第1章信號與系統導論1.1信號的概念1.2基本信號1.3系統1.4信號與系統的基本問題和基本內容全套可編輯PPT課件

2/732024/12/231.1信號的概念1.1.1信號的定義和描述廣義來說，信號是對事物本身或其狀態變化的一種描述，它承載了該事物的某種特性和信息。信號的具體形式通常是某種物理量，如光信號、電信號、聲信號等，其中電信號是應用最廣的信號形式。所謂電信號常常是指隨時間變化的電壓、電流和電磁波等。

在信號與系統學科中，信號被定義為一個自變量或多個自變量的函數

1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.4全套可編輯PPT課件

1.1信號的概念實際信號舉例1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.4心電圖實例雷達接收機的噪聲鳥叫聲爆破信號正弦信號圖像－銀河系4/732024/12/231.1信號的概念1.12信號的分類

對于具有不同特點的信號或函數，一般需要采用不同的分析方法。

連續時間信號和離散時間信號

信號自變量的取值是連續的，則稱為連續時間信號，一般可記為x(t)自變量只能在離散的點上取值，則稱為離散時間信號，可記為x[n]模擬信號和數字信號

自變量和函數值均連續的信號，稱為模擬信號自變量和函數值均離散的信號，稱為數字信號1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.25/732024/12/231.1信號的概念離散信號源于兩種應用情形。一種是事物本身或其狀態變化需要用元素集合或序列的形式來描述。另一種情況是為了利用計算機進行信號處理，在離散的時間點上對連續時間信號抽取樣值(這一過程稱為抽樣)，從而獲得一個離散的時間信號。圖1.3由連續時間正弦信號得到的離散時間正弦序列1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.26/732024/12/231.1信號的概念周期信號和非周期信號

每隔一定時間，按相同規律重復變化的信號，即為周期信號連續時間周期信號滿足：上式中最小的T值稱為信號的最小周期，簡稱周期。離散時間周期信號滿足：上式中最小的正整數N稱為序列的最小周期，簡稱周期。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.27/732024/12/231.1信號的概念注意的是這里定義的周期信號必須在(-∞,+∞)上滿足不滿足周期信號定義的均為非周期信號。由于實際應用中只能在有限的時間內觀測和記錄信號（常簡稱為時限信號），因此理論意義上講都是非周期信號。當認為它們是周期信號時，是對觀測或記錄時段外的信號作了“假定”的延拓。

圖1.4離散時間周期方波信號1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.28/732024/12/231.1信號的概念能量信號和功率信號連續/離散時間信號能量

連續/離散時間信號平均功率能量信號：信號能量滿足E<∞功率信號：信號平均功率滿足P<∞1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.29/732024/12/231.1信號的概念能量信號的典型例子是有限時長信號功率信號的典型例子是常見的周期信號周期信號平均功率計算可以簡化為：上面的積分/求和為一個周期內的積分/求和注意：能量信號和功率信號并不是一種完備的分類存在一類信號既不是能量信號，也不是功率信號例如：1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.210/732024/12/231.1信號的概念【例1-1】求下列信號的能量和功率：（1）圖1.4所示的離散時間周期方波信號；（2）

解（1）周期信號的能量

E→∞；（2）

P→0（功率信號）（能量信號）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.211/732024/12/231.1信號的概念一維信號和多維信號信號值都是單個自變量的函數，稱為一維信號。信號值是二個或多個自變量的函數，則稱為二維或多維信號（灰度圖像是典型的二維信號）。確定性信號和隨機信號可以用一個確定的連續或離散函數進行描述的信號，稱為確定信號。若某一時刻的信號取值是不確定的，至多能知道該時刻取某個值的可能性大小，稱其為隨機信號。本課程1-6章的討論，主要針對連續時間和離散時間一維確定信號。1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.212/732024/12/231.1信號的概念1.1.3信號的運算和獨立變量變換將信號通過某種運算或者變換而產生新的信號，是信號處理的基本手段和基本目的之一。信號的基本運算信號相加、相差、數乘（乘以一個常數）和微分運算，分別對應函數的相應運算。連續信號積分運算1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.213/732024/12/231.1信號的概念離散信號求和運算離散信號一階差分運算（后向差分）（前向差分）（二階后向差分）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.214/732024/12/231.1信號的概念【例1-2】已知離散時間信號x[n]如下，試求和解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.215/732024/12/231.1信號的概念常見的自變量變換連續信號平移

將信號x(t)中的自變量t換為t-t0，則信號x(t-t0)相對于x(t)構成了平移變換，簡記為x(t)→x(t-t0)。

當t0>0時，x(t-t0)的波形是x(t)的右移，平移量為t0

當t0<0時，x(t-t0)的波形是x(t)的左移，平移量為|t0|

即左(移)加右(移)減1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.216/732024/12/231.1信號的概念圖1.6信號的平移1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.217/732024/12/231.1信號的概念連續信號反轉將信號x(t)中的自變量t換為-t，則信號x(-t)相對于x(t)構成了反轉變換，簡記為x(t)→x(-t)。

反轉后信號波形與原信號波形關于縱軸對稱。圖1.7信號的反轉1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.218/732024/12/231.1信號的概念連續尺度變換（壓擴變換）將信號x(t)中的自變量t換為at(t>0)，則信號x(at)相對于x(t)構成了尺度變換，簡記為x(at)→

x(t)

。當a>1時，信號波形被壓縮當a<1時，信號波形被擴展圖1.8信號的尺度變換1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.219/732024/12/231.1信號的概念離散時間信號對于平移和反轉變換，只要將上述敘述中

t的換為

n，則成為對離散時間序列平移和反轉變換的表述。由于離散信號自變量

n必須取整數，因此直接壓擴變換無意義，必須另做定義，即所謂的序列的抽取和內插。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.220/732024/12/231.1信號的概念【例1-6】信號x[n]如圖1.9(a)所示，畫出信號x[n-3]和x[-n]。解平移信號x[n-3]如圖1.9(b)所示，時間反轉信號x[-n]如圖1.9(c)所示。圖1.9離散信號的平移和反轉1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.221/732024/12/231.1信號的概念在問題分析中，常會遇到上述三種變換的組合，即x(t)→x(at-t0)

，下面通過例子說明。【例1-7】x(t)和x[n]如下圖所示，試分別繪出x(2t-1)和x[-n+1]的波形圖。圖1.10例1-7題圖1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.222/732024/12/231.1信號的概念【解】首先求x(t)→x(t-1),x[n]→x[n+1]的波形變換，如下圖(a)(b)所示。然后求x(t-1)→x(2t-1),x[n+1]→x[-n+1],如圖(c)(d)所示。先作平移變換后作壓擴和反轉變換圖1.11例1-7求解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.223/732024/12/231.2基本信號1.2.1正弦信號連續時間正弦信號A為振幅，ω為連續時間角頻率，為初相位。則ω、頻率f、最小周期T之間的關系為連續時間正弦信號的最高頻率理論上為無窮大

1.2.11.2.21.2.31.11.21.31.2.41.2.51.424/732024/12/231.2基本信號圖1.12連續時間正弦信號(f=2Hz,A=2,

=

/4)圖1.13連續時間正弦信號的頻率高低與變化快慢（

1<2<3）1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.525/732024/12/231.2基本信號離散時間正弦信號其中A、Ω、φ分別稱為正弦序列的振幅、角頻率和初相位。正弦序列可以視為以固定的間隔Ts對連續時間信號進行的采樣，即離散時間角頻率Ω和連續時間角頻率ω有如下關系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.526/732024/12/231.2基本信號正弦信號為周期信號的條件連續時間正弦信號cosωt

一定是周期信號離散時間正弦信號cosΩn

不一定是周期信號假設N是cosΩn

的最小周期，則要求只有當2π/Ω為有理數時，才存在整數N使得上式成立正弦序列為周期信號的充分必要條件是2π/Ω為有理數最小周期為比值2π/Ω的分子(N，k為整數)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.527/732024/12/231.2基本信號【例1-8】判定下列正弦序列是否為周期信號；對周期信號求其最小周期。

(1) (2)(3) (4)

【解】(1)Ω=5/6

，為非周期信號。(2)Ω=5π/6

為周期信號；N=2kπ/Ω=

k·12/5

=

12

(k=5)。

(3)周期信號和非周期信號的和為非周期信號。(4)第一項的周期為N1=12，第二項的周期為N2=24，整個序列的最小周期為兩者的最小公倍數，即N=24。

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.528/732024/12/231.2基本信號正弦序列的角頻率和頻率離散時間角頻率的大小也表示了信號變化的快慢離散時間正弦序列的最高角頻率為Ω=π圖1.14不同角頻率時的離散時間正弦序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.529/732024/12/231.2基本信號1.2.2指數信號連續時間實指數信號當

a>0時是指數增長信號，當a<0時是指數衰減信號。常用的是單邊指數衰減信號1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.530/732024/12/231.2基本信號指數函數和正弦函數的乘積構成指數增長或衰減的振蕩波形，很多實際系統在特定的條件下會呈現指數衰減振蕩，例如RLC振蕩電路。圖1.16(a)指數增長振蕩信號;(b)指數衰減振蕩信號

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.531/732024/12/231.2基本信號離散時間實指數信號（C，a為實數）圖1.17實指數序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.532/732024/12/231.2基本信號復指數信號前面的指數信號的表達式中，a取復數，則稱為復指數信號。ejωt和ejΩn是復指數信號的特例上述信號由正弦信號構成，顯然是周期信號，前面關于正弦信號的討論，也適用于ejωt和ejΩn

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.533/732024/12/231.2基本信號1.2.3單位階躍信號連續時間單位階躍信號圖1.18單位階躍函數圖1.19方波函數1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.534/732024/12/231.2基本信號【例1-9】(1)求單位階躍函數的積分。(2)求圖1.19所示的方波函數的積分。【解】(1)當t>0時，當t<0時積分為0，即

r(t)的波形如圖1.20(a)，常稱為斜坡函數。圖1.20(a)階躍函數的積分;(b)方波函數的積分1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.535/732024/12/231.2基本信號

(2)由(1)知，第一項積分為第二項積分為

(t>T)[因為t<T時,u(t-T)=0](t>T)[變量代換：令λ=t-T]

所以

r1(t)=tu(t)-(t-T)u(t-T)

r1(t)的波形如圖1.20(b)所示

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.536/732024/12/231.2基本信號離散時間單位階躍函數

圖1.21單位階躍序列圖1.22方波序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.537/732024/12/231.2基本信號【例1-10】(1)求單位階躍序列的求和序列。(2)求圖1.22所示方波序列的求和序列。【解】(1)，即。

注意斜坡序列應該是。(2)由方波序列與階躍序列的關系易知

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.538/732024/12/231.2基本信號1.2.4單位沖激信號離散時間單位沖激函數單位階躍序列和單位沖激序列的關系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.539/732024/12/231.2基本信號【例1-11】試用沖激序列表示圖1.22所示的方波序列。【解】按照類似的思路可以得到δ[n]和u[n]求和關系的另一種表達式

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.540/732024/12/231.2基本信號連續時間單位沖激函數

與橫坐標圍成面積恒為1的窄脈沖δΔ(t)，脈沖寬度趨于0

窄脈沖δΔ(t)與橫坐標圍成的面積（即δ(t)前面的系數）稱為沖激強度（注意不是函數值）圖1.25(a)窄脈沖;(b)單位沖激函數狄拉克定義1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.541/732024/12/231.2基本信號單位沖激函數和單位階躍函數的關系u(t)和δ(t)構成如下的積分關系圖1.26(a)t<0時沖激函數的積分示意;(b)t>0時沖激函數的積分示意1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.542/732024/12/231.2基本信號u(t)和δ(t)構成微分關系考察圖1.27中階躍函數的逼近函數uΔ(t)和其導數函數δΔ(t)

不難理解當時，,，因此圖1.27(a)階躍函數的逼近uΔ(t);(b)uΔ(t)的微分1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.543/732024/12/231.2基本信號【例1-12】若將橫軸上t=0的左極限點記為，右極限點記為，計算下列各式的值。

(1)

(2)(3)(4)(5)【解】根據的幾何意義和狄拉克定義可知：

(1)

(2)(3)(4)(5)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.544/732024/12/231.2基本信號【例1-13】化簡下列表達式。

(1)(2)【解】(1)參見圖1.26，δ(τ-t0)出現在τ=t0處，因此當積分限t<t0時，積分值為0，當積分限t>t0時積分值為1，因此有

(2)g(t)是后面經常用到的幅度為、寬度為的典型方波信號。對上式兩邊求導可得

因此1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.545/732024/12/231.2基本信號

由上面的例子可以看到：沖激函數可以方便地表示函數在不連續點處的導數。一個階躍幅度為A的正向跳變，求導后產生一個沖激強度為A的正向沖激；一個階躍幅度為A的負向跳變，求導后產生一個沖激強度為A的負向沖激。

圖1.28方波函數及其導數1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.546/732024/12/231.2基本信號單位沖激函數的性質性質1.x(t)有界，在t=0處連續，且x(0)≠0，則有性質2.篩選性質性質3.偶函數性質性質4.尺度變換性質*1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.547/732024/12/231.2基本信號【例1-14】化簡和計算下列各式。

(1)(2)(3)【解】(1)原式=(2)原式=

(3)原式=1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.548/732024/12/231.2基本信號單位沖激函數的導數及其性質*

盡管

δ(t)是奇異函數，它的導函數仍然是可定義的、存在的。為了理解

δ(t)的導數，考察圖1.31。圖(a)上圖所示的三角形窄脈沖與橫軸圍成的面積恒為1，當Δ→0時，SΔ(t)→δ(t)。δ(t)的導數定義為Δ→0時的SΔ(t)的導數，即圖1.31(a)三角窄脈沖及其導數;(b)單位沖激函數及其導數

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.549/732024/12/231.2基本信號性質1.奇函數性質性質2.的積分為0，即性質3.

x(t)有界，在t=0處連續，且x(0)≠0，則有性質4*.x(t)有界，在t=0處連續，則有1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.550/732024/12/231.2基本信號*【例1-16】計算的值。

【解】令，則，[積分上下限交換變號][性質3][首先將δ函數自變量進行變換]1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.551/732024/12/231.2基本信號1.2.5采樣函數采樣函數是表示信號或系統特性時常用的函數，其定義為圖1.32采樣函數曲線1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.552/732024/12/231.3系統1.3.1系統的基本概念

系統一般可定義為由若干個互相依賴的事物組成的具有特定功能的整體。

在信號與系統分析中只要描述系統的數學方程或輸入輸出關系相同，都視為相同的系統

圖1.33系統模型：(a)SISO;(b)MIMO;(c)SIMO;(d)MISO1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.353/732024/12/231.3系統連續時間系統

輸入和輸出信號及系統內部信號均為連續時間信號，則稱為連續時間系統。離散時間系統

輸入和輸出信號及系統內部信號均為離散時間序列，則稱為離散時間系統。

混合系統

輸入和輸出信號及系統內部信號不全是連續時間信號或不全是離散時間信號，則稱為混合系統

圖1.36連續時間系統和離散時間系統1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.354/732024/12/231.3系統系統的互聯圖1.37系統互聯1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.355/732024/12/231.3系統系統的響應

系統的輸出通常是由兩個因素產生的：一是系統在外部信號的作用下產生輸出，二是由于系統內部儲存能量的釋放而產生輸出。前者稱為零狀態響應(zero-stateresponse)，記為yzs；后者稱為零輸入響應(zero-inputresponse)，記為yzi。系統完全響應為兩者之和，即

系統輸入輸出的關系，通常可以用一個關系式來表達1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.356/732024/12/231.3系統1.3.2系統特性及LTI系統無記憶性和記憶性如果一個系統在任一時刻的輸出值僅取決于該時刻的系統輸入值，與該時刻以前或以后的輸入值無關，則該系統具有無記憶性或稱之為無記憶系統。否則，該系統具有記憶性或稱之為有記憶系統。客觀自然界中存在的有記憶系統，其特點是任一時刻的輸出值不僅與該時刻的輸入值有關，而且與該時刻以前的輸入值有關。由于離散時間系統的數據是可以存儲在計算機中的，變量n并不一定表示當前的實際時間，因此可以出現系統在n時刻的輸出值與“將來時刻”(n時刻以后)的輸入值有關，這類系統也是有記憶系統。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.357/732024/12/231.3系統【例1-17】試判定下列系統是有記憶系統還是無記憶系統。(1)(2)【解】(1)由于y(1)=x(1/2)，即t=1時刻的輸出與t=1以前時刻（t=1/2）的輸入有關，因此該系統是有記憶系統。(2)該系統的輸出是輸入信號的導數。僅僅根據t

時刻的函數值，并不能確定函數在t

時刻的導數，因為函數在t時刻的導數與時刻以前的函數取值密切相關，即因此微分器是一個有記憶系統。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.358/732024/12/231.3系統因果性和非因果性如果系統在任一時刻的輸出值只取決于該時刻和該時刻以前的輸入，而與該時刻以后的輸入無關，則稱該系統具有因果性或稱之為因果系統。否則稱該系統為非因果系統。因果性體現的是現實世界中時間順序上的因果關系，即必須是“有因（輸入）在前，有果（輸出）在后”。若自變量是時間，則非因果系統是不可實現的或不存在的。延遲系統是因果系統前向差分系統是非因果系統1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.359/732024/12/231.3系統【例1-18】試判定下列系統是否是因果系統。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(2t)【解】(1)該系統是對輸入信號進行橫軸方向擴展，因此輸出信號可能早于輸入信號出現，例如

y(-1)=x(-1/2)，即t=-1時刻的輸出與以后時刻(t=-1/2)的輸入有關，因此是非因果系統。(2)該系統是對輸入信號進行橫軸方向壓縮，同樣輸出信號可能早于輸入信號出現，例如

y(1)=x(2)，即t=1時刻的輸出與以后時刻(t=2)的輸入有關，因此是非因果系統。

時域壓擴系統都是非因果系統

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.360/732024/12/231.3系統穩定性若對任何有界的輸入信號，系統輸出總是有界的，即BIBO（BoundedInputBoundedOutput），則該系統是穩定的或稱之為穩定系統。否則稱為不穩定系統。求和系統是一個不穩定的系統積分系統是一個不穩定的系統1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.361/732024/12/231.3系統可逆性如果根據系統的輸出可以唯一確定系統的輸入，則該系統是可逆的或稱為可逆系統。否則稱為不可逆系統。從數學上講，如果通過輸入輸出之間的函數關系y=f(x)可以確定一個唯一的反函數y=f-1(x)，則該系統一定是可逆的。例如積分器是一個可逆系統，其逆系統為微分器一般情況下，微分器不是一個可逆系統。因為輸入x(t)為任意常數時，輸出信號均為y(t)=0，無法根據此時的輸出唯一確定系統輸入。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.362/732024/12/231.3系統【例1-19】試判定下列系統是否是可逆系統；如果可逆，求其逆系統。(1) (2)【解】(1)原式兩邊求導得 因此逆系統為(2)仔細分析系統對輸入信號的處理，逆向操作可得，逆系統為1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.363/732024/12/231.3系統時不變性如果系統的參數不隨時間發生變化（或系統不對輸入信號進行時間壓擴和反轉變換），則該系統將具有時不變性，稱之為時不變系統，否則稱為時變系統。對于時不變系統而言，無論輸入信號是在何時接入系統的，系統的輸入輸出關系都將維持不變。設x(t)→y(t)，若系統滿足x(t-t0)→y(t-t0)則稱該系統為連續時間時不變系統。

對于離散時不變系統，則有x[n-n0]→y[n-n0]1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.364/732024/12/231.3系統【例1-20】

判定下列系統是否是時不變系統。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(t)sin2πt(3)y[n]=x[-n]【解】(1)當輸入信號為x(t-t0)時，其時間軸方向的擴展信號為x(t/2-t0)，而由原關系式知道y(t-t0)

=x((t-t0)/2)，兩者不相等，因此是時變系統。(2)將該系統的功能理解為“系統輸出等于系統輸入與sin2πt的乘積”，那么該系統是時變系統，因為在此理解下有(3)按照輸入輸出關系，該系統的輸出是輸入信號的時域反轉信號，因此當輸入為x[n-N]時，輸出為x[-n-N]。由于因此該系統是時變系統。

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.365/732024/12/231.3系統線性設x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，如果系統同時滿足如下的比例性和疊加性：比例性：cx1(t)→cy1(t)

(c為任意常數)疊加性：x1(t)+x2(t)→y1(t)

+y2(t)則該系統是線性的或稱之為線性系統。線性通常采樣下列等價表述ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)

+by2(t)(a,b為任意常數)對于離散線性系統，則有ax1[n]+bx2[n]→ay1[n]

+by2[n](a,b為任意常數)由比例性可以推知線性系統的一個重要性質是零輸入產生零輸出。顯然這是線性系統的必要條件。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.366/732024/12/231.3系統【例1-21】試判定下列系統是否是線性系統。(1)

(2)

(3)

【解】(1)若x1(t)→y1(t)=x12(t),x2(t)→y2(t)=x22(t),則因此該系統是非線性系統。(2)假設

x(t)(x(t)>0)→y1(t)≠0，而-x(t)(-x(t)<0)→y2(t)=0≠-y1(t)，即不滿足比例性，因此是非線性系統。(3)當x[n]=0時y[n]=2，違背了線性系統的“零輸入零輸出”必要條件，因此該系統并不是這里定義的線性系統。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.367/732024/12/231.3系統LTI系統及其性質若一個系統同時滿足線性和時不變性，則稱該系統為線性時不變系統，簡稱LTI（LinearTime-Invariant）系統。

性質1.微分性質/差分性質對于連續時間LTI系統，若x(t)→y(t)，則

對于離散時間LTI系統，若x[n]→y[n]，則x[n]-x[n-1]→y[n]-y[n-1]

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.368/732024/12/231.3系統LTI系統及其性質性質2.積分性質/求和性質

對于連續時間LTI系統，若x(t)→y(t)，則

對于離散時間LTI系統，若x[n]→y[n]，則

線性和時不變性是LTI系統的兩個重要性質，它們為系統分析提供了十分有利的條件。正是在這兩個特性的基礎上，才形成了完善的LTI系統的分析理論和方法。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.369/732024/12/231.3系統1.3.3SISO系統的時域描述連續時間SISO系統的微分方程描述x(t)是系統的輸入（或稱激勵），y(t)是系統的輸出（或稱響應），ak和

bk則是由系統本身決定的、與時間無關的常數。微分方程中導數的最高階數定義為系統的階數，通常情況下有N≥M，因此上式描述的是一個N階系統。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.470/732024/12/231.3系統離散時間SISO系統的差分方程描述x[·]是系統的輸入序列及其移位序列，y[·]是系統的輸出序列及其移位序列，ak和bk則是由系統決定的、與時間無關的常數。差分方程的階數（最高時延）定義為離散時間系統的階數，通常情況下有N≥M，因此上式描述的是一個N階系統。事實上不難證明，如果在信號接入系統前系統的初始儲能為零，則線性常系數微分方程或差分方程描述的系統都是LTI系統。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.471/732024/12/231.3系統LTI系統的沖激響應描述系統的沖激響應就是系統在零狀態（初始儲能為零）條件下由沖激信號激勵后所產生的響應，記為h(t)或h[n]，如圖1.40所示。沖激響應是對LTI系統的充分描述。因此，在理論分析和實際應用中常常用沖激響應描述一個LTI系統，如圖1.41所示。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.4圖1.40連續時間系統和離散時間系統沖激響應的定義圖1.41LTI系統的沖激響應描述72/732024/12/231.4信號與系統的基本問題和基本內容信號與系統主要解決下列兩個基本問題：(1)已知系統及其輸入，如何求解系統的輸出響應。問題的關鍵是如何尋找在任意激勵下求解LTI系統響應的一般方法。“零狀態響應等于輸入激勵與系統沖激響應的卷積”是一個核心結論第2章時域分析：卷積求零狀態響應第3、4章：頻域求卷積第5、6章：變換域求全響應（零狀態+零輸入）

1.11.21.31.473/732024/12/231.4信號與系統的基本問題和基本內容(2)建立信號和系統的頻域描述和頻譜的概念

僅僅在時域中研究信號和系統，實際應用中的很多問題將難以解決，甚至無法解決。信號和系統的頻域描述提供了另外一個分析和解決問題的角度。此外，系統的分析和設計也十分重要系統特性分析（變換域，第3~6章）系統設計（濾波器設計，第5、6章）

1.11.21.31.4第2章時域分析

2.1離散時間LTI系統的零狀態響應2.2連續時間LTI系統的零狀態響應2.3系統沖激響應的性質*2.4系統的方框圖表示*2.5相關分析*2.6正交分析2.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.1LTI系統響應求解的基本思想假設任意信號x[n]可以分解為某種基本信號e[n]及其延時序列e[n-ni]的線性組合：x[n]=a0e[n]+a1e[n-n1]+a1e[n-n1]+…=∑iaie[n-ni]那么當假定e[n]激勵系統所產生的響應為ye[n]，則由系統的線性和時不變性可知

e[n-ni]→ye[n-ni][時不變性]aie[n-ni]→aiye[n-ni][比例性]

∑iaie[n-ni]→∑iaiye[n-ni][疊加性]

也就是說，只需要知道基本信號的響應為ye[n]，就可以根據上述規律，求得任意信號的系統響應。2.12.22.32.42.52.62.1.12.1.22.1.32.1.42.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.2零狀態響應的卷積和求解用δ[n]表示離散信號圖2.1中x[n]可以看成等式右端四個沖激序列的線性疊加

x[n]=x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+x[2]δ[n-2]一般情況下：

x[n]=…+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+…即：

任意離散時間信號都可以用單位沖激序列的線性組合表示。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.1離散時間信號的單位沖激序列分解77/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和離散時間系統的零狀態響應已經定義δ[n]激勵系統所產生的響應為單位沖激響應h[n]，根據系統的線性時不變性可知

即離散時間LTI系統在任意信號激勵下的輸出響應為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.678/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和卷積和輸出響應的求解就是兩個序列相乘后再求和。形如上式的求和稱為卷積(convolution)。任意兩個時間序列x1[n]，x2[n]的卷積和定義為

簡記為引入了卷積和的概念后，離散時間LTI系統的零狀態響應等于系統輸入信號和系統沖激響應的卷積

，即已知系統的沖激響應h[n]后，可以求得系統在任意輸入情況下的輸出。因此，沖激響應在時域中完全表征了一個LTI系統，是對系統的充分描述。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.679/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和

【例2-1】假設通過實驗和分析確定圖1.42所示多徑傳輸系統的沖激響應序列為h[0]

=1，h[1]

=0.5，h[2]

=0.1。如果系統的輸入序列為x[0]

=2，x[1]

=1，試求系統的輸出序列。【解】

其他n取值時，y[n]

=0

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖1.42室內聲音多徑傳播的等效離散時間系統模型2.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.3卷積和的計算方法一：借助信號波形作圖確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】

設x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，波形如圖2.2所示，計算卷積和。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.2例2-2中的方波序列和指數序列81/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6橫軸變量n換為k

信號反轉反轉信號平移，平移參量為n平移后兩信號相乘不同的n取值，可能有不同的表達式82/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和

x2[n-k]平移到圖(b)以前的位置，n<0

,此時x1[k]與x2[n-k]無重疊，乘積為零，即x2[n-k]平移到圖(c)所示，非零值重疊區間的求和范圍是從k=0到k=n，即上述結果在0≤n≤N-1才成立，即

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

83/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和x2[n-k]平移到如圖(d)的位置，重疊情況不再發生變化，此時綜合上述求解結果：2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

84/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法一求卷積和的要點歸納如下：

如何進行求和的分段x2[-k+n]平移時，的非零求和區間發生變化分段后如何確定的取值范圍確定波形x2[-k+n]在求和區間發生變化的臨界點時的平移量n的值如何確定求和上下限對比圖中關鍵點坐標k的取值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

85/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法二：借助單位階躍函數確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】對于例2-2所給的序列

x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，本例借助單位階躍函數計算其卷積和。

【解】由卷積和定義

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

k≥0時u[k]=1,k≤n時u[n-k]=1，k≥N時u[k-N]=1僅保留非零求和項注意求和上限需要大于下限86/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法二求卷積和的要點歸納如下：

借助階躍函數表示序列后x1[k]中不作反轉變化的階躍函數決定了求和的下限，x2[n-k]中作反轉變化的階躍函數決定了求和的上限。各項求和表達式后限定范圍的階躍函數形式為“u[上限-下限]”。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

87/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法三：短序列卷積和的表格計算表格法事實上是將圖解法的數值計算過程進行了表格化編排。【例2-4】已知有限長序列x[n]={x[-1],x[0],x[1],x[2]}={1,2,3,-1}，

h[n]={h[0],h[1],h[2]}={1,-1,2}。求y[n]=x[n]*h[n]。

【解】考慮非零樣值，卷積和按定義式展開

代入n值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

88/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和上述過程可用如下表格表示卷積結果可簡便地表示為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

x[n]x[-1]=1x[0]=2x[1]=3x[2]=-1h[n]h[0]=1h[1]=-1h[2]=2246-2-1-2-31123-1y[n]11307-2n=089/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和排列豎式時注意下面兩點：

序列應右對齊排列。y[n]最右邊樣值n的取值為x[n]和h[n]最右邊樣值的n值和，在該例中為n=2+2=4。最后特別指出：若兩個有限長序列x1[n],x2[n]的長度分別為L1和L2，非零區間分別為[N1,N2]和[M1,M2]，可以證明：卷積后序列的長度為L1+L2

-1，非零區間為[N1+M1,N2+M2]。

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.4卷積和的性質性質1.交換律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令r=n-k]91/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質2.結合律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令m=n-k][交換律][交換求和次序][

y12[n]=x1[n]*x2[n]]

[交換律]92/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質3.分配律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.693/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質4.與沖激序列的卷積【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[性質x[n]δ[n-n0]=x[n0]δ[n-n0]]

94/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和【例2-5】設

x1[n]=u[n]-

u[n-2]，x2[n]=an(u[n]-

u[n-2])，計算其卷積和。【解】由于x1[n]和x2[n]是很短的序列，可以沖激序列表示為利用卷積和性質有2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.695/772024/12/232.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質5.卷積后信號的時移與反轉若y[n]

=x1[n]*x2[n]，則【證明】由前面的性質4和2，第1式易證再證明第2式，由卷積和定義比較兩式可知2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令-k=r]

表達式y[n]

=x1[n]*x2[n]右邊的n是助記符，不是真正的時間變量，不能簡單的做變量代換。2.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.1零狀態響應的卷積積分求解

用δ(t)表示連續信號窄脈沖疊加近似2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.4連續時間信號的窄脈沖分解97/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分連續時間系統的零狀態響應若系統對δ(t)的響應為h(t)，由LTI系統的線性時不變性質可知即連續時間LTI系統對任意輸入信號x(t)的響應為形如上式的積分稱為卷積積分。一般函數x1(t)和x2(t)的卷積積分定義為簡記為因此，連續時間LTI系統的零狀態響應為y(t)

=x(t)*h(t)

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[時不變性][比例性][疊加性]2.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.2卷積積分的計算卷積積分的計算方法和卷積和的計算方法類似，主要有兩種計算方法。

方法一【例2-6】

x

(t)和h(t)波形如圖2.6所示，借助作圖求其卷積。2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.6例2-6的信號波形99/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分當5≥t>-∞時，y(t)=0，兩波形不相交當7≥t>5時，當9≥t>7時，當11≥t>9時，當t>11時，y(t)=02.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.7例2-6的卷積圖解過程

圖2.8例2-6卷積后信號y(t)的波形100/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分方法二【例2-7】借助階躍函數求解例2-6中兩信號的卷積積分。【解】兩信號可以表示為

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6101/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分由前式計算可得上式也可以寫成分段函數形式確定積分限和t值范圍的過程可歸納為下列兩點不作翻轉變化的階躍函數決定了積分的下限；作翻轉變化的階躍函數決定了積分的上限。積分項后限定t變化范圍的階躍函數形式為“u(上限-下限)”。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.3卷積積分的性質性質1.交換律、結合律和分配律交換律：結合律：分配律：性質2.微積分性質其中y(m)(t)表示m次求導（當m

>0）或m次積分（當m

<0）。該性質表明：對卷積后函數y(t)的m次微積分運算可以在x1(t)和x2(t)之間任意分配，只要對和的微分或積分次數之和等于m即可。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6103/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分性質3.與沖激函數的卷積將上述性質和微積分性質結合，則有

性質4.卷積后信號的時移與反轉若y(t)=x1(t)*x2(t)，則

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6104/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分【例2-8】利用卷積性質求例2-6中兩信號的卷積。

【解】x

(t)的一階導數為當t<1時，當1≤

t<5時，當t≥5時，根據卷積積分的性質有2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6105/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.9例2-8卷積結果106/772024/12/232.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分【例2-9】已知y(t)=x1(t)*x2(t)

，試用y(t)表示

x1(t-t1)*x2(t-t2)。

【解】反向利用性質3

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[交換律和結合律][性質3]2.3系統沖激響應的性質2.3.1系統特性與沖激響應沖激響應h(t)是對連續LTI系統的充分描述。因此，系統的許多性質也必然在沖激響應中得到體現。性質1.因果性若系統是因果的，其沖激響應必滿足h(t)=0或h[n]=0（t<0或n<0）性質2.穩定性若系統是BIBO穩定的，則其沖激響應必滿足：即，BIBO穩定系統的沖激響應必須是絕對可積的或絕對可和的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6108/772024/12/232.3系統沖激響應的性質性質3.無記憶性若系統是無記憶的，則對所有的或，其沖激響應滿足h(t)=0或h[n]=0（t≠0或n≠0）【例2-10】試判斷下列系統是否是因果的、穩定的、無記憶的。(1)h(t)=e-tu(t+1) (2)

h[n]=u[n+3]-u[n-4]【解】(1)穩定性：由于，所以系統是穩定的。因果性：因為t<0時h(t)≠0

，因此系統是非因果性的。記憶性：因為t≠0時h(t)有非零值，因此系統是有記憶的。

(2)穩定性：由于，所以系統是穩定的。因果性：因為n<0時h[n]≠0

，因此系統是非因果的。記憶性：因為n≠0時h[n]有非零值，因此系統是有記憶的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6109/772024/12/232.3系統沖激響應的性質2.3.2理想系統的沖激響應恒等系統的沖激響應所謂恒等系統即系統的輸出信號恒等于輸入信號，無失真無延時。所以恒等系統的沖激響應為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.10理想導線建模為恒等系統110/772024/12/232.3系統沖激響應的性質理想傳輸系統的沖激響應所謂理想傳輸系統即為無失真有時延的傳輸系統。

所以理想傳輸系統的沖激響應為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.11連續時間理想傳輸系統的沖激響應

111/772024/12/232.3系統沖激響應的性質2.3.3互聯系統的沖激響應串聯系統的總沖激響應卷積結合律，可以將兩個子系統串聯時的系統總輸出改寫為其中上式表明串聯系統的總沖激響應為子系統沖激響應的卷積，離散時間串聯系統的總沖激響應類似可得2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.12連續時間串聯系統的總沖激響應112/772024/12/232.3系統沖激響應的性質并聯系統的總沖激響應當兩個子系統并聯時，由圖2.15可知

因此并聯系統總沖激響應為子系統沖激響應的和，即

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.15