專題二模型板塊專題第52講二次函數與相似三角形有關問題【解題思路】相似三角形存在性問題解題的一般步驟：1.

找等角：尋找兩個三角形中相等的定角，通常定角為直角、對頂

角、公共角或內錯角(同位角)，或通過互余(互補)進行轉化等方法得

到的等角.2.

求點坐標：(1)根據兩組邊成比例列關系式；(2)根據另一組角相等求坐標.【典型例題】(2024·內江中考)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－2x＋6的圖

象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，

B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D(不與點A，B重合)，過點D作

DC⊥x軸于點C，交AB于點E.

備用圖

解：(1)令y＝0，則－2x＋6＝0，則x＝3；令x＝0，則y＝6，∴點A(3，0)，B(0，6).把點A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，

∴這條拋物線所對應的函數表達式為y＝－x2＋x＋6.【典型例題】(2024·內江中考)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－2x＋6的圖

象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，

B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D(不與點A，B重合)，過點D作

DC⊥x軸于點C，交AB于點E.

備用圖

解：(2)存在點D，使得△BDE和△ACE相似.設點D(t，－t2＋t＋6)，則

點E(t，－2t＋6)，C(t，0)，∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.

①如圖1，當△ACE∽△BDE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC，∴點D的縱坐標為6，解：(2)存在點D，使得△BDE和△ACE相似.設點D(t，－t2＋t＋6)，則

點E(t，－2t＋6)，C(t，0)，∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.

①如圖1，當△ACE∽△BDE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC，∴點D的縱坐標為6，圖1

圖2∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1，∴點D(1.6).②如圖2，當△ACE∽△DBE時，∠BDE＝∠CAE，過點B作BH⊥DC于點H，

∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1，∴點D(1.6).

圖1

圖2②如圖2，當△ACE∽△DBE時，∠BDE＝∠CAE，過點B作

BH⊥DC于點H，∴∠BHD＝90°，點H(t，6)，∴BH＝t，DH＝－t2＋t，∴∠BHD＝90°，點H(t，6)，∴BH＝t，DH＝－t2＋t，

∵點A(3，0)，B(0，6)，∴OA＝3，OB＝6.

【變式】(2023·隨州中考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2

＋bx＋c過點A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)，連接BC，P(m，n)(m

＞0)為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸

于點N.

(1)直接寫出拋物線和直線BC的解析式；解：(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2；直線BC的解析式為y＝－x＋2.解：(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2；直線BC的解析式為y＝－x＋2.

直線OP的解析式為y＝x，∴－m2＋m＋2＝m，解：(2)存在.∵點P與點C相對應，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB.

①若點P在點B的左側，

當△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°時，直線OP的解析式為y＝x，∴－m2＋m＋2＝m，

當△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°時，

OQ＝－m2＋m＋2＋m＝－m2＋2m＋2，

直線QP的解析式為y＝x－m2＋2，

②若點P在點B的右側，則∠CBN＝135°，BN＝m－2，當△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°時，直線OP的解析式為y＝－x，∴－m2＋m＋2＝－m，

當△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°時，

【鞏固練習】1.

(2024·呼倫貝爾中考)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋

bx＋c(a≠0)的圖象經過原點和點A(4，0).經過點A的直線與該二次函

數圖象交于點B(1，3)，與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；解：(1)把點O(0，0)，A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∴二次函數的解析式為y＝－x2＋4x.

設直線AB的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，

∴直線AB的解析式為y＝－x＋4.當x＝0時，y＝4，∴點C(0，4).當x＝0時，y＝4，∴點C(0，4).1.

(2024·呼倫貝爾中考)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋

bx＋c(a≠0)的圖象經過原點和點A(4，0).經過點A的直線與該二次函

數圖象交于點B(1，3)，與y軸交于點C.

(2)P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作

PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m.是否存在

點P，使得△BPD與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由.解：(2)存在.∵點A(4，0)，C(0，4)，∴AO＝CO＝4.又∵∠AOC＝90°，∴∠ACO＝∠OAC＝45°.∵PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠PDB＝∠ACO＝45°.當△PBD∽△OAC時，如圖1，∴∠BPD＝∠AOC＝90°，∴BP∥x軸，∴點P的縱坐標為3，把y＝3代入y＝－x2＋4x，得3＝－x2＋4x，解得x1＝1(舍去)，x2＝3，∴點P的坐標為(3，3).解：(2)存在.∵點A(4，0)，C(0，4)，∴AO＝CO＝4.又∵∠AOC＝90°，∴∠ACO＝∠OAC＝45°.∵PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠PDB＝∠ACO＝45°.當△PBD∽△OAC時，如圖1，∴∠BPD＝∠AOC＝90°，∴BP∥x軸，∴點P的縱坐標為3，把y＝3代入y＝－x2＋4x，得3＝－x2＋4x，解得x1＝1(舍去)，x2＝3，∴點P的坐標為(3，3).圖1

圖1

圖2當△PBD∽△AOC時，如圖2，過點B作BF⊥PD于點F，則BF＝m－1，∠PBD＝∠AOC＝90°.∵點P(m，－m2＋4m)，∴點D(m，－m＋4).∵∠BDP＝45°，∴∠BPD＝45°＝∠BDP，∴BP＝BD，∴PF＝DF，圖2當△PBD∽△AOC時，如圖2，過點B作BF⊥PD于點F，則BF＝m－1，∠PBD＝∠AOC＝90°.∵點P(m，－m2＋4m)，∴點D(m，－m＋4).∵∠BDP＝45°，∴∠BPD＝45°＝∠BDP，∴BP＝BD，∴PF＝DF，

解得m1＝2，m2＝1(舍去)，∴－m2＋4m＝4，∴點P的坐標為(2，4).綜上所述，當點P的坐標為(2，4)或(3，3)時，△BPD與△AOC相似.

解：(1)∵點M在y軸負半軸且OM＝2，∴點M(0，－2).將點A(0，2)，C(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，

2.

(2023·齊齊哈爾中考)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c上的點A，C的

坐標分別為(0，2)，(4，0)，拋物線與x軸負半軸交于點B，M為y軸負

半軸上一點，且OM＝2，連接AC，CM.

(2)D是線段BC(包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物

線于點Q，交直線CM于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與

△COM相似，請直接寫出點Q的坐標.

備用圖解：(2)∵在△COM中，∠COM＝90°，以點Q，N，C

為頂點的三角形與△COM相似，∴以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形.又∵QD⊥x軸，直線QD交直線CM于點N，∴∠CNQ≠90°，即點N與點O不是對應點，故分為∠CQN＝90°和∠QCN＝90°兩種情況討論：①當∠CQN＝90°時，由于QN⊥x軸，∴CQ⊥y軸，即CQ在x軸上，又∵點Q在拋物線上，∴此時點B與點Q重合，如圖1，

圖2解：(2)∵在△COM中，∠COM＝90°，以點Q，N，C