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文檔簡介

第三章導數及其應用微專題構造法解f(x)與f′(x)共存問題

以抽象函數為背景，題設條件或所求結論中具有f(x)與f′(x)共存的不等式，旨在考查導數運算法則的逆向、變形應用能力的客觀題，是近幾年高考中的一個熱點．解答這類問題的策略是將f(x)與f′(x)共存的不等式與導數運算法則結合起來，合理構造出相關的可導函數，然后利用函數的性質解決問題．類型一構造和、差型可導函數【例1】已知定義在R上的函數f(x)滿足f(2)＝20，且f(x)的導函數f′(x)滿足f′(x)＞6x2＋2，則不等式f(x)＞2x3＋2x的解集為(

)A．{x|x＞－2} B．{x|x＞2}C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2}B

解析：令函數F(x)＝f(x)－2x3－2x，則F′(x)＝f′(x)－6x2－2.由題可知f′(x)＞6x2＋2，所以f′(x)－6x2－2＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在R上單調遞增．因為F(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故f(x)＞2x3＋2x等價于F(x)>F(2)，所以所求不等式的解集為{x|x>2}．√若已知f′(x)>G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(x)，G(x)都是具體函數，且g′(x)＝G(x)，可構造函數F(x)＝f(x)－g(x)．思維建模

√【例3】已知奇函數f(x)的定義域為R，當x＞0時，2f(x)＋xf

′(x)＞0，且f(2)＝0，則不等式f(x)＞0的解集為______________.(－2，0)∪(2，＋∞)

解析：設g(x)＝x2f(x)(x∈R)，因為f(x)為R上的奇函數，所以易得g(x)為R上的奇函數．因為g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf

′(x)]，又當x＞0時，2f(x)＋xf

′(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．又因為g(x)為R上的奇函數，所以g(x)在(－∞，0)上單調遞增，g(0)＝0.因為g(2)＝4f(2)＝0，所以g(－2)＝－g(2)＝0，作出g(x)的簡圖如圖．

數形結合可得g(x)＝x2f(x)＞0的解集為

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