第四部分三角形

專題16銳角三角函數及其應用（5大考點）

核心考點一特殊角的三角函數值及其計算

核心考點二由三角函數值求銳角

核心考點核心考點三銳角三角函數的增減性

核心考點四解直角三角形及其應用

核心考點五三角函數的綜合

新題速遞

核心考點一特殊角的三角函數值及其運算

例1（2021·貴州黔東南·統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋

轉60，使點B落在點B的位置，連接BB，過點D作DE⊥BB，交BB'的延長線于點E，則BE的長為

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

例2．（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）定義一種運算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當45，30時，

232162

sin4530，則sin15的值為_______．

22224

第1頁共23頁.

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發現小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，

并依次標注序號：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請寫出正確的計算過程．

21x23x

（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知識點：特殊角的三角函數值

1.圖表記憶

三角函數圖形記憶

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.規律記憶

第2頁共23頁.

30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。

【變式1】（2022·湖南邵陽·統考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以點A為圓心、AB

長為半徑的弧BE與DC相交于點E，點E為DC的中點，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面

積是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【變式2】（2022·河南洛陽·統考二模）如圖1，在ABC中，ABC60，點D是BC邊上的中點，點P

從ABC的頂點A出發，沿ABD的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D．線段DP的長度

y隨時間x變化的關系圖象如圖2所示，點N是曲線部分的最低點，則ABC的面積為（）

163

A．4B．43C．8D．

3

2

31

【變式3】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰贏BC中，若sinAcosB0，A，B都是銳角，

22

則ABC是______三角形．

第3頁共23頁.

【變式4】（2022·貴州銅仁·統考二模）如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O(0，0)，

點B(23，2)．D是邊BC上一點(不與點B重合)，過點D作DE∥OB交OC于點E．將該紙片沿DE折疊，

得點C的對應點C′．當點C′落在OB上時，點C′的坐標為________．

1

【變式5】．（2021·新疆烏魯木齊·校考三模）計算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

核心考點二由三角函數值求銳角

例1（2021·山東泰安·統考中考真題）如圖，在ABC中，AB6，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊BC

相切于點D，與AC，AB分別交于點E和點G，點F是優弧GE上一點，CDE18，則GFE的度數是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

例2．（2022·重慶·統考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B為圓心，BC的長為

半徑畫弧，交AD于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結果保留π）

第4頁共23頁.

例3（2021·山東菏澤·統考中考真題）在矩形ABCD中，BC3CD，點E，F分別是邊AD、BC上的

動點，且AECF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．

（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PEPF；

（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；

（3）當AB5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．

【變式1】（2022·山東濱州·統考一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，點A是劣弧BC的中點，點D是優弧BC

1

上一點，sinD=,則BC的長為（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

第5頁共23頁.

【變式2】（2022·山東·統考二模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，點P是AD邊上的一個動

點，連結BP，點C關于直線BP的對稱點為C1，當點P運動時，點C1也隨之運動．若點P從點A運動到點D，

則線段CC1掃過的區域的面積是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【變式3】（2021·貴州遵義·統考一模）在綜合實踐課上，某學習小組要測量塔的高度，在測量過程中，結

合圖形進行了操作（如圖所示）．在塔AB前的平地上選擇一點C，測出塔頂的仰角為30°，從C點向塔底B

走80m到達D點，測出塔頂的仰角為45°，那么塔AB的高為____________m（計算結果精確到0.1m，參

考數據：21.41，31.73）．

【變式4】．（2022·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，連結AO，過點A作

ABx軸于點B，AB3，OB1，把ABO繞點O逆時針旋轉120后，得到A1B1O，則點A1的坐標為

______．

第6頁共23頁.

【變式5】（2022·重慶·重慶八中?？寄M預測）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島20

千米的點A處，它沿著點A的南偏東15的方向航行．

(1)漁船航行多遠距離小島B最近（結果保留根號）？

(2)漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續航行106千米到點C處時突然發生事故，漁船馬上向小島

B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發沿著哪個方向航行到達事故地點航程最短，最短航程是多少．（結

果精確到1千米，參考數據21.41,31.73,62.45）

核心考點三銳角三角函數的增減性

例1（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（）

A．越來越小B．不變C．越來越大D．無法確定

第7頁共23頁.

例2（2022·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD

上一點，若AC45，OE2，則AB的最大值為__________．

例3（2021·浙江寧波·統考一模）如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC4m．

（1）現在某一時刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，

求滑梯的高AC；

（2）若規定滑梯的傾斜角（ABC）不超過30°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

1.三角函數值的變化規律

①當角度A在0°—90°間變化時，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）

②當角度A在0°—90°間變化時，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。

【變式1】（2020·甘肅張掖·統考模擬預測）若090，則下列說法不正確的是（）

A．sin隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大

D．0<sin<1

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【變式2】．（2022·上海·?？寄M預測）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【變式3】（2020·內蒙古·統考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數定義為_____，

寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關系__________．

【變式4】（2022·江蘇宿遷·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A0,3，點O平分BC，BC23，

點E、D分別在BA、CA上運動，且AECD，連接CE、BD交于點P，點F23,1，連接PF，則PFC

度數的最大值為__________．

【變式5】（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，已知ABC和射線BD上一點P（點P與點B不重合），

且點P到BA、BC的距離為PE、PF．

(1)若EBP40，FBP20，PBm，試比較PE、PF的大??；

(2)若EBP，FBP，，都是銳角，且．試判斷PE、PF的大小，并給出證明．

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核心考點四解直角三角形及其應用

例1（2022·湖北黃石·統考中考真題）我國魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術：割之彌細，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每

次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，……．邊數越多割得越細，正多邊形

的周長就越接近圓的周長．再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖

l

1中圓內接正六邊形的周長l6R，則63．再利用圓的內接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·湖北黃石·統考中考真題）某校數學興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人機的飛行高

度為30m，當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續飛行20m到達B處，測得旗桿頂部

的俯角為60°，則旗桿的高度約為________m．（參考數據：31.732，結果按四舍五八保留一位小數）

例3（2022·遼寧阜新·統考中考真題）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民

4

樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD15m，斜坡的傾斜角為，cos．小文在C點處測

5

得樓頂端A的仰角為60，在D點處測得樓頂端A的仰角為30（點A，B，C，D在同一平面內）．

(1)求C，D兩點的高度差；

(2)求居民樓的高度AB．（結果精確到1m，參考數據：31.7）

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在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已

知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

1.靈活運用邊角關系求邊與角;

2.若所求解的直角三角形“不可直接解”,應注意設元,借助方程來解決;

3.如果圖形中沒有直角時,要添加垂線將其轉化為直角三角形求解.

【變式1】（2023·浙江溫州·校聯考模擬預測）如圖，一把梯子AB斜靠在墻上，端點A離地面的高度AC長

為1m時，ABC45．當梯子底端點B沿水平方向向左移動到點B，端點A沿墻豎直向上移動到點A，

設ABC，則AA的長可以表示為（）

A．2sinB．2sin1C．2cos1D．2tan1

【變式2】（2022·河北唐山·統考三模）如圖，點O為ABC的內心，B=60，BMBN，點M，N分別

為AB，BC上的點，且OMON．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：MON120；乙：四邊形OMBN的

面積為定值；丙：當MNBC時，△MON的周長有最小值．則下列說法正確的是（）

A．只有甲正確B．只有乙錯誤

C．乙、丙都正確D．只有丙錯誤

【變式3】（2023·浙江溫州·校聯考模擬預測）甲、乙兩幢完全一樣的房子如圖1，小聰與弟弟住在甲幢，為

測量對面的乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離，制定如下方案：兩幢房子截面圖如圖2，AB12m，小聰在

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離屋檐A處3m的點G處水平放置平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），弟弟在離點G水平距離3m的點H處

恰好在鏡子中看到乙幢屋頂N，此時測得弟弟眼睛與鏡面的豎直距離IH0.6m．下樓后，弟弟直立站在DE

處，測得地面點F與E，M，N在一條直線上，DE1.2m，FD2m，BF5m，則甲、乙兩幢間距

BC_________m，乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離為_____________m．

【變式4】（2023·浙江金華·?？家荒＃┙鹑A新金婺大橋是華東第一的獨塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的

效果圖．2022年4月13日開始主塔吊裝作業．如圖2，我們把吊裝過程抽象成如下數學問題：線段OP為

主塔，在離塔頂10米處有一個固定點Q(PQ10米)．在東西各拉一根鋼索QN和QM，已知MO等于214

米．吊裝時，通過鋼索QM牽拉，主塔OP由平躺橋面的位置，繞點O旋轉到與橋面垂直的位置．中午休息

時PON60，此時一名工作人員在離M6.4米的B處，在位于B點正上方的鋼索上A點處掛彩旗．AB正

好是他的身高1.6米．

（1）主塔OP的高度為_____米，（精確到整數米）

（2）吊裝過程中，鋼索QN也始終處于拉直狀態，因受場地限制和安全需要，QN與水平橋面的最大張角

在37到53之間(即37QNM53)，ON的取值范圍是_____．（注：tan370.75，31.73）．

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【變式5】（2023·廣西河池·校考一模）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島40nmile的

點A處，它沿著點A的南偏東15的方向航行．

(1)漁船航行多遠距離小島B最近（結果保留根號）？

(2)漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續航行206nmile到點C處時突然發生事故，漁船馬上向小

島B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發到達事故地點的最短航程BC是多少nmile（結果保留根號）？

核心考點五三角函數的綜合

例1（2021·黑龍江·統考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC

的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE4，OF6．則下列

185

結論：①GF2；②OD2OG；③tanCDE；④ODFOCF90；⑤點D到CF的距離為．其

25

中正確的結論是（）

A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤

第13頁共23頁.

例2．（2021·四川眉山·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ABAC10，對角線AC、BD相交于

1

點O，點M在線段AC上，且AM3，點P為線段BD上的一個動點，則MPPB的最小值是______．

2

例3（2022·山東濟寧·統考中考真題）知識再現：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對邊分別為a，b，c．

ab

∵sinA，sinB

cc

ab

∴c，c

sinAsinB

ab

∴

sinAsinB

abc

(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請探究，，

sinAsinBsinC

之間的關系，并寫出探究過程．

(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C，測得AC＝60m，

∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離．

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【變式1】（2022·黑龍江哈爾濱·統考三模）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，

3

若CF4，tanEFC，則折痕AE（）

4

A．45B．55C．8D．10

【變式2】（2022·河南南陽·統考三模）如圖，射線OM,ON互相垂直，OA8，點B位于射線OM的上方，

且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB5．將線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段AB，

若點B恰好落在射線ON上，則點A到射線ON的距離是（）

2413

A．B．C．4D．17

53

【變式3】（2022·江蘇揚州·統考一模）如圖，在RtABC中，C90，ACBC4．矩形DEFG的頂點

3

D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tanDEC，則矩形EDFG面積的最大值=______．

4

【變式4】（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢?/p>

定義：如果三角形有兩個內角的差為90，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．

(1)已知ABC是“準直角三角形”，且C90．

①若A△60，則B______；

第15頁共23頁.

②若A40，則B______；

【鞏固新知】

(2)如圖①，在Rt△ABC中，ACB90，AB6，BC2，點D在AC邊上，若△ABD是“準直角三角形”，

求CD的長；

【解決問題】

(3)如圖②，在四邊形ABCD中，CDCB，ABDBCD，AB5，BD8，且ABC是“準直角三角形”，

求△BCD的面積．

第16頁共23頁.

【新題速遞】

1．（2023·上海松江·統考一模）已知Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，那么下列結論正確的是（）

2222

A．tanAB．cotAC．sinAD．cosA

3333

2．（2022秋·安徽安慶·九年級統考期中）已知為銳角，則msincos的值（）

A．m1?B．m1?C．m1?D．m1?

3．（2023春·九年級課時練習）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結構密合

度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDEF，若O

的內接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長為（）

A．12B．62C．63D．123

4．（2023秋·河北邯鄲·九年級?？计谀┡d義市進行城區規劃，工程師需測某樓AB的高度，工程師在D得

用高1m的測角儀CD，測得樓頂端A的仰角為30，然后向樓前進20m到達E，又測得樓頂端A的仰角為60，

樓AB的高為（）

A．1031B．2031C．531D．1531

5．（2022秋·山東濟寧·九年級統考期末）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格

點上，以AB為直徑的圓經過點C，D，則tanADC的值為()

325213

A．B．C．D．

23313

第17頁共23頁.

6．（2023秋·湖南邵陽·九年級統考期末）如圖，在ABC中，AD,BE是ABC的角平分線，如果

ABAC10,BC12，那么tanABE的值是（）

166

A．B．C．D．2

234

7．（2023秋·福建泉州·九年級統考期末）如圖，在等邊ABC中，CDAB，垂足為D，以AD，CD為鄰

邊作矩形ADCE，連接BE交CD邊于點F，則cosCBE的值為（）

5211

A．7B．7C．21D．21

147147

8．（2023秋·湖北鄂州·九年級統考期末）正三角形ABC的邊長為6，E是邊AC上一動點，A,D兩點關于直

線BE對稱，連接DC并延長交直線BE于F，連接AF，在點E運動過程中，AFCF的最大值是（）

A．6B．63C．43D．431

9．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，直線MN與O相切于點M，MEEF且EF∥MN，則

cosE________．

第18頁共23頁.

10．（2023秋·吉林長春·九年級統考期末）如圖，ABC的頂點是正方形網格的格點，則tanBAC的值為

__________．

11．（2023秋·江蘇·九年級統考期末）如圖，Rt△ABC中，C90，ACBC，點D為AC的中點，連接

BD，tanABD的值為______．

12．（2022秋·河南鄭州·九年級統考期末）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，

3

若CF4，tanEFC，則折痕AE______．

4

13．（2023秋·貴州銅仁·九年級統考期末）如圖所示，某施工方計劃把一座山的C，D兩點用隧道打通，并

利用北斗衛星定位技術確定A，C，D三點在東西方向的同一條直線上．在隧道沒有打通之前，技術監督

員李工每天需要駕車先從隧道口C點向正西行駛1km到達A點，然后再沿南偏東60方向行駛4km到達B點，

接著再沿北偏東45方向行駛一段路程才能到達隧道口D，則隧道CD的長度為______km．

第19頁共23頁.

14．（2023秋·河南平頂山·九年級統考期末）如圖，在菱形ABCD中，AB8，A60，點E為邊AD的

中點，點F為邊AB上一動點，連接EF，把△AEF沿EF所在直線折疊，得到△AEF，連接AB，AC，

當ABC為直角三角形時，線段AF的長為______．

15．（2023春·湖北省直轄縣級單位·九年級校聯考階段練習）計算：33tan30382008．

16．（2023春·河南鄭州·九年級河南省實驗中學?？茧A段練習）某校安裝了紅外線體溫檢測儀（如圖1），該

設備通過探測人體紅外輻射能量對進入測溫區域的人員進行快速測溫，其紅外線探測點O可以在垂直于地

面的支桿OP上下調節（如圖2），探測最大角（OBC）為58，探測最小角（OAC）為26.6，已知該

設備在支桿OP上下調節時，探測最大角及最小角始終保持不變．若要求測溫區域的寬度AB為2.53米，請

你幫助學校確定該設備的安裝高度OC．（結果精確到0.01米，參考數據：sin580.85，cos580.53，

tan581.60，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）

第20頁共23頁.

17．（2023秋·湖北隨州·九年級統考期末）如圖，ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，BD切⊙O于點B，

E為AB上一點，且AEAC，延長CE交BD于點D．

(1)求證：BCBD；

1

(2)若⊙O的半徑為5，tanBCE，求BD的長．

3

18．（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中ABCD，壩頂BC2m，

壩高CH5m，迎水坡AB的坡度為i1:1．

(1)求壩底AD的長；

(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡坡角改

為30．求加固總長5千米的堤壩共需多少土方？（參考數據：3.14,21.41,31.73；結果精確

到0.1m3）

第21頁共23頁.

19．（2023春·河南駐馬店·九年級駐馬店市第二初級中學?？奸_學考試）某校“趣味數學”社團開展了測量本

校旗桿高度的實踐活