3.3.1拋物線及其標準方程第三章圓錐曲線的方程3.3

拋物線整體感知[學習目標]

1．掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．(數學抽象)2．會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題．(數學運算、數學建模)(教師用書)拋物線這個幾何對象，我們并不陌生．例如，從物理學中我們知道，一個向上斜拋的乒乓球，其運動軌跡是拋物線的一部分，如圖所示，二次函數的圖象是一條拋物線，等等．到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？[討論交流]

問題1．選擇不同的坐標系，就得到了不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有幾種形式？問題2．二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標和準線方程分別是什么？[自我感知]

經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1拋物線的定義探究問題1如圖，把一根直尺固定在畫板內直線l的位置上，截取一根繩子的長度等于AB的長度，現將繩子的一端固定在三角板的頂點A處，另一端用圖釘固定在畫板上的F處，用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動，這樣鉛筆尖就描出了一條曲線．在作圖的過程中，你能發現點P滿足的條件嗎？它的軌跡是什么形狀？[提示]

點P運動的過程中，始終有|PF|＝|PB|，即點P與定點F的距離等于它到直線l的距離，點P的軌跡是拋物線．[新知生成]平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離____的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的____，直線l叫做拋物線的____．【教用·微提醒】

(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強調定點F不在定直線l上．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．相等焦點準線[學以致用]

1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (

)(2)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (

)(3)若點P到點F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點P的軌跡是拋物線． (

)(4)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (

)√×√×探究2拋物線的標準方程探究問題2如圖，已知拋物線的焦點F到準線l的距離為p(p＞0)，試建立適當的平面直角坐標系，使得到的拋物線方程最為簡單，并寫出此方程．

[新知生成]圖形標準方程焦點坐標準線方程________________________________y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

圖形標準方程焦點坐標準線方程________________________________x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

【教用·微提醒】

(1)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．(2)標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．(3)拋物線標準方程中參數p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離．(4)焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定．當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向．【鏈接·教材例題】例1

(1)已知拋物線的標準方程是y2＝6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點是F(0，－2)，求它的標準方程．

√

反思領悟

1．拋物線標準方程的求法(1)定義法：建立適當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程．(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．2．求拋物線標準方程時應注意的問題(1)把握開口方向與方程一次項系數的對應關系．(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數．(3)注意p的幾何意義．[學以致用]

2．(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝________，準線方程為________．(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為____________________．

2x＝－1

x2＝10y，x2＝－10y

√

[母題探究]1．若將本例(2)中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．

反思領悟

拋物線定義的兩種應用(1)實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．[學以致用]

3．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．若AB的中點M到拋物線準線的距離為6，則線段AB的長為(

)A．6

B．9

C．12

D．14√C

[如圖所示，過點A，M，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，M′，D，由拋物線的定義，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因為點M為AB的中點，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]探究4拋物線的實際應用【鏈接·教材例題】例2一種衛星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖3.3-3(1)．已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m，深度為1m．試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標．[解]

如圖3.3-3(2)，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，焦點在x軸上．設拋物線的標準方程是y2＝2px(p＞0)．由已知條件得，點A的坐標是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．所以，所求拋物線的標準方程是y2＝5.76x，焦點坐標是(1.44，0)．[典例講評]

3．如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度AB＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度為(

)A．2.25m

B．2.5mC．3.25m

D．3.5

m√C

[取隧道截面，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，則C(4，－4)，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將點C代入拋物線方程得p＝2，∴拋物線方程為x2＝－4y，行車道總寬度AB＝6m，∴將x＝3代入拋物線方程，得y＝－2.25m，∴限高為6－2.25－0.5＝3.25(m)．故選C．]反思領悟

求解拋物線實際應用題的步驟【教用·備選題】某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問：該貨船在現在狀況下能否直接或設法通過該橋孔？為什么？

√

應用遷移23題號41

√

23題號412．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到準線的距離為2，則拋物線的焦點坐標為(

)A．(0，1)

B．(0，2)C．(1，0)

D．(2，0)√

23題號41

√

23題號414．若拋物線x2＝28y上一點(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則y0＝________．

1．知識鏈：(1)拋物線的定義．(2)拋物線的標準方程的四種形式．(3)拋物線定義的應用．(4)拋物線的實際應用．2．方法鏈：待定系數法、定義法、數形結合．3．警示牌：求拋物線的方程時不要混淆拋物線的焦點位置和方程形式．回顧本節知識，自主完成以下問題：1．拋物線是如何定義的？試寫出其標準方程．[提示]

把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．焦點在x軸上的拋物線標準方程為y2＝±2px(p>0)，焦點在y軸上的拋物線標準方程為x2＝±2py(p>0)．2．當拋物線的焦點位置不確定時，如何設拋物線方程？[提示]

可設拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．課時分層作業(三十二)拋物線及其標準方程題號135246879101112131415一、選擇題1．設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(

)A．拋物線

B．雙曲線

C．橢圓

D．圓√A

[設圓心C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A，因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以|CA|＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以|CA|＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線．故選A．]題號135246879101112131415題號135246879101112131415

√

題號3524687910111213141513．石拱橋是世界橋梁史上出現較早、形式優美、結構堅固的一種橋型．如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部分，當水面距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是(

)A．1米

B．2米

C．4米

D．8米√B

[設拋物線C：x2＝－2py(p＞0)，由題意可知點(4，－4)在拋物線C上，則－2p×(－4)＝42，解得p＝2，∴拋物線C的焦點到準線的距離是2米．故選B．]題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151√

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．已知拋物線C：x＝4y2，則拋物線C的焦點坐標為____________．

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

x2＝－4y

題號352468791011121314151三、解答題9．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線x－2y－4＝0上．(1)求該拋物線的方程；(2)若該拋物線上點A的橫坐標為2，求點A到該拋物線焦點的距離．題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√

題號35246879101112131415111．(多選)若點A(2，1)到拋物線C：y＝ax2的準線的距離為4，則C的方程可能是(

)A．x2＝20y

B．x2＝－20yC．x2＝12y

D．x2＝－12y√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√√√題號352468791011121314151

題號35246879101112131415113