第03講函數的奇偶性、對稱性與周期性

目錄

第一部分：基礎知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點一遍過...........................................4

高頻考點一：函數奇偶性..........................................4

角度1：判斷函數奇偶性........................................4

角度2：根據函數奇偶性求解析式................................5

角度3：函數奇偶性的應用......................................5

角度4：由函數奇偶性求參數....................................5

角度5：奇偶性+單調性解不等式.................................6

高頻考點二：函數周期性及其應用..................................7

角度1：由函數周期性求函數值...................................7

角度2：由函數周期性求解析式..................................7

高頻考點三：函數的對稱性........................................8

角度1：由函數對稱性求解析式..................................8

角度2：由函數對稱性求函數值或參數............................8

角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用........................9

第四部分：新定義題（解答題）.......................................10

第一部分：基礎知識

1、函數的奇偶性

(1)函數奇偶性定義

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(%)的定義域內任意一個X,都有

圖象關于y軸

偶函數

=那么函數"X)是偶函數對稱

如果對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有

圖象關于原點

奇函數

/(-%)=-/(%),那么函數/(X)是奇函數對稱

注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個X,-X也

在定義域內(即定義域關于原點對稱).

(2)常用結論與技巧：

①對數型復合函數判斷奇偶性常用/(—%)—/(%)=0或/(—x)+/(X)=0來判斷奇偶性.

②于(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結論：

fM

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數

偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數奇函數

奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數奇函數

奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數

③若/(%)是定義在區間。上奇函數，且0e￡),則/(0)=0(注意：反之不成立)

2、函數對稱性(異號對稱)

(1)軸對稱：若函數/(幻關于直線％對稱，則

①/(a+尤)=/(“-%)；

@f{x)=f(2a-x).

③/(r)=/(2a+x)

(2)點對稱：若函數/(x)關于直線(a,0)對稱，則

①/(a+x)=-/(a-x)

@f(.x)=-f(2a-x)

③/(-%)=-/(2a+x)

(2)點對稱：若函數/(幻關于直線(。力)對稱，則

①f(a+尤)=-f(a-x)+2b

②/(%)=-/(2a—幻+2)

③/(-%)=-f(2a+x)+2b

3,函數周期性(同號周期)

(1)周期函數定義

對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數T,使得當工取定義域內的任何值時，都有

/(%+T)=/(x),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期，則左T(左eZ)也是

這個函數的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函數/(%)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做"％)的最小正

周期(若不特別說明，T一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函數都有最小正周期.

(3)函數周期性的常用結論與技巧

設函數y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),則函數的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(%),則函數的周期T=2a；

③若/(x+a)=二二，則函數的周期T=2a；

/(x)

④若/(x+a)=—」則函數的周期T=2a；

/(x)

?f(x+a)=f(x+b),則函數的周期T=|a—0|

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國?（乙卷理））已知]是偶函數，則"=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（多選）（2023,全國?（新課標I卷））已知函數的定義域為R,/（孫）=。/（力+//3，則（）.

A./⑼=0B./（1）=0

C.是偶函數D.x=0為的極小值點

3.（2023?全國?（甲卷理））若/（x）=（x-l）2+ax+sin[x+]]為偶函數，則。=.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：函數奇偶性

角度1：判斷函數奇偶性

典型例題

例題1.（2024上?廣東?高一校聯考期末）下列函數是奇函數的是（）

A.f(x)=x2+1B./(x)=d-l

3

C.f(x)=x+^-D./(x)=+2x2

例題2.(2024上?云南昆明?高一期末)下列四個函數中在定義域內為非奇非偶函數的個數是（）

(1)f(^)=x-2

(2)f(x)=3x-2

(3)/(x)=log2x

(4)〃x)=2，

A.1個B.2個C.3個D.0個

例題3.（2024上?廣東?高一統考期末）下列函數是偶函數的是（）

X2

A.y=cos(x-1)B.J=|2-1|C.y=(x—l)~D.j=log2(x-l)

角度2：根據函數奇偶性求解析式

典型例題

例題L（2024上,福建漳州,高一統考期末）若函數"X）是偶函數，且當x>0時，〃x）=2*+x+l,則當x<0

時，〃x）=.

例題2.（2024上?廣東清遠?高一統考期末）已知函數〃x）是定義在R上的奇函數，當x>0時，

/（x）=e'+sinx-3,則的解析式為/⑺=.

角度3：函數奇偶性的應用

典型例題

例題L（2024上?廣東深圳?高一統考期末）已知〃"=爐+加+法+3且〃-2）=5,則"2）的值是（）

A.-3B.-1C.1D.3

例題2.（2024上?云南昆明?高一昆明一中校考期末）已知函數/■（尤）=ln（Jl+9f+3x）+5tanr-4,若

/（。）=2023,則/（-〃）=.

例題3.（2024上?江西上饒?高一統考期末）若函數/（力=加+及+1是［2凡1-句上的偶函數，貝M+b的值

為.

角度4：由函數奇偶性求參數

典型例題

例題L（2024上?山西長治?高一校聯考期末）若/（x）=x（x+2）（x-a）為奇函數，貝I。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

Y+nxx〉0

八3；一八是R上的偶函數，則a+6=________.

{bx—2x,x<（J

例題3.（2024下?浙江?高三校聯考開學考試）已知函數/（x）=xln（e*+l）-加是奇函數，貝心=.

角度5：奇偶性+單調性解不等式

典型例題

例題1.（2024上?貴州黔東南?高一統考期末）已知/（X）是定義在R上的偶函數，且對任意的再＞%20,

/（%）-/（%）＜。恒成立.若"-2）=0,則不等式（X-1）/（同＜0的解集是（）

A.（-2,2）B.（—8,—2）。（2,+oo）

C.（-2,0）U（2,+?）D.（-2,1）U（2,+^）

例題2.（2024上?山東威海?高一統考期末）已知函數是定義在R上的偶函數，在[。，+8）上單調遞增,

且/（-2）=0,則不等式/（1咤3%）＜0的解集為.

例題3.（2024上?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學校校考期末）/（x）在（-1,1）上滿足

/（-%）=-/（%）,且在（一1,1）上是遞減函數，^/（l-?）+/（4-3a）＞0,貝匹的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2024上?湖南婁底?高一校考期末）已知函數/（尤）=垣籍（舊-2）是定義在（-匕力）的奇函數，則「的

取值范圍為（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（1,4]D.（1,4）

）sx

2.（2024?廣西南寧?南寧三中校聯考一模）己知〃刈=1+3/

）（』）為奇函數，則。=（）

A.3B.-3C.0D.-1

J%、＞0

3.（2024?黑龍江齊齊哈爾?統考一模）已知=（/C為奇函數，則。=（）

[x+ax,x＜:0

A.-2B.2C.1D.-1

4.（2024下?西藏?高一開學考試）若函數/（x）=f+冰+1是定義〔在（一6,2匕-2）上的偶函數，貝（）

157

A.—B.-C.一D.2

444

5.（2024上?陜西西安?高三統考期末）已知=log3（x+戶3）+a（aeR）是奇函數，貝i]/（a+5）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2024下?四川?高三四川省西充中學校聯考期末）已知/■（%）=-5x+sinx,則滿足f（a2）+/（-4）＞0的實

數。的取值范圍是

7(2。24上?陜西商洛?高一統考期末)已知偶函數小)=砥):<：’則不等式/口-1)<〃3)的解集

是.

高頻考點二：函數周期性及其應用

角度1：由函數周期性求函數值

典型例題

例題1.(2023上?安徽?高二校聯考期中)己知函數“X)對于任意實數x滿足〃x+2)=/(x)，若/(-1)=3,

則〃5)=()

A.-5B.-3C.3D.5

例題2.(2024上?河北滄州?高一統考期末)已知函數/*)是定義在R上的奇函數,且滿足/(x+1)=/屏-3),

2

當XC(0,2)時，/(無)=尤2一一，貝1/(2023)=.

例題3.(2024?全國?高三專題練習)設函數Ax)的定義域為R,且/Q)=g/(x+2),/(2)=1,貝|

/(20)=.

角度2：由函數周期性求解析式

典型例題

例題1.(2022上?河北?高三校聯考階段練習)已知函數y寸(力是定義在R上的奇函數，且滿足

/(x+2)=-/(%),當xe[-2,0]時,/(力=。+彳，則當xe[4,6]時,/(%)=()

A.X2-1X+12B.-X2+9X-20

C.—x~+7x—12D.—x~+9x+20

例題2.(2023?全國?高三對口高考)函數y=/(x)的周期為2,且當時，f(x)=x,則y=〃x),

了42左-1,2左+1乂左€2)的解析式為.

例題3.(2023下?甘肅白銀?高二校考期末)若定義在R上的奇函數滿足/僅-“寸⑴，當xe[0,l]時,

/(x)=d-2%.

(1)求〃2021)的值；

(2)當xe[3,4]時，求函數“X)的表達式.

練透核心考點

1.（2023?湖南岳陽?校考模擬預測）設函數是定義域為R的奇函數，且/?（x+2）=〃x）,則

〃4）=.

2.（2022?全國?高三專題練習）己知定義在R上的偶函數“X）滿足〃2T）-〃X）=0,/（-1）=-A/3,則

"11）=一.

3.（2023上,江蘇?高一專題練習）設Ax）是周期為2的奇函數，當0<x<l時，/（x）=sim;+x,貝也<x<2

時，/（尤）=.

4.（2022上?全國?高一專題練習）已知“力是定義在R上周期為2的函數，當xe-1,1］時，〃尤）=同，那

么當xe［-7,-5］時,f（x）=.

高頻考點三：函數的對稱性

角度1：由函數對稱性求解析式

典型例題

例題1.（2021下?江西九江?高二統考期末）若函數“X）與g（"=3'的圖象關于直線x=3對稱，則〃x）=

（）

A.3A~3B.33Tc.3'jD.36T

例題2.（2022上?安徽合肥?高一統考期末）已知x=l是定義在R上的函數y=/（x）的對稱軸，當時，

〃x）=f—4x,則的解析式是.

角度2：由函數對稱性求函數值或參數

典型例題

a

例題1.（2023?陜西咸陽?咸陽市實驗中學校考一模）函數>=/（力為偶函數，且圖象關于直線x對稱,

/（5）=4,貝廳（-1）=.

例題2.（2023下?河北石家莊?高三校聯考期中）已知y=〃x-l）是R上的奇函數，當x>。時，/（x）=e*T,

則.

角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用

典型例題

例題1.（多選）（2024下?河南?高一信陽高中校聯考開學考試）已知函數/（x）,g（x）的定義域均為

R1（x+l）+/（x—1）=/（尤）,g（x—3）是偶函數,且/（x）+g（x-3）=2,若g（-3）=l,則（）

A./（1）=1

B.””的圖象關于點展，”中心對稱

C-/（2023）=1

D./（0）+/（1）+/（2）+...+/（2023）=1

例題2.（多選）（2024下?海南省直轄縣級單位?高三嘉積中學校考開學考試）已知定義域為R的函數/（尤）

壬意實數x，〉都有/（x）+/（y）=/（三）/（三），且/（0）20"（1）=1,則下列說法正確的是（）

A./（0）=3

B.f（x）=/（-x）

C.函數/*)的圖象關于點(g,0)對稱

D./(1)+/(