命題的一個函數(shù)是_________________________________________________________________.1234567891011121314f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，由題意知，令f(x)＝(x－1)2，滿足f(x)<f(4)對任意的x∈(0,4)都成立，但函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,4)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝(x－1)2可以說明命題p為假命題.四、解答題11.已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫成分段函數(shù)，并在平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；1234567891011121314函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.1234567891011121314由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4).123456789101112131412.(2023·重慶聯(lián)考)已知f(x)＝

(x∈R).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；證明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝由x1<x2可知所以所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).即f(x)在R上是增函數(shù).12345678910111213141234567891011121314(2)解關(guān)于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由(1)知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3<t<1，即關(guān)于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集為{t|－3<t<1}.13.(多選)