倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.2導數的運算（基礎知識+基本題型）知識點一幾個常用函數的導數1．函數（為常數）的導數為．表示函數圖象上每一點處的切線的斜率都為0，若表示路程關于時間的函數，則可解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態．2．函數的導數為．表示函數圖象上每一點處的切線的斜率都為1．若表示路程關于時間的函數，則可解釋為某物體的瞬時速度為1的勻速直線運動．3．函數的導數為．表示函數圖象上點處的斜率都為說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．4．函數的導數為．5．函數的導數為．知識點二基本初等函數的導數公式⑴若(c為常數），則；⑵若，則；⑶若，則；⑷若，則；⑸若，則；⑹若，則；⑺若，則(8)若，則提示（1)上述求導公式可分為四類，其中，（1)(2)屬于冪函數；（3)(4)屬于三角函數；（5)(6)屬于指數函數；(7)(8)屬于對數函數.應用上述公式進行求導時不必再用定義去推導，可直接應用.(2)上述公式的特點①常數函數的導數為零；②冪函數求導降次；③指數函數的導數仍然為指數型函數；④對數函數的導數是有理函數；⑤正弦函數和余弦函數的導數分別為余弦函數和正弦型函數，且余弦函數的導數帶負號.（3)指數函數、對數函數的導數公式的記憶比較困難，其中是在時的特殊情況，是在時的特殊情況，記憶時要從形式上進行對比，特別注意的位置不要弄混，另外，還要借助換底公式來記憶：.知識點三導數運算法則法則語言敘述兩個函數的和（差）的導數?等于這兩個函數的導數的和（差）兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘第二個函數.再加上第一個函數乘第二個函數的導數兩個函數的商的導數，等于分子的導數乘分母減去分子乘分母的導數，再除以分母的平方知識點四復合函致的導數1.一般地，對于兩個函數和，如果通過變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作.2．復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對，的導數等于對的導數與對的導數的乘積.提示（1）復合函數求導法則可以簡單敘述成：復合函數對自變導數等于已知函數對中間變量的導數乘中間變量對自變量的導數（即由表及里逐層求導）（2）復合函數求導法則可推廣到三個或三以上的函數相復合，如若，則.(3) 復合函數求導的步驟① 分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系（筒稱分解復合關系）；② 分層求導，弄清每一步中是哪個變量對哪個變量求導（筒稱分層求導）；③ 將中間變量回代為自變量的函數（簡稱回代）.考點一導數公式及導數運算法則求導例1下列求導運算中正確的個數是①；②；③；④.A.0B.1C.2D.3解析：因為，所以①不正確.；因為，所以.②正確；因為是常數，所以，所以③不正確.因為，所以④不正確.答案：B總結：要正確理解導數公式及導數運算法則，不要盲目套用，否則會出現這樣的錯誤，對公式的記憶也要準確牢固，避免出現運算錯誤.例2求下列函數的導效：(l)；(2)；(3)解：(l)方法1：方法2：因為，所以(2)方法1：方法2：因為，所以(3)方法1：設，則.方法1：因為所以對較復雜的函數求導時，應盡量減少乘積的運算法則，以避免出現符號和運算錯誤.為此，我們就需要對式子進行適當的變形或化簡，再求導.例如，三角函數可以先利用三角恒等變換進行化簡；對數函數的真數是指數或或根式時.可先用對數的運算性質把真數轉化為有理式或整式.再求導.考點二導數運算的應用例3函數，則A.0B.1C.2014D.解析：故.答案：D總結：靈活運用導數的運算法則，把看作一個整體，化繁為簡.求時，不必再求的值，更容易得出結果.例4已知函數為的導函數.為的導函數，求.分析：利用，令，即可解出，進而求得，從而求得.解：因為令，得，所以所以.故，所以本題考查了求導公式的應用及特珠角的三角函數值，求出的值是解題的關鍵步驟.例5若函數，且為奇函數(1)求的值；(2)求的導數.分析：首先根據復合函數求導法則得出，然后由三角函數的性質求得參數的值.解：(1)因為，為奇函數，所以.(2)由(1)，知，令.則‘故的導數為.復合函數求導先要分清復合層次，再從外向內逐層求導.當內層函數是簡單的一次函數(如)時，不要忘記時內層函數的求導.考點三導數的綜合應用例6設函數，，曲線在點處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)證明：曲線Y=f(x)上任一點處的切線與直線直線圍成的三角形面積為定值，并求此定值.(1)解：方程可化為當時，，即，由，得，解得所以所求解析式為.(2)證明：設為曲線上任一點，由，知曲線在點處的切線方程為，即，令，得.即切線與直線的交點為；令，得，即切線與直線的交點為.故點處的切線與直線，圍成的三角形的面積為故曲線上任一點處的切線與直線和直線圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.求曲線方程或切線方程時.應注意：(1)切點是曲線與切線的公共.點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；（2）曲線在切點處的導數就是切線的斜率；(3)必須明確已知點是不是切點，如果不是，應先設出切點.例7已知，當時，曲線的切線斜率的最小值為，求的值.分析：曲線在區間上的切線斜率是的導函數，而是二次函數，結合二次函數在閉區間上求最值的方法及已知條件，可求出，的值.解：，且，①若即，則在上是增函數，所以.即，②由①②，解得，不滿足，應舍去.若，即.則即.③由①③，解得，若.即，在上是減函數，所以，即，由①④，解得，不滿足，應舍去.綜上可知，.(1)已知函數的解析式(含參數).求解與的切線相關的參數問題時，應從導數的幾何意義，即曲線的切線的斜率入手，建立關于參數的方程(組)，然后解方程(組)即可.(2)三次函數的導數為二次函數，當涉及與二次函數最值有關的問題時.常需要討論，而討論的立足點是二次函數的圖象的對稱軸與區間的位置關系.考點四求導公式的創新應用例8設，則A.B.C.D.分析：首先類比數列求項的方式，按條件依次求導，然后索規律找出解決方案.解析：所以4為最小正周期.故.答案：B總結：本例充分挖掘了求導公式的內涵，并與數列和函數的周期性相互滲透，具有綜合性、創新性和良好的區