PAGE1專題11利用數學思想方法解決線段與角的計算問題分類討論思想求解線段長問題的多解題1．（23-24七年級上·甘肅武威·期末）已知點A、B、C在一條直線上，，則的長為．【答案】或【知識點】線段的和與差【分析】本題考查線段的和與差，分點在線段上，和在線段的延長線上，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：當點在線段上時，；當點在線段的延長線上時，；故答案為：或．2．（23-24七年級上·云南紅河·期末）點是線段的中點，點是直線上的一點，點是線段的中點，若，則線段的長為．【答案】5或【知識點】線段中點的有關計算【分析】本題考查了線段的中點的概念，線段的和差，正確地畫出圖形，分類討論是解題的關鍵．分類討論，即點在點左邊或者右邊兩種情況，畫出圖形，按照線段的和差即可解答．【詳解】解：①當點在點左邊時，如圖所示：點是線段的中點，點是線段的中點，，，；②當點在點右邊時，如圖所示：點是線段的中點，點是線段的中點，，，；故答案為：5或．3．（24-25七年級上·全國·期末）已知、、、四個點在同一條直線上，，為的中點，且，則的長是．【答案】或【知識點】線段中點的有關計算、線段n等分點的有關計算、線段的和與差【分析】本題考查線段的和差，根據題意畫出圖形，再分點在、之間與點在點的延長線上兩種情況進行討論．熟練掌握線段等分點的性質和線段的和差計算及分類討論思想的運用是解題的關鍵．【詳解】解：如圖1，∵為的中點，且，∴，∵，∴，∴；如圖2，∵為的中點，且，∴，∵，∴，∴；綜上所述：的長是或．4．（23-24七年級上·云南紅河·期末）已知點C是線段AB的中點，點E在直線AB上，且，，若，則線段CE的長為cm．【答案】4或20【知識點】線段中點的有關計算【分析】本題考查與線段中點有關的計算，分點E在線段CB之間時，和點E在線段CB的延長線上時，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：∵點C是線段AB的中點，，∴，∵點E在直線AB上，∴當點E在線段CB之間時，，當點E在線段CB的延長線上時，，故答案為：4或20．5．（23-24七年級上·四川達州·期末）在直線m上取P，Q兩點，使，再在直線m上取一點R，使，M，N分別是，的中點，則．【答案】或【知識點】線段中點的有關計算【分析】本題考查線段中點的有關計算，解題的關鍵是分情況討論點在線段上，點在線段外兩種情況．分情況討論點在線段上，點在線段的反向延長線上，即可求解．【詳解】解：由題意知點的位置有兩種情況，①點在線段上，，，，分別是，的中點，，，，②點在線段的反向延長線上時，由①得，，或．故答案為：或．6．（23-24六年級下·山東威海·期末）已知線段，點C，D是線段上的點，且，點D是線段的三等分點，則．【答案】或【知識點】線段n等分點的有關計算【分析】本題考查了線段的計算，由題意可知或，再結合線段和差關系即可求解，明確線段三等分點的意義，正確分類計算是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，則，∵點D是線段的三等分點，∴或，當時，；當時，；綜上，或，故答案為：或．分類討論思想求解角的度數問題的多解題1．（24-25七年級上·全國·期末）已知，射線平分，則的度數為【答案】或【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得的度數是關鍵，因考慮不周，容易漏掉一種情況的解．分兩種情況在內或外），分別首先求得的度數，然后根據角平分線的定義求得的度數．【詳解】解：當在內時，如圖1，則，射線平分，；當在外時，如圖2，則，射線平分，．綜上，或．故答案為：或．2．（23-24七年級下·湖北恩施·期末）已知和互為鄰補角，平分，射線在內部，且，，，則．【答案】或【知識點】利用鄰補角互補求角度、垂線的定義理解、角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的定義，鄰補角的定義，根據等量關系，利用方程思想求得的度數是解決問題的關鍵．分兩種情況進行討論：在上方，或在下方，先依據已知條件求得的度數，再根據，即可得到結果．【詳解】解：分兩種情況進行討論：①如圖1所示，若在上方，平分，，，，即，設，則，，為平角，，即，解得，，又，，；②如圖2所示，若在下方，同理可得，，又，，，綜上所述，的度數為或．故答案為：或．3．（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，已知線段與直線的夾角，點是直線的一個動點，平移線段，使點移到點的位置，得到線段，連接，再將沿折疊，點落在點處，若平分，則度．【答案】50或70【知識點】折疊問題、利用平移的性質求解、角平分線的有關計算【分析】本題考查角平分線的定義、平移的性質、軸對稱的性質、分類討論數學思想的運用等知識與方法，正確地進行分類討論是解題的關鍵．分兩種情況討論，一是點D在點B的右側，由平分，得，由折疊得，則，而，所以；二是點D在點B的左側，則，，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖1，點D在點B的右側，∵平分，∴，∵將沿折疊，點D落在點F處，∴，∵，∴，∵平移線段AB，得到線段DE，∴，∴；如圖2，點D在點B的左側，∵平分，∴，∵將沿折疊，點D落在點F處，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：50或70．4．（23-24七年級下·河南商丘·期末）一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，其中，．若固定三角板，改變三角板的位置（其中點的位置始終不變），當時，．【答案】或【知識點】根據平行線的性質求角的度數、平行公理推論的應用、三角板中角度計算問題【分析】本題考查了三角板的角度運算問題，平行線的性質，分兩種情況畫出圖形解答即可求解，正確畫出圖形運是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，當時，，∴，∴；如圖，當時，過點作，，∴，，∴；故答案為：或．5．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）在同一平面內，將兩副直角三角板的兩個直角頂點重合，并擺成如圖所示的形狀．已知，，，若保持三角板不動，將三角板繞點A在平面內旋轉．當時，的度數為．【答案】或【知識點】三角板中角度計算問題、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了三角板中角度計算問題及三角形內角和，根據題意畫出圖形，再根據角之間的關系結合三角形內角和即可得出答案．【詳解】解：當時，，分以下兩種情況：如圖1所示，，；如圖2所示，，綜上所述，的度數為或根據答案為：或．6．（22-23七年級上·廣東茂名·期末）如圖，已知是內部的一條射線，圖中有三個角：，和，當其中一個角是另一個角的兩倍時，稱射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則度．【答案】或或【知識點】幾何圖形中角度計算問題【分析】本題主要考查角的計算和理解能力．分種情況，根據“巧分線”定義即可求解．【詳解】解：若，是的“巧分線”，則由“巧分線”的定義可知有三種情況符合題意：，此時；，此時；，此時；故答案為：或或．整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題1．（23-24六年級下·山東東營·期末）如圖，點M在線段上，線段與的長度之比為，點N為線段的中點．(1)若，求的長．(2)在線段上作出一點E，滿足，若，請直接寫出的長（用含t的代數式表示）．【答案】(1)；(2)【知識點】列代數式、兩點間的距離、線段中點的有關計算【分析】本題主要考查了兩點間的距離、列代數式，熟練掌握線段中點的定義，線段之間的數量轉化是解題關鍵．（1）根據，設，，根據線段和的關系列方程求出，再根據線段中點定義求出，進而得到的長；（2）根據，推得，再根據已知條件，等量代換后得出，進而得出用含t的代數式表示的長．【詳解】（1）解：由題知：，設，，∴，∵，且，∴，∴，∴，.

∵點是線段的中點，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴．2．（22-23七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知線段，，線段在線段上運動，，分別是，的中點．(1)若，則________；(2)小張同學發現線段在線段上運動時，的長度始終不變，你認為小張同學說的對嗎？請說明理由．【答案】(1)7(2)小張同學說的正確，理由見解析【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差【分析】本題考查了兩點間距離，線段中點相關的計算，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．（1）先求出線段，然后再利用線段中點的性質求出，即可；（2）利用線段中點的性質證明的長度不會發生改變．【詳解】（1）解：∵，，，，、N分別是、的中點，，，；故答案為：7；（2）解：小張同學說的正確，的長度始終不變，理由：∵，，，、N分別是、的中點，，，，．即小張同學說的正確，的長度為，始終不變．3．（23-24七年級上·河南新鄉·期末）如圖，已知點在線段上，且．(1)比較線段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”）(2)如果是的中點，是的中點，求線段的長度．(3)在（2）中，如果，其他條件不變，那么_____．（用含的式子表示）【答案】(1)=；(2)；(3)．【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差【分析】本題考查線段的和與差，與線段中點有關的計算．理清線段之間的數量關系，是解題的關鍵．（1）根據線段的和的關系，進行比較即可；（2）先求出的長，中點，求出的長，再根據，求出的長即可；（3）同法（2），進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即：；故答案為：；（2）∵∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∴；（3）∵∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∴．故答案為：．4．（23-24七年級上·陜西渭南·期末）【問題情境】已知A，，，四點在同一直線上，線段，點在線段上．【初步應用】（1）如圖1，點是線段的中點，，求線段的長度；【遷移應用】（2）若點是直線上的一點，且滿足，，求線段的長度．【答案】（1）10；（2）或【知識點】線段中點的有關計算、兩點間的距離、線段的和與差【分析】本題主要考查線段中點的定義、兩點間的距離，學會利用數形結合和分類討論思想是解題關鍵．（1）由線段中點的定義可得，再由求得，于是；（2）分三種情況討論：點在線段上，分別求得，，則；點在點的右側，分別求得，，則；點在點的左側，此種情況不滿足題意．【詳解】解：（1）因為，點是線段的中點，所以．又因為，，所以，，所以．（2）①如圖，當點在線段上時，因為，，所以，所以；②如圖，當點在點的右側時，因為，，所以，所以，所以；③當點在點的左側時，此時不存在符合題意的點，舍去．綜上所述，線段的長度為或．5．（23-24七年級上·北京西城·期末）A，B兩點在數軸上的位置如圖所示，其中點A對應的有理數為，且．動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向運動，設運動時間為t秒（t）．

(1)當時，的長為，點P表示的有理數為；(2)當時，求t的值；(3)M為線段的中點，N為線段的中點．在點P運動的過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．【答案】(1)2，；(2)或；(3)【知識點】數軸上兩點之間的距離、線段的和與差、線段中點的有關計算【分析】本題主要是考查數軸上兩點之間的距離，線段的和差運算和線段的中點的定義，只要能夠畫出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問題要全面．（1）根據點P的運動速度，即可求出；（2）當時，要分兩種情況討論，點P在點B的左側或是右側；（3）分兩種情況結合中點的定義可以求出線段的長度不變．【詳解】（1）解：因為點P的運動速度每秒2個單位長度，所以當時，的長為2，因為點A對應的有理數為，，所以點P表示的有理數為；（2）解：當，要分兩種情況討論，點P在點B的左側時，因為，所以，所以；點P在點B的是右側時，，所以；（3）解：MN長度不變且長為5．理由如下：當在線段上時，如圖，

∵M為線段的中點，N為線段的中點，∴，，∴，∵，∴．當在線段的延長線上時，如圖，

同理可得：；綜上：．6．（22-23七年級上·吉林·期末）如圖，在直線上順次取，，三點，已知，，點，分別從，兩點同時出發向點運動．當其中一動點到達點時，，同時停止運動．已知點的速度為每秒2個單位長度，點速度為每秒1個單位長度，設運動時間為秒．(1)用含的式子表示線段的長度為______；(2)當為何值時，，兩點重合？(3)若點為中點，點為中點．問：是否存在時間，使長度為5？若存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，M、N兩點重合(3)當或時，【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應用)、列代數式【分析】本題考查一元一次方程的應用、列代數式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數式，利用數形結合思想和分類討論思想求解是解答的關鍵．（1）直接根據路程時間速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根據題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分點P在Q的左邊和點P在Q的右邊，利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點M的速度為每秒2個單位長度，運動時間為t秒，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，，當，兩點重合時，，∴，解得，∴當時，M、N兩點重合；（3）解：存在時間t，使．由題意得，，∵點為中點，點為中點．∴，，∴，當點P在Q的左邊時，，解得；當點P在Q的右邊時，，解得，∴當或時，．整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題1．（24-25七年級上·遼寧·期末）如圖，已知、是內的兩條射線，平分，平分．(1)若，，求的度數；(2)若，，求的度數．（用含的代數式表示）【答案】(1)(2)【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）先求出的度數，再由角平分線的定義推出的度數，據此根據角的和差關系可得答案；（2）先求出的度數，再由角平分線的定義推出的度數，據此根據角的和差關系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．2．（23-24七年級上·廣東梅州·期末）已知，射線在的內部，按要求完成下列各小題．(1)嘗試探究：如圖1，已知，的度數為________；(2)初步應用：如圖2，若時，求的度數，并說明理由；(3)拓展提升：如圖3，若，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【知識點】幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查了角的和差，掌握角度之間的關系是解決本題的關鍵．（1）首先根據題意得到，然后利用角的和差求解即可；（2）首先根據題意得到，然后利用角的和差求解即可；（3）首先根據題意得到，然后利用角的和差求解即可【詳解】（1）∵∴；（2）∵∴；（3）∵∴；3．（23-24七年級上·陜西渭南·期末）【問題背景】已知是內部的一條射線，且．【問題再現】（1）如圖①，若，平分，平分，求的度數；【問題推廣】（2）如圖②，，從點出發在內引射線，滿足，若平分，求的度數；【拓展提升】（3）如圖③，在的內部作射線，在的內部作射線，若：：，求和的數量關系．【答案】（1）；（2）；（3）．【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了角度和差的計算，角平分線的定義，（1）根據角之間的數量關系和角平分線定義求出和的度數，再將兩個角的度數相加即可求解；（2）根據角之間的數量關系和角平分線定義求出和的度數，再將兩個角的度數相減即可求解；（3）角含有的式子表示出，再計算出和的數量關系．【詳解】解：（1），，．又平分，平分，，，；，；（2），，；．．又平分，，；（3）設，則．，，．，，．4．（23-24七年級上·青海西寧·期末）【探究發現】如圖①，點，在線段上，點，分別是，的中點．（1）若，，，求的長；（2）若，，則；（3）若，，則；（用含，的代數式表示）【類比應用】如圖②，射線，在內部，，分別平分，．（4）若，，則；（5）若，，則．（用含，的代數式表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題、線段中點的有關計算、線段的和與差【分析】（1）先求出的長，再根據中點的定義求出、的長，即可求出的長；（2）根據，求出的長，再根據中點的定義即可求出的長，根據即可求出的長；（3）根據，即可求出的長，再根據中點的定義即可求出的長，最后根據即可求出的長；（4）先求出的度數，再根據角平分線的定義求出的度數，即可求出的度數；（5）先求出的度數，再根據角平分線的定義求出的度數，即可求出的度數．【詳解】解：（1）∵是的中點，，∴，∵，，∴，∵是的中點，∴，∴；（2）∵，，∴，∵點，分別是，的中點，∴，，∴，∴，故答案為：20；（3）∵，，∴，∵點，分別是，的中點，∴，，∴，∴．故答案為：；（4）∵，，∴，∵，分別平分，，∴，，∴，∴．故答案為：85；（5）∵，，∴，∵，分別平分，，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段的和差計算、角的和差計算、線段的中點的定義以及角平分線的定義等知識，根據幾何圖形得出線段之間的關系、角之間的關系是解題的關鍵．5．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，將一副三角板的直角頂點