技能訓練十六互感線圈電路的研究7.1互感7.2互感線圈的同名端7.3互感線圈的連接及等效電路7.4空芯變壓器小結

習題七

1.訓練目的

(1)觀察互感現象;

(2)學會測定互感線圈同名端、互感系數以及耦合系數的方法。技能訓練十六互感線圈電路的研究

2.原理說明

一個線圈因另一個線圈中電流的變化而產生感應電動勢的現象稱為互感現象，這兩個線圈稱為互感線圈，用互感系數(簡稱互感)M來衡量互感線圈的這種性能。互感的大小除

了與兩線圈的幾何尺寸、形狀、匝數及導磁材料的導磁性能有關外，還與兩線圈的相對位置有關。

同名端即同極性端。

3.訓練設備

(1)直流數字電壓表、毫安表

(2)交流數字電壓表、電流表

(3)互感線圈、鐵、鋁棒

(4)EEL—51組件(含100Ω/3W電位器、510Ω／8W線繞電阻)

4.訓練內容

1)觀察互感現象

訓練圖16-1所示電路中，把線圈Ｎ1、Ｎ2同心套在一起，并放入鐵芯。U1為可調直流穩壓電源，其輸出電壓被調至6V。調可變電阻器RP(由大到小地調節)，使流過N1側的電流不超過0.4A(選用5A量程的數字電流表)，N2側直接接入2mA量程的毫安表。然后把鐵芯迅速地拔出和插入線圈，觀察毫安表。

2)測定互感線圈的同名端。

(1)直流法。

技能訓練電路如訓練圖16-1所示。通過觀察毫安表正、負讀數的變化，來判定N1和N2兩個線圈的同名端。訓練圖16-1(2)交流法。

實驗電路如圖16-2所示。將小線圈N2套在線圈N1中。N1串接電流表(選0～5A的量程)后接至自耦調壓器的輸出，并在兩線圈中插入鐵芯。

接通電源前，應首先把自耦調壓器調至零位，然后接通交流電源，調自耦調壓器輸出一個很低的電壓(2V左右)，使流過電流表的電流小于1.5A，用0～20V量程的交流電壓表測量U13、U12、U34，判定同名端。

拆去2、4連線，并將2、3相接，重復上述步驟，判定同名端。訓練圖16-2

3)測定兩線圈的互感系數Ｍ

在圖16-2電路中，互感線圈的Ｎ2開路，Ｎ1側施加2V左右的交流電壓U1，測出并記錄U1、I1、U2。

4)測定兩線圈的耦合系數K

在圖2電路中，N1開路，互感線圈的N2側施加2V左右的交流電壓U2，測出并記錄U2、I2、U1。

5.訓練注意事項

(1)整個實驗過程中，注意流過線圈N1的電流不超過1.5A，流過線圈N2的電流不得超過1A；

(2)在測定同名端及其他數據的實驗中，都應將小線圈N2套在大線圈N1中，并行插入鐵芯；

(3)實驗前，首先要檢查自耦調壓器，要保證手柄置在零位，因實驗時所加的電壓只有2～3V左右，因此調節時要特別仔細、小心，要隨時觀察電流表的讀數，不得超過規定值。

6.思考題

(1)互感電壓與電源電壓大小有何關系?

(2)互感電壓方向如何判斷？

7.訓練報告內容

(1)總結測定互感線圈同名端的方法。

(2)計算互感系數和耦合系數。在交流電路中，一個線圈的電流變化，不僅在本線圈中產生感應電動勢，而且還會使鄰近的線圈也產生感應電動勢，這種相互感應現象在工程上有非常重要的意義。在實際電路如收音機、電視機中使用的中周、振蕩線圈，以及整流電源里使用的變壓器等都與互感電路有關。本章主要討論磁耦合現象、互感規律及含互感電路的計算方法，最后了解空芯變壓器及其等效電路。7.1互感7.1.1互感電壓

由技能訓練十六可知，一個線圈的電流變化，不僅在自身線圈中產生感應電動勢，而且還會使鄰近的線圈也產生感應電動勢，這是因為線圈中因電流的變化而引起的變化磁通不僅穿過自身線圈而且還穿過相鄰的另一線圈，在另一個線圈中也會產生感應電壓。這種由于一個線圈的電流變化在另一個線圈中產生感應電壓的物理現象稱互感應現象，這種感應電壓叫互感電壓。圖7-1-1是兩個相鄰放置的線圈1和2，它們的匝數分別為N1和N2。在如圖7-1-1(a)所示電路中，線圈1中流入交流電流i1，在線圈1中就會產生自感磁通Φ11，Φ11的一部分磁

通Φ21不僅穿過線圈1，同時也穿過線圈2。我們把Φ21叫做互感磁通，而把未穿過線圈2的磁通叫做漏磁通，所以Φ21≤Φ11。定義磁通與線圈匝數的乘積叫做互感磁鏈。且Φ21≤Φ11。這種由一個線圈電流所產生的與另一個線圈相交鏈的磁鏈，就稱為互感磁鏈。同樣，在圖7-1-1(b)中所示電路中，當線圈2中流入電流i2時，不僅在線圈2中產生自感磁通Φ22，而且Φ22的一部分磁通Φ12穿過線圈1，在線圈1中產生互感磁鏈Ψ12。在線圈1中產生互感磁通Φ12和互感磁鏈Ψ12。圖7-1-1兩個具有互感的線圈自感磁鏈與自感磁通、互感磁鏈與互感磁通之間的關系如

Ψ11=N1Φ11,Ψ22=N2Φ22

Ψ12=N1Φ12,Ψ21=N2Φ21

(7-1)根據電磁感應定律，因互感磁鏈的變化而產生的互感電壓應為

(7-2)

即兩線圈中互感電壓的大小分別與互感磁鏈的變化率成正比。7.1.2互感系數和耦和系數

像圖7-1-1那樣，彼此間具有互感應的線圈稱為互感耦合線圈，簡稱耦合線圈。耦合線圈中，若選擇互感磁鏈的方向與其產生的電流方向符合右手螺旋定則，則它們的比值被稱為耦合線圈的互感系數，簡稱互感，用M表示，即有

(7-3)式中，M21是線圈1對線圈2的互感，M12是線圈2對線圈1的互感，而且可以證明:

M12=M21=M

(7-4)

即有

(7-5)互感M是個正實數，它和自感L具有相同的單位。其常用單位為亨(H)、毫亨(mH)或微亨(μH)。互感的大小反映一個線圈的電流在另一個線圈中產生磁鏈的能力，它不僅與兩線圈的幾何形狀和匝數有關，而且還與它們之間的相對位置有關。一般情況下，兩個耦合線圈中的電流所產生的磁通只有一部分與另一線圈相交鏈。其中不與另一線圈交鏈另一部分磁通，稱為漏磁通，簡稱漏磁。線圈間的相對位置直接影響漏磁通，即互感M的大小。通常用耦合系數k來衡量線圈的耦合程度。定義

(7-6)式中，L1、L2分別是線圈1和2的自感。由于漏磁的存在，k值總是小于1的。改變兩線圈的相對位置可以改變k值的大小，若兩個線圈緊密地纏繞在一起，如圖7-1-2(a)所示，k接近于1，此時互感最大，稱為兩個線圈全耦合，這時無漏磁通。若兩線圈相距較遠且線圈沿軸線相互垂直放置，磁通不發生交鏈，如圖7-1-2(b)所示，則k值就很小，甚至可

能接近于零，即兩線圈無耦合。例如半導體收音機的磁性天線，要求適當的、比較寬松的磁耦合，就需要調節兩個線圈的相對位置；有些地方還要盡量避免耦合，就應該合理選擇兩線圈的位置，使它們盡可

能地遠離，或放在軸線垂直的位置，必要時還應采取磁屏蔽的方法。圖7-1-2耦合系數與線圈相互位置的關系對于自感現象，由于線圈的自感磁鏈是由流過線圈本身的電流產生的，只要選擇自感電壓uL與電流iL為關聯參考方向，則有uL=L

，不必考慮線圈的繞向問題。

對于互感電壓，在引入互感M之后，式(7-2)可表示

(7-7)7.2互感線圈的同名端上式表明，互感電壓的大小與產生該電壓的另一線圈的電流變化率成正比。

由于互感磁鏈是由另一線圈的交變電流產生的，由此而產生的互感電壓在方向上會與兩耦合線圈的實際繞向有關。分析圖7-2-1所示的兩耦合線圈，它們的區別僅在于線圈的

繞向不同，根據楞次定律可以知道，圖(a)中的線圈2產生的互感電壓u21的實際方向是由B指向Y，而圖(b)中的線圈2產生的互感電壓u21的實際方向是由Y指向B。可見，要正確寫出互感電壓的表達式，必須考慮耦合線圈的繞向和相對位置。但工程實際中的線圈繞向一般不易從外部看出，而且在電路圖中也不可能畫出每個線圈的具體繞向來。為此，采用了標記同名端的方法。圖7-2-1互感電壓的方向與線圈繞向的關系7.2.1同名端

互感線圈的同名端是指：具有磁耦合的兩線圈，當電流分別從兩線圈各自的某端同時流入(或流出)時，若兩者產生的磁通方向相同，則這兩端叫做互感線圈的同名端，用“·”或“*”做標記。如在圖7-2-1(a)所示的耦合線圈中，設電流分別從線圈1的端鈕A和線圈2的端鈕B流入，根據右手螺旋定則可知，兩線圈中由電流產生的磁通是互相增強的，那么就稱A和B是一對同名端，用相同的的符號“*”標出。其他兩端鈕X和Y也是同名端，這里就不必再做標記。而A和Y、B和X均為異名端。在圖7-2-1(b)中，當電流分別從A、B兩端鈕流入時，它們產生的磁通是互相減弱的，則A和B、Y和X均為兩對異名端，而A和Y、B和X分別為兩對同名端，圖中用符號“*”標出了A和Y這對同名端。圖7-2-2中，標出了一種不同位置和繞向的互感線圈的同名端。應看到，同名端總是成對出現的，如果兩個以上的線圈彼此間都存在磁耦合時，同名端應當一對一的加以標記，每一對同名端需用不同于其他端鈕的符號標出。

采用了標記同名端的方法后，圖7-2-1所示的兩組線圈在電路圖中就可以分別用圖7-2-3所示的電路符號來表示。圖7-2-2另一種互感線圈的同名端圖7-2-3圖7-2-1互感線圈的電路符號7.2.2同名端的作用

同名端確定后，在討論互感電壓時，就不必去考慮線圈的實際繞向如何，而只要根據同名端和電流的參考方向，就可以方便地確定出這個電流在另一線圈中產生的互感電壓的方向。

對圖7-2-4(a)所示電路，若設電流i1和i2分別從A端、C端流入，就認為磁通同向。若再設線圈上的電壓、電流參考方向關聯，那么兩線圈上的電壓分別為

如果如圖7-2-4(b)所示，設電流i1還從A端流入，i2不是從C端流入，而是從C端流出，就認為磁通方向相反。若再設兩互感線圈上電壓與其上電流參考方向關聯，則

由此可以得出結論：

(7-8)圖7-2-4互感線圈的同名端

說明每一線圈的端電壓為自感電壓與互感電壓的疊加。當各線圈的電壓和電流取關聯參考方向時，自感電壓項總為正；互感電壓項的符號可“+”可“-”。

當互感對線圈中的磁鏈起“增加”作用時，則互感電壓與自感電壓方向相同，互感電壓項前取“+”，反之，若互感對線圈中的磁鏈起“減少”的作用，這時互感電壓與自感電壓方向相反，互感電壓項前取“－”。互感和自感一樣，在直流情況下是不起作用的。

確定耦合線圈的同名端不僅在理論分析中是必要的，而且在實際工作中也是十分重要的，如果同名端搞錯了，電路將得不到預期效果，甚至會造成嚴重后果。7.2.3同名端的測定

對于已知繞向和相對位置的耦合線圈可以利用上述磁通相互增強的原則來確定同名端，而對于不知道實際繞向的兩線圈，可以通過直流法和交流法來測定同名端。

圖7-2-5所示的電路就是用來測定耦合線圈同名端的。圖7-2-5(a)中，當開關S閉合瞬間，線圈1中的電流i1在圖示方向下增大，即>0。在線圈2的B、Y兩端鈕之間接入一個直流毫伏表，其極性如圖所示。若此瞬間電壓表正偏，說明B端相對于Y端是高電位，這時就說明兩線圈的A和B為同名端。其原理是：當隨時間增大的電流從互感線圈的任一端鈕流入時，就會在另一線圈的相應同名端產生一個正極性的互感電壓。這種通入直流電以確定同名端的方法叫直流法。圖7-2-5(b)中，當接入交流電壓時，如果V3表的讀數比V1、V2表的讀數大，說明A和Y為同名端；如果V3表的讀數不比V1、V2表的讀數大，說明A和B為同名端。

我們把這種通入交流電以確定同名端的方法叫交流法。圖7-2-5測定同名端

例7-1

在圖7-2-6(a)所示電路中，已知兩線圈的互感M=0.1H，電流源iS的波形如圖7-2-6(b)所示，試求線圈2中的互感電壓u21及其波形。

解互感電壓u21的參考方向如圖7-2-6(a)所示，由圖7-2-6(b)可知，當0≤t≤0.05s時，iS=20t，

u21=M

=0.1×20V=2V當0.05≤t≤0.15s時，iS=(2-20t)，

當0.15≤t≤0.2s時，iS=(-4+20t)，

互感電壓u21的波形如圖7-2-6(c)所示。圖7-2-6例7-1圖含有互感的電路，在計算時仍然滿足基爾霍夫定律，在正弦量激勵下相量法也仍然適用，只需注意，在列寫電路方程時，有互感的支路除了有自感電壓外還要考慮互感電壓。

本節分析互感線圈的串、并聯電路。為了方便分析，暫不考慮線圈的內阻。7.3互感線圈的連接及等效電路7.3.1互感線圈的串聯及等效

如圖7-3-1所示，如果將兩個線圈的異名端連在一起形成一個串聯電路，電流均由兩個線圈的同名端流入(或流出)，這種串聯方式叫順向串聯。如果將兩個線圈的同名端連在一起形成一個串聯電路，電流均由兩個線圈的異名端流入(或流出)，這種串聯方式叫反向串聯。圖7-3-1互感線圈的串聯按關聯參考方向標出的自感電壓、互感電壓的方向如圖中所示，根據KVL有

u=u11±u12+u22±u21

(7-9)

將電流與自感電壓、互感電壓的關系式代入上式，有

在正弦電路中，上式可寫成相量形式:

(7-10)

式中，L=L1+L2±2M，稱為串聯等效電感。因此圖7-3-1(a)、(b)所示電路均可用一個等效電感L來替代。

順向串聯等效電感Ls大于兩線圈的自感之和，其值為

Ls=L1+L2+2M反向串聯等效電感Lf小于兩線圈的自感之和，其值為

Lf=L1+L2-2M

不難從物理上解釋Ls大于Lf：順向串聯時，電流從同名端流入，兩磁通相互增強，總磁鏈增加，等效電感增大；反向串聯時情況則相反，總磁鏈減小，等效電感減小。根據Ls和Lf可以求出兩線圈的互感

(7-11)

例7-2

將兩個線圈串聯接到50Hz、60V的正弦電源上，順向串聯時的電流為2A，功率為96W，反向串聯時的電流為2.4A，求互感M。

解順向串聯時，

反向串聯時,7.3.2互感線圈的并聯及等效

如圖7-3-2所示，互感線圈的并聯也有兩種形式，一種是兩個互感線圈的同名端在一側，稱為同側并聯；另一種是兩個互感線圈的同名端在兩側，稱為異側并聯。圖7-3-2互感線圈的并聯在圖示電壓、電流參考方向下，可列出如下方程:

(7-12)

式中互感電壓前的正號對應于同側并聯;負號對應于異側并聯，則式(7-12)變為

(7-13)上式表明，兩個互感線圈并聯以后的等效電感

(7-14)

式中互感M前的正號對應于異側并聯，負號對應于同側并聯。按式(7-12)進行變換、整理，可得方程:(7-15)式(7-15)方程與圖7-3-3所示電路的方程是一致的，也就是說，圖7-3-2所示電路可以用圖7-3-3的無互感電路來代替。圖7-3-3并聯互感線圈的去耦等效電路應當注意：這種等效只是對外電路而言的，電路的內部結構明顯發生了變化。

有時還能遇到如圖7-3-4所示的電路，它們有一端連在一體，通過三個端鈕與外部相連接。圖(a)稱同側連接；圖(b)稱異側連接。在圖示電壓、電流參考方向下，可列出其端鈕電壓方程如下：

(7-16)式中M項前的正號應該用于同側連接，負號應該用于異側連接。

利用電流關系式，可將(7-16)變換為(7-17)同樣可以畫出公式(7-17)對應的去耦等效電路模型，如圖7-3-4(c)所示，圖中M前的正號應該用于同側連接，負號應該用于異側連接，該種連接方式常稱為T型連接。圖7-3-4T型互感線圈的去耦等效電路7.3.3互感電路的計算

計算互感電路的最基本方法是：根據標出的同名端，考慮互感電壓，再根據基爾霍夫定律列出KCL、KVL方程求解。以前所述的電路分析方法都可以用來分析含互感的電路。另外，利用7.3.3節討論的去耦等效電路也可以計算含互感的電路，這種方法叫做互感消去法(又叫做去耦等效法)。

本節通過例題來說明含互感電路的計算。

例7-3

圖7-3-5所示具有互感的正弦電路中，已知：XL1=10Ω，XL2=20Ω，XC=5Ω，耦合線圈的互感抗XM=10Ω，電源電壓=20∠0°V，RL=10Ω，分別用支路法，互感消去法及戴維寧定理求。圖7-3-5例7-3圖

解

(1)支路法。由KVL得:

其中，=jXL1

-jXM

，=jXL2

-jXM將題目給出的數據代入方程中得且。解方程組得。

(2)互感消去法。

利用互感消去法畫出的等效電路如圖7-3-6所示。利用阻抗的串、并聯等效變換就可以計算出：

圖7-3-6圖7-3-5的去耦電路

(3)用戴維南定理求解。

把RL支路移去，對剩下的電路進行變換，分別求開路電壓和等效阻抗Zi，如圖7-3-7所示。圖7-3-7用戴維南定理求開路電壓和短路等效阻抗式中

(僅有互感，自感電壓為0)

則

圖(a)左邊網孔的KVL方程為

將值代入得

用外加電源法求Zi，如圖(b)所示,可列寫下列方程：

解方程得

Zi=-j30Ω最后得等效電路如圖(c)所示。由該圖可得

不管采用哪種方法，計算結果都相同，所以我們在分析含互感的電路時，到底采用哪種方法，要根據電路的特點來選擇。7.4.1空芯變壓器的概念

變壓器是利用電磁感應原理傳輸電能或電信號的器件。通常有一個初級線圈和一個次級線圈，初級線圈接電源，次級線圈接負載，能量可以通過磁場的耦合，由電源傳遞給負載。

構成變壓器的兩個線圈，一個與電源相連，叫一次側線圈；另一個與負載相連，叫二次側線圈，若變壓互感線圈繞在非鐵磁材料制成的芯子上，并且兩線圈具有互感，其耦合系數較小，屬于松耦合，則該變壓器稱為空芯變壓器。7.4空芯變壓器7.4.2空芯變壓器的電路模型

空芯變壓器的模型如圖7-4-1所示，其一次側和二次側分別用電感與電阻的串聯表示，其一次側的參數為R1、L1；二次側的參數為R2、L2；兩線圈的互感為M。圖7-4-1空芯變壓器電路根據圖中的參考方向，可列出一次側和二次側的KVL方程如下：

式中，XL1=ωL1，XL2=ωL2，XM=ωM。

令

Z11=R1+jXL1，Z22=(R2+RL)+j(XL2+XL)=R22+jX22

則

(7-18)

(7-19)從上式得到

(7-20)

(7-21)從上式可以看出：雖然空芯變壓器的兩個互感線圈在電路上沒有直接聯系，但由于互感的作用，使得二次側獲得了與電源同頻率的互感電壓，當二次側閉合后，產生二次電流，而二次側電流又反過來去影響一次側，這種二次側對一次側的影響可以看做在一次側串入了一個Zr，其值為

(7-22)

Zr稱為反映阻抗，整理上式可得

(7-23)式中，Rr、Xr分別為二次側對一次側的反映電阻和反映電抗。Rr＞0恒成立，Rr吸收的有功功率就是一次側通過互感傳遞給二次側的有功功率。Xr和X22符號相反，說明反映電

抗與二次側電抗性質相反，即二次側電抗是容性時，則反射電抗為感性；反之，當二次側電抗是感性時，則反映電抗為容性。若二次側開路時，ZL為無限大，則Rr、Xr均為零，二次側對一次側無影響。這就是說，次級回路對初級回路的影響可以用反映阻抗來表現。因此，從空芯變壓器的電源側看進去的等效電路，稱為一次側的等效電路，如圖7-4-2(a)所示。同理得到二次

側的等效電路如圖(b)所示。圖7-4-2空芯變壓器一次側、二次側等效電路適當利用以上各種等效電路可以簡化分析計算。

例7-4

已知變壓器各參數如下：R1=5kΩ，jωL1=j12kΩ，R2=0Ω，jωL2=j10kΩ，jωM=j2kΩ，ZL=(0.2-j9.8)kΩ。外加電壓=10∠0°V，求，、。

解因為

Z1=5+j12kΩ

Z2=j10kΩ

ZL=(0.2-j9.8)kΩ

ωM=2kΩ

Z22=Z2+ZLd=(j10+0.2-j9.8)kΩ=(0.2+