重難點18球的切、接問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求外接球問題】.................................................................4

【題型2補形法求外接球問題】.................................................................4

【題型3截面法求外接球問題】.................................................................5

【題型4棱切球模型問題】.....................................................................6

【題型5內切球模型問題】.....................................................................6

【題型6多球相切問題】.......................................................................7

【題型7外接球之二面角模型】.................................................................8

【題型8與球的切、接有關的最值問題】........................................................9

【題型9與球的切、接有關的截面問題】.......................................................10

【題型10多面體與球體內切外接綜合問題】....................................................11

?命題規律

1、球的切、接問題

球的切、接問題是歷年高考的重點、熱點內容，一般以客觀題的形式出現，考查空間想象能力、計算

能力.其關鍵點是利用轉化思想，把球的切、接問題轉化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉化為特殊幾何

體的切、接問題來解決.

?方法技巧總結

【知識點1正方體與球、長方體與球】

1.正方體與球的切、接問題

(1)內切球：內切球直徑2火=正方體棱長。

(2)棱切球：棱切球直徑2尺=正方體的面對角線長，.

(3)外接球：外接球直徑2尺=正方體體對角線長，.

2.長方體與球

外接球：外接球直徑2R=體對角線長十七+(的分別為長方體的長、寬、高).

【知識點2正棱錐與球】

1.正棱體與球的切、接問題

⑴內切球：睢棱錐=；S表底（等體積法），/?是內切球半徑，/?為正棱錐的高.

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為八相=（〃—火）2+/（正

棱錐外接球半徑為七高為初

【知識點3正四面體的外接球、內切球】

1.正四面體的外接球、內切球

若正四面體的棱長為a,高為h,正四面體的外接球半徑為R,內切球半徑為r,則〃=卓a,R=^-a,

【知識點4正三棱柱的外接球】

1.正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點為其外接球球心.

6

【知識點5圓柱、圓錐的外接球】

1.圓柱的外接球

R=4是圓柱外接球的半徑，/?是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑）.

2.圓錐的外接球

—玲2+1（尺是圓錐外接球的半徑，〃是圓錐的高，：.是圓錐底面圓的半徑）.

【知識點6幾何體與球的切、接問題的解題策略】

1.常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

空間幾何體外接球問題的處理關鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：

（1）定義法：利用平面幾何體知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖,

確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

（2）補形法：若球面上四點尸/,民。構成的三條線段兩兩垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據軌2=4+必+02求解.

（3）截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線

作截面，把空間問題轉化為平面問題求解.

3.內切球問題的求解策略：

（1）找準切點，通過作過球心的截面來解決.

（2）體積分割是求內切球半徑的通用方法.

?舉一反三

【題型1定義法求外接球問題】

【例1】（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A—BCD中，4D1平面力BC,NR4c=60。，4B=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.30TT

【變式1-1］（2024?海南?模擬預測）已知正方體力BCD-4/?%的棱長為2,點N為側面四邊形CDD?

的中心，則四面體NCBiM的外接球的表面積為（）

A.2nB.4TTC.6TTD.8TT

【變式1-2］（2024?河南周口?模擬預測）已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為2,面積為g的扇形，則該圓

錐的外接球的面積為（）

A.—B.—C.—D.9TT

842

【變式1-3］（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形4BCD為等腰梯形，BC//AD,

PD=2AD=4BC=4,底面積為平，PD，力。且PB=回，則四棱錐P—ABCD外接球的表面積為（）

4

P

A.9nB.12V3TTC.39TlD.2On

【題型2補形法求外接球問題】

【例2】（2024?內蒙古錫林郭勒盟?模擬預測）在空間直角坐標系中，已知

4（030），B（0,0,0）,C（4,0,0）,D（0,3,2）,則四面體4HCQ外接球的表面積為（）

A.29TTB.28nC.32nD.30K

【變式2-1］（2024?江西?模擬預測）現為一球形玩具設計一款球形的外包裝盒（盒子厚度忽略不計）.已

知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入4個玩具球，則該種外包裝盒的直徑的最小值為（）

A.2—B.2+V3C.V6—2D.2+V6

【變式2-2］（2024?重慶?模擬預測）已知四面體中，AB=CD=AC=BD=2,4。=BC,若四面體

48。的外接球的表面積為7m則四面體/BCD的體積為（）

48

A.1B.2C.-D.-

33

【變式2-3］（2024?四川雅安?模擬預測）如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八

個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為VL則該多面體外接球的表

【題型3截面法求外接球問題】

【例3】（2024?江蘇南通?三模）已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,8,側棱長為3遍，則該正

四棱臺內半徑最大的球的表面積為（）

A.12nB.27TTC.—D.—

93

【變式3-1］（23-24高三下?河南?階段練習）已知圓臺。的上、下底面半徑分別為勺，r2,且q=2q,若

半徑為次的球與。的上、下底面及側面均相切，則。的體積為（）

A.7V3TTB.8伍C.D.等

【變式3-2］（2024?湖北?二模）已知圓錐尸。的頂點為P,其三條母線為，PB,尸C兩兩垂直，且母線長

為6,則圓錐尸O的內切球表面職與圓錐側面積之和為（）

A.12（10-3V6）TTB.24（20-7V6）TTC.60（8-3V6）nD.3（40-7V6）TT

【變式3-3］（2024?四川成都?三模）已知正四棱臺A8CD-EFGH的上底面積為16,下底面積為64,且其

各個頂點均在半徑/?=商的球。的表面上，則該四棱臺的高為（）

A.2B.8C.8或12D.2或12

【題型4棱切球模型問題】

【例4】（2024?全國?模擬預測）正四面體/BCD的棱長為2,其棱切球的體積為（）

A.2nB.V6TTC.—TTD.—TT

【變式4-1］（2024?山東日照?二模）已知棱長為1的正方體4BCD-4%的￡?1，以正方體中心為球心的球。

與正方體的各條棱相切，若點P在球。的正方體外部（含正方體表面）運動，則萬?麗的最大值為（）

731

A.2B.-C.-D.-

444

【變式4-2］（2024?廣東佛山?模擬預測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其

所有棱都相切）的表面積分別為Si，S2,則費=.

【變式4-3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）若將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，

八個頂點共截去八個三棱錐，可得到一個有十四個面的多面體.它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形,

六個面為正方形，如圖所示，已知該多面體過/,B,。三點的截面面積為6舊，則其棱切球（球與各棱相

切）的表面積為.

【題型5內切球模型問題】

【例5】（2024?全國?模擬預測）如圖，已知四棱錐P-4BCD的底面是邊長為2的菱形，。為AC,8D的交點,

P。1平面4BCD,NPB4=NA8C=60。，則四棱錐P-2BCD的內切球的體積為（）

V6nV6n

816

【變式5-1］（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學式為SF6,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的

穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途.六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，

硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m,

則該正八面體結構的內切球表面積為（）

Q

A.urn2B.2urn2C.D.

33

【變式5-2］（2024?全國?模擬預測）已知圓臺。1。2存在內切球。（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球）,

若圓臺。1。2的上、下底面面積之和與它的側面積之比為5:8,設圓臺。1。2與球。的體積分別為％〃2,則凸=

（）

A.-B.-C.-D.-

341113

【變式5?3】（2024?江蘇宿遷?三模）若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面

體的內切球.在四棱錐P-/BCD中，側面P/B是邊長為1的等邊三角形，底面/BCD為矩形，且平面P4B1

平面ZBCD.若四棱錐尸-存在一個內切球，設球的體積為匕，該四棱錐的體積為匕，則富的值為（）

AV3K口V3TTCV3HCV3TT

A.JD.C.D.

6121854

【題型6多球相切問題】

【例6】（2024高三?全國?專題練習）在一個半徑為2的半球形封閉容器內放入兩個半徑相同的小球，則這

兩個小球的表面積之和最大為（）

A.（96-64V2）irB.（24—16位C.8nD.16TT

【變式6-1］（2024?河北滄州?模擬預測）某包裝設計部門為一球形塑料玩具設計一種正四面體形狀的外包

裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱

長的最小值為（）

A.2+2V6B.2+4V6C..4+2V6D.4+4V6

【變式6-2］（2024?湖南益陽?模擬預測）如圖所示，4個球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個“最密堆壘”.顯

然，即使是“最密堆壘”，4個球之間依然存在著空隙.材料學研究發現，某種金屬晶體中4個原子的“最密

堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切，則材料的性能會有顯著性變

化.記原金屬晶體的原子半徑為以，另一種金屬晶體的原子半徑為「B，則以和的關系是（）

A.2rB=B.2rB=巫TA

C.2TB=（V3—l^rAD.2TB=（V6—2）rA

【變式6-3］（2024?浙江溫州?二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵

里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如

圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體4BCD的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面

均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為2乃，則模型中九個球的表

面積和為（）

2In

A.6nB.9TTC.——4D.

【題型7外接球之二面角模型】

【例7】（2024?陜西寶雞?三模）△力BC與△48。都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成60。的二面

角，若點/,B,C,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

.13_208K?52r112n

A.—TTB.-----C.—TTD.------

9993

【變式7-1］（2024?山東?模擬預測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形4BCD,且AC=BC=

\AD=1,ACLAD,現將△ACD沿4c折起，使得點。到達點P處，且二面角P—力。—B的大小為60。，連接

BP,如圖②，若三棱錐P-ABC的所有頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（）

D

P

C.6nD.7n

【變式7-2］（2024?陜西榆林?模擬預測）如圖，△ZBC是邊長為4的正三角形，。是的中點，沿將

折疊，形成三棱錐Z-BCD.當二面角8-ZD-C為直二面角時，三棱錐"-BCD外接球的表面積為（）

D20碣

.3

【變式7-3］（2024?上海徐匯?二模）三棱錐P-4BC各頂點均在半徑為2魚的球。的表面上，AB=AC=

2y/2,/.BAC=90°,二面角P-BC-4的大小為45,則對以下兩個命題，判斷正確的是（）

①三棱錐。-HBC的體積為*②點P形成的軌跡長度為2后.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

【題型8與球的切、接有關的最值問題】

【例8】（2024?湖北?模擬預測）已知四棱錐P-HBCD的底面為矩形，AB=2?BC=4,側面P4B為正

三角形且垂直于底面力BCD,M為四棱錐P-4BCD內切球表面上一點，則點M到直線CD距離的最小值為（）

A.V10-2B.V10-1C.2V3-2D.2V3-1

【變式8-1］（2024?陜西安康?模擬預測）在四棱錐P—力BCD中，底面四邊形力BCD為正方形，四棱錐P-4BCD

外接球的表面積為16m則當四棱錐P-A8CD的體積最大時，4B=（）

o

A.V3B.2C.D.3

【變式8-2］（2024?福建泉州?一模）泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房

燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式.在2024年元宵節，小明制做了一個半正多面體形狀的花燈,

他將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半

正多面體，如圖所示.已知該半正多面體的體積為g,M為△A8C的中心，過M截該半正多面體的外接球

的截面面積為S,則S的最大值與最小值之比（）

A.8B.：9C.3D.9

【變式8-3］（2024?福建南平?模擬預測）某雕刻師在切割玉料時，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，

測得在此三棱錐4-BCD中，側面ABC_L底面BCD,且AB=AC=DB=DC=AD=2cm,該雕亥!!師計戈lj將

其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）

C.2近（2-V3）cmD.a（2-V3）cm

【題型9與球的切、接有關的截面問題】

［例9］（2024?云南曲靖?模擬預測）正方體4BCD-外接球的體積為4V3n,E、F、G分別為棱A4、

A/i、的中點，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.巴B.如C.史D.E

3333

【變式9-1］（2024?江蘇南京?模擬預測）已知SO】=2,底面半徑。遇=4的圓錐內接于球。，則經過S和。M

中點的平面截球。所得截面面積的最小值為（）

A.—25IlB.2竺5nC.2—5nD.5n

234

【變式9-2］（2024?湖北武漢?模擬預測）四棱錐P-A8CD各頂點都在球心。為的球面上，且P力，平面A8CD,

底面力BCD為矩形，PA=AD=2,AB=2五,設M,N分別是PD,CD的中點，則平面4MN截球。所得截面的面

積為（）

A.nB.3nC.4TlD.2n

【變式9-3］（2024?全國?模擬預測）在正方體力BCD-中，E,尸分別為棱&Bi，￡）小的中點，過

直線昉的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,貝1］工=（）

S

A.西B.。C.至D.9

2255

【題型10多面體與球體內切外接綜合問題】

【例10】（2024?全國?模擬預測）已知圓臺。1。2的內切球半徑為2,圓臺。1。2的體積為28%，則圓臺0。2

外接球的表面積為（）

【變式10-1］（23-24高二下?湖南長沙?期中）已知正四棱錐外接球的半徑為3,內切球的半徑為1,則該正

四棱錐的高為（）

A.4+V3B.4+V2C.4±V3D.4±V2

【變式10-2】（2024?甘肅金昌?模擬預測）在底面是邊長為4的正方形的四棱錐P-4BCD中，點P在底面的

射影H為正方形超CD的中心，異面直線PB與4。所成角的正切值為|,則四棱錐P-力BCD的內切球與外接球

的半徑之比為（）

A.—B.—C.—D.—

17161318

【變式10-3】（2024?云南大理?模擬預測）六氟化硫，化學式為SF6,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、

不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正

八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如

圖所示，正八面體的棱長為a,此八面體的外接球與內切球的體積之比為（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2V2

?過關測試

一、單選題

1.（2024?遼寧?一模）已知正四棱錐P-A8CD各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4,體積為

則該球表面積為（）

4TT

A.97rB.36TTC.4TTD.—

3

2.（2024?山東濟南?二模）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2百，若半徑為1的球與該正三棱錐的各

棱均相切，則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.2B.2V2C.3D.2V3

3.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側棱=2舊,

點E在線段BD上，且BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

91T

A.2nB.—C.3TTD.4TT

4

4.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓

臺的上、下底面半徑分別為勺，r2,且「2=4勺=4,則圓臺的體積與球的體積之比為（）

A.-B.—C.-D.—

4828

5.（2024?陜西寶雞?三模）△A8C與△力BD都是邊長為2的正三角形，沿公共邊力B折疊成三棱錐且CD長為

V3,若點4B,C,D在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

A13「2087r1127rC52

A.—nD.---------D.—71

99?39

6.（2024?陜西榆林?模擬預測）如圖，△ABC是邊長為4的正三角形，。是8C的中點，沿/。將△ABC

折疊，形成三棱錐Z-BCD.當二面角8-2。-C為直二面角時，三棱錐Z-BCD外接球的體積為（）

「5V5nD20碣

A.5nB.20nc-

?3

7.（2024?天津和平?二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下

去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內切球（球與正

四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（）

8.（2024?安徽安慶?三模）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑

A.這兩個球體的半徑之和的最大值為萼

B.這兩個球體的半徑之和的最大值為g

C.這兩個球體的表面積之和的最大值為（6+3點）11

D.這兩個球體的表面積之和的最大值為當

二、多選題

9.（2024?黑龍江?模擬預測）圖柱的軸截面為正方形，則下列結論正確的有（）

A.圓柱內切球的半徑與圖柱底面半徑相等

B.圓柱內切球的表面積與圓柱表面積比為；

C.圓柱內接圓錐的表面積與圓柱表面積比為［

D.圓柱內切球的體積與圓柱體積比為:

10.（2024?河北衡水?三模）已知在正方體43。。一力/1的。1中，力&=2,點M為4的中點，點P為正方

形為B1C1D1內一點（包含邊界）,且8P〃平面球。為正方體ABCD-AiBiCiOi的內切球，下列說法

正確的是（）

A.球。的體積為段B.點P的軌跡長度為2/

C.異面直線CC1與所成角的余弦值取值范圍為[日,W]D.三棱錐外接球與球。內切

11.（2024?江蘇無錫?模擬預測）在平面四邊形A8CD中，ABBC1,AB1BC,將△力CD沿力C折起，使。

到達點P的位置.已知三棱錐P-4