任意角三角函數的定義（2）（一）問題引入復習回顧

設α是一個任意角，在角α的終邊OM上任取不同于原點O的點P(x，y)，則

思考：半徑為1的圓稱為“單位圓”.如何利用單位圓定義任意角的三角函數？（二）新知探究

問題1：如何借助單位圓定義任意角的三角函數？

設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則r=1（二）新知探究

設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則

問題2：任意角的三角函數值的符號與什么有關？其變化有什么規律？

sinαycosαxtanαx和y三角函數值的符號規律角α的終邊在第一、二象限或者y軸正半軸上sinα>0當且僅當++y>0三角函數值的符號規律角α的終邊在第一、二象限或者y軸正半軸上sinα>0角α的終邊在第三、四象限或者y軸負半軸上sinα<0++－－y>0y<0三角函數值的符號規律角α的終邊在第一、四象限或者x軸正半軸上cosα>0角α的終邊在第二、三象限或者x軸負半軸上cosα<0++x>0－－x<0三角函數值的符號規律角α的終邊在第一、三象限tanα>0角α的終邊在第二、四象限tanα<0++－－異號異號同號同號三角函數值的符號規律（二）新知探究問題3：任意角的三角函數值如何用圖形進行表示？思考1：若角α終邊在第一象限，sinα和cosα的值用圖形如何表示？OD＝x＝cosα.DP＝y＝sinα，（二）新知探究問題3：任意角的三角函數值如何用圖形進行表示？

設單位圓的圓心為直角坐標系的原點O，角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D.思考1：若角α終邊在第一象限，sinα和cosα的值用圖形如何表示？任意角的三角函數線

過點A(1，0)作單位圓的切線，切線垂直于x軸，設該切線與角α的終邊(或其反向延長線)相交于點T．思考2：此時，tanα的值和什么幾何元素有關？如何表示？任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？sinα線段DPcosα線段ODtanα線段AT任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？sinα線段DPcosα線段ODtanα線段AT任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？sinα有向線段DPcosα有向線段ODtanα有向線段AT任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？sinα有向線段DPD為起點，P為終點：當它指向y軸的正方向時，取正實數值y；當它指向y軸的負方向時，取負實數值y；當它的長度為0時，取零值．稱DP為角α的正弦線.任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？O為起點，D為終點：當它指向x軸的正方向時，取正實數值x；當它指向x軸的負方向時，取負實數值x；當它的長度為0時，取零值．cosα有向線段OD稱OD為角α的余弦線.任意角的三角函數線思考3：如果角α的終邊在其它象限，上面的結論還成立嗎？A為起點，T為終點：當它指向y軸的正方向時，取正實數值；當它指向y軸的負方向時，取負實數值；當它的長度為0時，取零值．tanα有向線段AT稱AT為角α的正切線.任意角的三角函數線正弦線DP余弦線OD正切線AT三角函數線（三）例題講解

解：觀察圖中各象限角的三角函數線可知

第一、二象限角的正弦線DP為正向，正弦值為正；第三、四象限角的正弦線DP為負向，正弦值為負.

第一、四象限角的余弦線OD為正向，余弦值為正；第二、三象限角的余弦線OD為負向，余弦值為負.

例1利用正弦線、余弦線、正切線研究各象限角的三角函數值的符號．（三）例題講解

解：觀察圖中各象限角的三角函數線可知

例1利用正弦線、余弦線、正切線研究各象限角的三角函數值的符號．

第一、三象限角的正切線AT為正向，正切值為正；第二、四象限角的正切線AT為負向，正切值為負.代數幾何（三）例題講解

練習

判斷下列各值的符號：

（1）

（2）

（3）

解：（1）因為

是第三象限角，所以

（2）因為

的角是第二象限角，所以（3）因為

的角是第三象限角，

所以

得（三）例題講解

解：因為sinθ<0，

所以θ是第三或第四象限的角因為tanθ>0，

所以θ是第一或第三象限的角.因此滿足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限的角.

例2設sinθ<0且tanθ>0，試確定θ是第幾象限的角．或終邊在y軸的負半軸上.（三）例題講解例3已知

試借助單位圓比較下列實數的大小.

（1）在單位圓中，

借助三角函數線由兩邊之和大于第三邊,可得（1）sinα+cosα與1；（2）α，sinα，tanα.

解：sinα+cosα>1.1（三）例題講解例3已知

試借助單位圓比較下列實數的大小.

（2）思路1：借助長度之間的不等關系

解：

所以.

因為

，（1）sinα+cosα與1；（2）α，sinα，tanα.（三）例題講