高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市2024-2025學年高二上學期開學聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式得，即，所以.故選：C.2.已知為虛數單位，，則的共軛復數（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，所以的共軛復數.故選：A.3.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦函數的定義可知，再利用誘導公式知.故選：B.4.已知向量，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】因為，則，又因為，即，所以，即.故選：C.5.已知是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，且，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，若，則直線可能平行，異面，相交，故A錯誤；對于B，若，則直線可能平行，異面，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行或相交，故C錯誤；對于D，若，又，則，故D正確.故選：D.6.已知長為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長的最小值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】由題意可知：，又因為，即，可得，即，當且僅當時，等號成立，所以該矩形周長的最小值為16.故選：D.7.已知函數在上有且僅有1個零點，則實數（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因為定義域為R，且，可知為偶函數，若函數在R上有且僅有1個零點，由對稱性可知的唯一零點為0，則，解得；若，則，因為，即，當且僅當時，等號成立，且，即，當且僅當時，等號成立，可知，當且僅當時，等號成立，所以有且僅有一個零點0，符合題意；綜上所述：.故選：A.8.記的三個內角的對邊分別為，若則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，且，則，即，可得，因為，則，即，可得，所以的取值范圍為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.與的最小正周期相同B.與有相同的最大值C.與的圖象有相同的對稱軸D.曲線與在上有4個交點【答案】ABD【解析】對于A，因為的周期為，所以的最小正周期為，又函數的最小正周期為，故A正確；對于B，的最大值為1，的最大值為1，故B正確；對于C，的對稱軸為，，令，解得，，所以的對稱軸為，，所以與的對稱軸不同，故C錯誤；對于D，如圖作出與的圖象，與在上有4個交點，故D正確.故選：ABD.10.已知是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列結論一定正確的是（）A.B.不可能為互斥事件C.若，則事件相互獨立D.若相互獨立，則【答案】BC【解析】對于A，若，則事件相互獨立，無法確定，故A錯誤；對于B，若為互斥事件，則，所以，故不可能為互斥事件，故B正確；對于C，若，所以事件相互獨立，故C正確；對于D，若，互相獨立，則相互獨立，所以.故D錯誤.故選：BC.11.已知圓臺的上?下底面圓的直徑分別為2和6，母線長為4，則下列結論正確的是（）A.該圓臺的高為B.該圓臺的體積為C.該圓臺的外接球的表面積為D.挖去以該圓臺的上底面為底面?高為2的圓柱，剩余的幾何體的表面積為【答案】BCD【解析】如圖所示，為軸截面，點在下底面的投影分別為，由題意可知：，則，對于選項A：該圓臺的高為，故A錯誤；對于選項B：圓臺的體積為，故B正確；對于選項C：由題意可知：外接球的球心，設外接球的半徑為，因為，即，解得，所以該圓臺的外接球的表面積為，故C正確；對于選項D：由題意可知：剩余的幾何體的表面有：上、下底面圓面，圓臺、圓柱的側面，所以剩余的幾何體的表面積為，故D正確；故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】因為，解得，所以.13.設的三個內角的對邊分別為，已知，則__________.【答案】【解析】由余弦定理知，所以，所以.14.已知分別表示函數在區間上的最大值與最小值，則__________.【答案】30【解析】因為，則，可得，即，若，則，當且僅當時，等號成立，即在內的最小值為，所以；若，則，當且僅當時，等號成立，即在內的最大值為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1），且，.的值為.（2）.故的值為.16.某農業研究所為調研新品種玉米的畝產量分布情況，從甲鎮種植的舊品種玉米中隨機抽取100畝的產量，并得到畝產量的平均數，中位數；從乙鎮種植的新品種玉米中隨機抽取100畝的產量，按畝產量進行分組（每組為左閉右開區間），得到畝產量的頻率分布直方圖如下：（1）每組數據以組中值為代表，估計乙鎮種植的新品種玉米畝產量的平均數，中位數；并根據“同一品種玉米畝產量的平均數與中位數差的絕對值越小，玉米畝產量越穩定”，比較甲?乙兩鎮種植的不同品種玉米畝產量的穩定情況.（2）現按畝產量用分層隨機抽樣的方法，從乙鎮畝產量在和內的樣本中共抽取6畝，再從這6畝中隨機抽取2畝深入調研分析，求抽取的2畝的產量位于不同畝產量區間的概率.解：（1）根據題意，，，因為，，所以乙鎮種植的新品種玉米誰更穩定.（2）由頻率分布直方圖，畝產量在的有10畝，畝產量在的有5畝，所以樣本中共抽取的6畝有畝在，有2畝在，設在的4畝為，，，，在的2畝為，則從這6畝中隨機抽取2畝的情況有：,,,,,所以抽取的2畝的產量位于不同畝產量區間的概率為.17.如圖，在四棱錐中，，，側面平面.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積.解：（1）因，即，所以，如圖所示，取中點E，連接，因為，所以，又側面平面，側面平面，所以底面，而底面，所以，因為，，平面，所以平面,因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）由上知底面，且，則直線與平面所成角為，即，，故三棱錐的體積為.18.已知函數的圖象的對稱中心為.（1）求的值；（2）用函數單調性的定義證明在其定義域上單調遞減；（3）若方程在上有解，求實數的取值范圍.解：（1）根據題意有，整理得，即，所以，經檢驗，符合題意；（2）由上知，令，不妨設令，則，易知，又，所以，則，即，則在定義域上單調遞減，證畢；（3）方程在上有解，即兩個函數與有交點，令，設，則時，，則，顯然時，該函數單調遞減，而單調遞增，根據復合函數的單調性知在時單調遞減，結合（2）的結論有單調遞減，所以，而接近0時，y接近正無窮，所以，即實數的取值范圍為.19.已知的三個內角的對邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，求的面積；（3）若為銳角三角形，當取得最小值時，求的值.解：（1）易知，整理得，即，所以，因為，所以，即,所以，證畢；（2）由（1）知，則，如圖所示作，垂足為D，由題意知，根據勾股定理有，且，所以，故；（3）由（1）知，根據正弦定理知：,又為銳角三角形，即，則,所以，當且僅當，即時取得最小值.河南省駐馬店市2024-2025學年高二上學期開學聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式得，即，所以.故選：C.2.已知為虛數單位，，則的共軛復數（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，所以的共軛復數.故選：A.3.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦函數的定義可知，再利用誘導公式知.故選：B.4.已知向量，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】因為，則，又因為，即，所以，即.故選：C.5.已知是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，且，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，若，則直線可能平行，異面，相交，故A錯誤；對于B，若，則直線可能平行，異面，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行或相交，故C錯誤；對于D，若，又，則，故D正確.故選：D.6.已知長為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長的最小值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】由題意可知：，又因為，即，可得，即，當且僅當時，等號成立，所以該矩形周長的最小值為16.故選：D.7.已知函數在上有且僅有1個零點，則實數（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因為定義域為R，且，可知為偶函數，若函數在R上有且僅有1個零點，由對稱性可知的唯一零點為0，則，解得；若，則，因為，即，當且僅當時，等號成立，且，即，當且僅當時，等號成立，可知，當且僅當時，等號成立，所以有且僅有一個零點0，符合題意；綜上所述：.故選：A.8.記的三個內角的對邊分別為，若則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，且，則，即，可得，因為，則，即，可得，所以的取值范圍為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.與的最小正周期相同B.與有相同的最大值C.與的圖象有相同的對稱軸D.曲線與在上有4個交點【答案】ABD【解析】對于A，因為的周期為，所以的最小正周期為，又函數的最小正周期為，故A正確；對于B，的最大值為1，的最大值為1，故B正確；對于C，的對稱軸為，，令，解得，，所以的對稱軸為，，所以與的對稱軸不同，故C錯誤；對于D，如圖作出與的圖象，與在上有4個交點，故D正確.故選：ABD.10.已知是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列結論一定正確的是（）A.B.不可能為互斥事件C.若，則事件相互獨立D.若相互獨立，則【答案】BC【解析】對于A，若，則事件相互獨立，無法確定，故A錯誤；對于B，若為互斥事件，則，所以，故不可能為互斥事件，故B正確；對于C，若，所以事件相互獨立，故C正確；對于D，若，互相獨立，則相互獨立，所以.故D錯誤.故選：BC.11.已知圓臺的上?下底面圓的直徑分別為2和6，母線長為4，則下列結論正確的是（）A.該圓臺的高為B.該圓臺的體積為C.該圓臺的外接球的表面積為D.挖去以該圓臺的上底面為底面?高為2的圓柱，剩余的幾何體的表面積為【答案】BCD【解析】如圖所示，為軸截面，點在下底面的投影分別為，由題意可知：，則，對于選項A：該圓臺的高為，故A錯誤；對于選項B：圓臺的體積為，故B正確；對于選項C：由題意可知：外接球的球心，設外接球的半徑為，因為，即，解得，所以該圓臺的外接球的表面積為，故C正確；對于選項D：由題意可知：剩余的幾何體的表面有：上、下底面圓面，圓臺、圓柱的側面，所以剩余的幾何體的表面積為，故D正確；故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】因為，解得，所以.13.設的三個內角的對邊分別為，已知，則__________.【答案】【解析】由余弦定理知，所以，所以.14.已知分別表示函數在區間上的最大值與最小值，則__________.【答案】30【解析】因為，則，可得，即，若，則，當且僅當時，等號成立，即在內的最小值為，所以；若，則，當且僅當時，等號成立，即在內的最大值為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1），且，.的值為.（2）.故的值為.16.某農業研究所為調研新品種玉米的畝產量分布情況，從甲鎮種植的舊品種玉米中隨機抽取100畝的產量，并得到畝產量的平均數，中位數；從乙鎮種植的新品種玉米中隨機抽取100畝的產量，按畝產量進行分組（每組為左閉右開區間），得到畝產量的頻率分布直方圖如下：（1）每組數據以組中值為代表，估計乙鎮種植的新品種玉米畝產量的平均數，中位數；并根據“同一品種玉米畝產量的平均數與中位數差的絕對值越小，玉米畝產量越穩定”，比較甲?乙兩鎮種植的不同品種玉米畝產量的穩定情況.（2）現按畝產量用分層隨機抽樣的方法，從乙鎮畝產量在和內的樣本中共抽取6畝，再從這6畝中隨機抽取2畝深入調研分析，求抽取的2畝的產量位于不同畝產量區間的概率.解：（1）根據題意，，，因為，，所以乙鎮種植的新品種玉米誰更穩定.（2）由頻率分布直方圖，畝產量在的有10畝，畝產量在的有5畝，所以樣本中共抽取的6畝有畝在，有2畝在，設在的4畝為，，，，在的2畝為，則從這6畝中隨機抽取2畝的情況有：,,,,,所以抽取的2畝的產量位于不同畝產量