第1頁/共1頁北京石景山區2023—2024學年第一學期高一期末試卷數學本試卷共5頁，滿分為100分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.3.下列函數中，在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.4.已知關于的不等式的解集是則（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.某中學高三年級共有學生800人，為了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為40的樣本，若樣本中共有女生11人，則該校高三年級共有男生（）人A.220 B.225 C.580 D.5857.若則（）A B. C. D.8.已知函數，則（）A B.0 C.1 D.29.已知函數，則不等式的解集是（）A B. C. D.10.已知非空集合，滿足以下兩個條件：（1），；（2）的元素個數不是中的元素，的元素個數不是中的元素.則有序集合對的個數為（）A.12 B.10 C.6 D.5第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.函數的定義域為______.12.已知，則當______時，取得最小值為______.13.不等式的解集為__________.14.寫出一個值域為的偶函數______.15.已知函數，（1）若，則的最大值是______；（2）若存在最大值，則的取值范圍為______.三、解答題共5小題，共40分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知集合，集合（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.17.已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨立的.（1）求丙投籃命中的概率；（2）甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中概率.18.已知函數的圖像過點．（1）求實數m的值；（2）判斷在區間上的單調性，并用定義證明；19.甲、乙兩個籃球隊在4次不同比賽中的得分情況如下：甲隊88919396乙隊89949792（1）在4次比賽中，求甲隊的平均得分；（2）分別從甲、乙兩隊的4次比賽得分中各隨機選取1次，求這2個比賽得分之差的絕對值為1的概率；（3）甲，乙兩隊得分數據的方差分別記為，，試判斷與的大小（結論不要求證明）20.已知函數，其中為自然對數的底數，.（1）若0是函數的一個零點，求的值并判斷函數的奇偶性；（2）若函數同時滿足以下兩個條件，求的取值范圍.條件①：，都有；條件②：，使得.石景山區2023—2024學年第一學期高一期末試卷數學本試卷共5頁，滿分為100分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據交集的定義，即可判斷選項.【詳解】集合，，由交集的定義可知，.故選：B2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據命題的否定的定義判斷．【詳解】特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3.下列函數中，在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據各選項中的函數直接判斷單調性即可.【詳解】函數在R上單調遞減，A不是；函數在上單調遞減，在上單調遞增，則在上不單調，B不是；函數的R上單調遞減，C不是；函數在R上單調遞增，在上單調遞增，D是.故選：D4.已知關于的不等式的解集是則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據不等式的解集與相應方程的根的關系，利用韋達定理求解．【詳解】由題意和1是方程的兩根，所以，，，∴．故選：B．5.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解的解集，再根據集合的包含關系，結合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】由，得，因為，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.某中學高三年級共有學生800人，為了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為40的樣本，若樣本中共有女生11人，則該校高三年級共有男生（）人A.220 B.225 C.580 D.585【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣比例一致得到相關方程，從而得解.【詳解】依題意，設高三男生人數為人，則高三女生人數為人，由分層抽樣可得，解得.故選：C.7.若則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據不等式的性質，以及指數函數的性質，基本不等式，即可判斷選項.【詳解】A.因，則，則，故A錯誤；B.因為，所以，故B錯誤；C.在R上單調遞增，當時，，故C錯誤；D.因為，所以和都大于0，則，當時，即時等號成立，所以“=”不能取到，所以，故D正確.故選：D8.已知函數，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據分段函數的定義區間，結合函數解析式，求函數值.【詳解】函數，則.故選：C9.已知函數，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，即的圖象在圖象的上方，畫出圖象，即可得出答案.【詳解】因為的定義域為，因為，，由可得，即的圖象在圖象的上方，畫出的圖象，如下圖，由圖可知：不等式的解集是.故選：D.10已知非空集合，滿足以下兩個條件：（1），；（2）元素個數不是中的元素，的元素個數不是中的元素.則有序集合對的個數為（）A.12 B.10 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】首先討論集合中的元素個數，確定兩個集合中的部分元素，再結合組合數公式，即可求解.【詳解】若集合中只有1個元素，則集合只有5個元素，，，即，，此時有個；若集合中只有2個元素，則集合只有4個元素，，，即，，此時有個；若集合中只有3個元素，則集合只有3個元素，，，不滿足題意；若集合中只有4個元素，則集合只有2個元素，，，即，，此時有個；若集合中只有5個元素，則集合只有1個元素，，，即，，此時有個；故有序集合對的個數是.故選：B第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.函數的定義域為______.【答案】【解析】【分析】利用函數有意義列式求解即得.【詳解】函數有意義，則且，解得，所以函數的定義域為.故答案為：12.已知，則當______時，取得最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時取等，所以當時，取得最小值為.故答案為：；.13.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉化成整式不等式求解即可得出答案.【詳解】根據不等式整理可得，即，等價于，解得；所以不等式的解集為故答案為：14.寫出一個值域為的偶函數______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據偶函數的性質，以及指數函數的性質，即可求解的解析式.【詳解】設，函數的定義域為，且，即函數為偶函數，，所以，即函數的值域為,所以滿足條件的一個函數.故答案為：15.已知函數，（1）若，則的最大值是______；（2）若存在最大值，則的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）若，則，由二次函數的性質可得出答案；（2）當時，由（1）知，存在最大值，當時，若存在最大值，在應單調遞減，所以，即可得出答案.【詳解】（1）若，則，當時，，所以，則的最大值是.（2）當時，由（1）知，存在最大值，當時，若存在最大值，在應單調遞減，所以，且當時，，無最大值，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以存在最大值為.故的取值范圍為：.故答案為：；.三、解答題共5小題，共40分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知集合，集合（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分別求集合，再求；（2）根據（1）的結果，首先求，再根據集合的運算結果，求實數的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，得或，即或，所以或；【小問2詳解】由（1）可知，，，若，則.17.已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨立的.（1）求丙投籃命中的概率；（2）甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先設甲，乙，丙投籃命中分別為事件，根據獨立事件概率公式，即可求解；（2）根據（1）的結果，根據公式，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根據概率的運算公式，即可求解.【小問1詳解】設甲投籃命中為事件，乙投籃命中為事件，丙投籃命中為事件，由題意可知，，，，則，所以丙投籃命中的概率為；【小問2詳解】甲和乙命中，丙不中為事件，則，所以甲和乙命中，丙不中的概率為；【小問3詳解】甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件，則,18.已知函數的圖像過點．（1）求實數m的值；（2）判斷在區間上的單調性，并用定義證明；【答案】（1）（2）在區間上單調遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）將代入解析式，得到m的值；（2）利用定義法證明函數單調性步驟：取值，作差，判號，下結論.【小問1詳解】將點代入函數中，可得，解得．【小問2詳解】單調遞增，證明如下．由（1）可得，任取，則，因為，則，，，即，所以，即，所以在區間上單調遞增．19.甲、乙兩個籃球隊在4次不同比賽中的得分情況如下：甲隊88919396乙隊89949792（1）在4次比賽中，求甲隊的平均得分；（2）分別從甲、乙兩隊4次比賽得分中各隨機選取1次，求這2個比賽得分之差的絕對值為1的概率；（3）甲，乙兩隊得分數據的方差分別記為，，試判斷與的大小（結論不要求證明）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據平均數公式，即可求解；（2）利用列舉樣本空間的方法，結合古典概型概率公式，即可求解；（3）結合方差的定義和公式，即可判斷.【小問1詳解】設甲隊的平均分為，則所以甲隊的平均分為；【小問2詳解】分別從甲、乙兩隊的4次比賽得分中各隨機選取1次，有，共包含16個基本事件，這2個比賽得分之差的絕對值為1包含，共5個基本事件，所以這2個比賽得分之差的絕對值為1的概率;【小問3詳解】乙隊的平均分為，則,20.已知函數，其中為自然對數的底數，.（1）若0是函數的一個零點，求的值并判斷函數的奇偶性；（2）若函數同時滿足以下兩個條件，求的取值范圍.條件①：，都有；條件②：，使得.【答案】20.；奇函