6.3.2角的比較與運算教學設計一、內容和內容解析1.內容本節課是人教2024版《義務教育教科書?數學》七年級上冊（以下統稱“教材”）第六章“幾何圖形初步”6.3角第2課時，內容包括角的比較，角的和與差，角的平分線．2.內容解析角的比較、角的和與差、角的平分線是本章重要的基礎知識，也是后續學習圖形與幾何必備的知識基礎．角的大小比較方法有兩種：度量法和疊合法．其中，疊合法是重要的方法，疊合時使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊落在第一條邊的同旁，保證了可比性；度量法中量角器起到了一個移角的作用，其實質是將兩個角移動后疊合在一起，比較兩角的大小是本節知識產生、發展的起點，不論是圖形還是數量，除角的大小外，自然會產生角的和與角的差的問題，再將角的和與差問題特殊化，自然又會產生等分問題．與線段的比較、線段和與差、線段中點一樣，對于角的比較、角的和與差、角平分線，也是從數和形兩方面來研究．研究方法有兩個方面：一是數與形結合，把幾何意義與度數的數量關系結合起來．二是類比學習，按知識內容，線段的比較、線段和與差、線段中點與角的比較、角的和與差、角平分線是類比性知識；按敘述方式，都采用圖形語言、文字語言和符號語言綜合描述所研究的對象；按學習過程，都注意從具體到抽象（模型→圖形→文字→符號），同時也重視反向的訓練．基于以上分析，可以確定本節課的教學重點為：角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數量關系；感受類比的思想．二、目標和目標解析1.目標（1）理解角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數量關系，并會用文字語言、圖形語言、符號語言進行描述．（2）類比線段的大小、和與差、中點，學習角的比較、角的和與差、角平分線，體會類比思想．2.目標解析達成目標（1）的標志是：能從圖形和數量關系兩個角度認識角的大小，會用度量法和疊合法比較兩個角的大小；能從幾何圖形和數量關系兩方面認識角的和與差及角平分線，知道兩個角的和、差仍然是一個角，知道角的和、差或等分的度數的計算；能結合角的大小、和與差、角平分線的直觀圖形，用文字語言和符號語言描述它們，反之，能將它們用符號語言或文字語言所表述的圖形及關系，用圖形直觀表示出來．達成目標（2）的標志是：在學習過程中，能在回憶線段的大小、和與差、中點內容的同時，想象本節課所要學習的內容，能對學習進程心中有數；能將對線段的大小、和與差、中點的研究方法和基本套路遷移到角的相關問題研究中，不斷地提出問題、分析問題、解決問題．三、教學問題診斷分析角的比較大小、角的和與差、角平分線研究與研究線段的大小比較、和與差、中點的內容和方法很相似，教學時把兩者作對比，學生在學習方法和學習內容的理解上，不會有困難．困難在于正確地完成圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉化．究其原因，一方面，語言是思維的產物，圖形是實物和模型第一次抽象，是對研究對象的直觀反映，文字語言是對圖形的描述、理解和討論，符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象．它們的綜合運用，要求學生必須對研究對象從數和形上有著深刻的理解，并具有讀圖和畫圖的能力；二是缺乏培養和訓練，對于圖形、文字、符號語言的綜合運用，雖然在學習線段知識時已有接觸，但要達到融會貫通的程度還需要經過一段時間的學習和訓練．基于以上分析，確定本節課的教學難點為：用圖形語言、文字語言、符號語言綜合描述角的大小、角的和與差的關系及角的平分線．四、教學過程設計（一）溫故知新，引入課題上節課我們學了角的有關概念，你能回憶一下學了哪些內容嗎？從研究線段得到啟發，接下來將研究什么？師生活動：學生回憶，回答問題.問題1：請同學們回憶一下，前面我們學習了線段的哪些內容？師生活動：學生回顧在線段中所學內容，教師歸納．教師關注學生對所學線段內容的整體認識以及“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習過程．【設計意圖】通過回憶與本節課內容密切相關的引導性材料，使學生對學習進程心中有數，幫助學生掌握研究問題的方法.（二）觀察思考，探究新知問題2：類比線段大小的比較，你認為該如何比較兩個角的大小？在練習本上畫兩個角，比較它們的大小，并說明你是怎么比較的．師生活動：學生討論解決問題的方法，學生代表展示交流．學生展示交流后提問：比較角的大小的方法有幾種？每種方法中應注意的問題是什么？教師在學生展示交流的基礎上，利用課件動畫演示用量角器量角、用疊合法比較角的大小過程，歸納操作要點：量角器量角要注意：對中，重合，讀數；疊合兩角時要注意：（1）重合（兩角的頂點及一邊重合）．（2）同旁（另一邊落在第一條邊的同旁）．追問：兩個角的大小關系有幾種？你能用圖形和符號表示嗎？師生活動：學生畫出圖形，并用符號表示（圖1），指出兩個角的大小關系有且僅有三種情況．圖1教師關注學生運用度量法、疊合法比較角的大小操作的規范性；學生是否能體會兩個角的大小關系有且僅有三種情況．【設計意圖】采用類比的方法，按照“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習程序，學生動手操作，自主探究．建立線段比較長短與角比較大小之間知識與方法的聯系，在對比中加深理解．指出對于兩個角的大小關系和兩個實數的大小關系一樣，有且僅有三種情況：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B，為以后分類研究一些有關角的問題奠定基礎．問題3：如圖2，圖中共有幾個角？它們之間有什么關系？圖2師生活動：學生確定角的個數，明確角之間的和差關系．教師關注學生是否能發現角的和差關系，若學生僅說出它們的大小關系，教師可引導學生進一步觀察圖形，類比線段的和與差，發現角的和差關系．學生完成上述問題后提問：你能用符號表示這些角之間的和差關系嗎？教師關注學生能否理解角的和與差的意義．【設計意圖】以角的比較大小的圖形（圖2）為背景，提出角的和差問題，將知識由角的大小過渡到角的和與差，銜接自然流暢．同時，針對同一圖形變換審視角度提出問題，可以提高學生的讀圖能力．用符號表示角的和差關系，仍遵循“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習過程，在圖形與等式之間建立一種關系．從角的大小數量上研究角的和與差，突出反映角的和與差的意義與度數的數量間的關系，加深對角的和與差概念的理解．問題4：利用一副三角尺，你能畫出哪些度數的角？這些角有什么規律？師生活動：學生動手操作，小組合作探究，師生歸納．師生歸納：一副三角尺上的角都是常用的角，它們是30°，45°，60°，90°的角，利用這些角可以很方便地畫出與這些角相關的一些特殊角，如15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°等．【設計意圖】用一副三角尺畫出一些特殊角，除讓學生鞏固角的和與差概念外，也使學生對這些特殊角的大小有直觀的認識，培養對角的大小的估計能力和動手操作能力，加深學生對角的認識．（三）典例分析例1：如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度數.解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝179°60′－53°17′＝126°43′.針對訓練：1.如圖①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，則∠AOB＝75°．2.如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則∠AOC＝20°．3.若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，則∠BOC＝90或30°．（四）合作探究問題5：類比線段的中點，在圖3中，射線OB有沒有一種特殊位置，若有，此時三個角之間又存在怎樣的關系？圖3圖4圖5師生活動：畫出圖形，如圖4，明確角的平分線的概念．提出問題：（1）你能用符號表示圖4中角之間的關系嗎？（2）類似角的平分線，還有角的三等分線（圖5），一個角的三等分線有幾條？四等分線呢？【設計意圖】從角的和差問題中，將射線OB的位置特殊化，并類比線段的中點，引出角的平分線的概念，不僅知識的產生、發展自然連續，也體現了由一般到特殊，由特殊到一般的研究方法．同時，也能建立知識間的聯系，完善認知結構．問題6：你能得到一個角的平分線嗎？師生活動：畫圖展示交流，歸納方法（用量角器、折紙）；教師結合學生的展示交流或利用課件動畫演示折疊過程中的翻折過程．教師關注學生操作是否規范．【設計意圖】進一步明晰角平分線的概念，為后續學習軸對稱和研究有關圖形的翻折問題打下基礎．（五）典例分析例2：如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.（1）如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？（2）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？（3）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？解：（1）因為OB平分∠AOC，∠AOC=80°，所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.（2）因為OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因為OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.（3）因為∠COD=30°，OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因為OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.例3：如圖，已知∠AOB=40°，自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數．解：分以下兩種情況：①如圖，OC在∠AOB內部，OD平分∠AOB，設∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD－∠AOC=20°－16°=4°．②如圖，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴設∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x－2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數為4°或100°．例4：把一個周角7等分，每一份是多少度的角（精確到分）？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.針對訓練：計算：1.120°－38°41′；解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.2.67°31′+48°49′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.3.20°30′×8；解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°4.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″（六）當堂鞏固1.如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（A）2.（1）如下圖，填空：∠AOB＋∠BOC＝；∠AOC∠AOC＋∠COD＝；∠AOD∠BOD－∠COD＝；∠BOC∠AOD－＝∠AOB.∠BOD（2）如上圖：已知∠AOB=∠BOC=∠COD，則OB是的平分線；∠AOC∠AOC=；∠BOC===.∠BOD；∠AOB；∠DOC；∠AOD.3.填空：∵AD是∠BAC的平分線∴∠=∠.BAD；CAD；（角平分線的意義）∵∠ABC=2∠ABE∴平分∠.BE；ABC.（角平分線的意義）4.如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，則∠BOC=____.34°5.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度數是.13°或63°6.計算：（1）12°36′56″+45°24′35″；（2）79°45′+61°48′49″；（3）62°24′17″×4；（4）102°43′÷3.答案：（1）58°；（2）141°33′49″；（3）249°37′8″；（4）34°14′20″.7.如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，求∠AOD的度數.答案：∠AOD=122°.8.如圖，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度數.答案：∠COD=10°.【設計意圖】培養學生估計角的大小的能力．用適當方法驗證，則可進一步鞏固比較角大小的方法．鞏固角平分線性質和角的和與差概念，能使學生加深對角的平分線概念的認識，將形與數建立起聯系，培養學生數形結合的思想意識．通過觀察圖形，得出角之間的和差關系，提高學生對角的和差意義的認識，從而培養學生的識圖能力．（七）能力提升1.如圖，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度數．解：設∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°－x，∴∠AOB=90°+60°－x=150°－x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°－x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．2.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.（1）求∠EOD的度數；解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°.（2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數．解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.（八）感受中考（2023?樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°－140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴，故答案為：20°．【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（九）課堂小結教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，構建知識與方法框圖：（十）布置作業P178：習題6.3：第3、7、8題.P179：習題6.3：第10題.五、教學反思本節內容是在學生掌握了直線、射線、線段的基本知識，以及對角有初步認識的基礎上學習的．本章是初中階段“圖形與幾何”領域的第一章，如何從現實的、具體的物體中抽象、歸納出幾何研究對象，對學生的學習具有奠基性意義，對學生數學素養的養成影響深遠．通過本節內容的學習討論，能讓學生繼續體會到幾何圖形的抽象性特點．同時，本節滲透的數形結合、分類討論、方程等數學思想方法，以及圖形語言、文字語言、符號語言的表述與轉化也是后續學習的重要基礎．幾何圖形是“圖形與幾何”的研究對象，正確掌握幾何語言是學好本節幾何知識的必備條件．本節教學要在學生先前初步了解和感知教材編寫特點的基礎上，讓學生繼續有意識的按“模型→圖形→文字→符號”和“符號→文字→圖形”的程序來學習、來認知，把幾何語言的使用和訓練落到實處．發展學生的空間觀念、培養學生的空間想象力是本節教學的另一個重要目標，應重視讓學生從事動手操作、觀察、思考、想象、交流等活動，為學生提供一些現實的、有意義的、有一定挑戰性的學習任務，鼓勵學生勤思考、多動手、善交流，在活動中獲得幾何概念和性質，以及讀圖、表達、推理等技能，從而豐富學生的空間想象能力．6.3.2角的比較與運算（1）(教案新教材)第六章幾何圖形初步6．3角6.3.2角的比較與運算（1）〖教學目標】1．在具體情境中類比線段學習角的大小比較，理解兩個角的和、差的意義；2．能夠求一個角的和差；3．在圖形的基礎上發展數學語言，體會研究角的和差的幾何意義和實際應用．【教學重點】會比較角的大小，理解兩個角的和、差的意義．【教學難點】兩個角的和、差的計算．【教學過程】 一、情境導入老師展示把長折扇和一把短折扇，把兩把折扇張開大，怎樣比較折扇展開的角的大小呢？我們已經知道了比較兩條線段長短的方法，怎樣比較兩個角的大小呢?本節課我們來解決這一問題．本節課學習6．3．2角的比較與運算（1）（板書課題）二、合作探究活動一：探究角的大小比較問題1．從線段長短的比較你能類比得到角的大小比較方法嗎？學生討論：1．可以用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小；2．可以把它們的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小，如下圖，比較∠AOB與∠A'O'B'大小的是：教師追問：1．類比兩線段間的大小，兩角的大小有幾種情況？通過疊合法是怎樣比較的？學生討論：∠AOB與∠A'O'B'的一條邊疊合起來（AO與A'O'疊合），當OB在∠A'O'B'的內部時，∠AOB∠A'O'B；當OB與O'B'重合，∠AOB＝∠A'O'B；當OB在∠A'O'B'的外部，∠AOB∠A'O'B．活動二：探究兩角的和與差思考：類比兩條線段的和與差，你能結合下圖說明什么是兩個角的和與差嗎?學生交流討論：類似于兩條線段的和與差知，，，等．活動三：探究用三角尺的畫角探究：借助一副三角尺的角，結合角的和、差運算，可以畫出哪些度數的角?學生交流操作：可以畫15°、75°還能畫105°、120°、135°等角．教師追問：這些角有什么特點？學生交流：凡能以30°、45°、60°、90°加、減運算得到的角均可以畫出．活動三：探究角的和差運算例1．如圖，Ｏ是直線AB上一點，∠AOC=53°17',求∠BOC的度數．問題：圖中∠AOB是平角，∠BOC與∠AOC之間大小具有什么關系？學生討論：∠AOB是平角.∠BOC與∠AOC的和是∠AOB，即∠BOC＋∠AOC＝180°．教師示范：解:由題意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17'=126°43'.教師追問：進行角度的加、減運算時，怎樣將度與度、分與分、秒與秒相加、減？學生討論、教師強調：進行角度的加、減運算時，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加、減.分、秒相加時逢60要進位；相減時，如不夠減要借1作60.本題中應借1°，先將180°化為179°60'再進行減法運算．三、強化鞏固1.練習1、2、3.小組討論完成拓展訓練：1.如圖，將一副三角板折疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，則∠AOC＋∠DOB＝()A．120°B．180°C．150°D．135°【解析】由圖可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故選B.2.如圖，將長方形ABCD沿EF折疊，C點落在C′，D點落在D′處．若∠EFC＝119°，則∠BFC′為()A．58°B．45°C．60°D．42°【解析】∵將長方形ABCD沿EF折疊，C點落在C′，D點落在D′處，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°，故選A.四、總結拓展學生小組合作對知識總結：1．角的比較方法：(1)度量法；(2)疊合法．2．角的計算：角的加、減；3．角的單位換算．學生小組合作對思想方法總結：在圖形的基礎上發展數學語言，體會研究角的和差的幾何意義和實際應用．五、作業布置必做作業：課本習題6.3第3、6、7、9題選做作業：課本習題6第14題附：板書設計例1學生練習板演（拓展訓練）例1學生練習板演（拓展訓練）課題：6.3.2角的比較與運算（1）活動一：探究角的大小比較活動二：探究兩角的和與差活動三：探究角的和差運算6．3．2角的比較與運算（2）(教案新課程)第六章幾何圖形初步6．3角6．3．2角的比較與運算（2）〖教學目標】1．在具體情境中類比線段學習角倍、分，理解角的倍、分的意義；2．能夠求一個角的倍、分；掌握角平分線的概念，能夠利用角平分線的定義解決相關計算問題；3．在圖形的基礎上發展數學語言，體會研究角的倍、分的幾何意義和實際應用．【教學重點】理解角的倍、分的意義,掌握角平分線的概念，能夠利用角平分線的定義解決相關計算問題．【教學難點】能夠利用角平分線的定義解決相關計算問題．【教學過程】 一、情境導入我們知道，線段的中點把線段分成兩條相等的線段，什么樣的射線把角分成兩個相等的角呢？本節課學習6．3．2角的比較與運算（2）（板書課題）二、合作探究活動一：探究角的平分線探究：角的平分線和線段相類似，在下圖中，如果∠AOB=∠BOC,那么射線OB把∠AOC分成兩個相等的角．這時有∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，∠AOB=∠BOC=．一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線．例1.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度數；(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數．問題：（1）圖中的∠EOD是哪兩個角的和？這兩個角分別是哪兩個角的一半？學生討論：∠DOE是∠DOC和∠EOC的和，它們分別是∠BOC和∠AOC的一半．教師追問：∠BOC與∠AOC和等于什么角？是多少度？問題：(2)由（1）知，要求∠AOE的度數，只要求出∠AOC的度數，怎樣求出∠AOC的度數？學生討論：∠AOC是∠AOB與∠BOC的差，∠AOB與∠BOC的度數已知，可以求出∠AOC的度數．【解析】解：(1)∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝eq\f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×120°＝60°；(2)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×30°＝15°.操作探究：在一張半透明的紙上通過折紙作角的平分線．學生活動：先畫一個角，再對折作角的平分線．活動二：探究角的等分線探究角的三等分線：類似地，還有