專題08一元函數的導數及其應用（利用導數研究函數零點（方程的根）問題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①判斷零點（根）的個數 1②已知零點（根）的個數求參數 3③已知零點（根）的個數求代數式的值 5①判斷零點（根）的個數1．（2023·全國·高二專題練習）已知關于的方程在上解的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知.(1)當時，求函數的單調區間；(2)當時，證明：函數有且僅有一個零點.3．（2023春·江西贛州·高二統考期末）已知函數.(1)求函數的最值；(2)討論函數的零點個數.4．（2023春·重慶·高二校聯考期末）已知函數．(1)當時，求函數的極值；(2)討論函數的零點個數．5．（2023春·福建寧德·高二統考期末）已知函數，．(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；(2)討論函數的零點個數．6．（2023春·四川眉山·高二統考期末）已知函數，其中為自然對數的底數．(1)當時，證明：;(2)當時，求函數零點個數．7．（2023·湖南·校聯考二模）已知函數．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個不等實根．②已知零點（根）的個數求參數1．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是．2．（2023春·安徽合肥·高二統考期末）若關于的方程有三個不等實數根，則實數的取值范圍是．3．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考期末）設，若關于x的方程有3個不同的實根，則的取值范圍是.4．（2023春·吉林長春·高二長春市解放大路學校校考期末）已知函數，若方程有三個不同的實數根，則a的取值范圍是．5．（2023春·山西忻州·高二統考期中）已知函數.(1)若曲線在點處的切線方程為，求m，n；(2)若在上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍.6．（2023春·江西九江·高二統考期末）已知函數.(1)求的極大值與極小值之差；(2)若函數在區間上恰有2個零點，求的取值范圍.7．（2023·廣東梅州·統考三模）已知函數，，為函數的導函數.(1)討論函數的單調性；(2)若方程在上有實根，求的取值范圍.8．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）設，，且a、b為函數的極值點(1)判斷函數在區間上的單調性，并證明你的結論；(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍.③已知零點（根）的個數求代數式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函數有三個零點，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知和是函數的兩個不相等的零點，則的范圍是．3．（2023春·湖南懷化·高二統考期末）已知是方程的一個根，則.4．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學校考開學考試）已知函數存在三個零點、、，且滿足，則的值為.5．（2023春·浙江·高二期中）已知函數，.(1)若不是函數的極值點，求a的值；(2)當，若有三個極值點，，，且，求的取值范圍.6．（2023·北京·高三專題練習）已知函數，曲線在點處的切線方程為.(1)求，的值；(2)設函數，若有兩個實數根（），將表示為的函數，并求的最小值.7．（2023春·福建廈門·高二廈門市湖濱中學校考期末）已知函數若方程有兩個實數解，則a的取值范圍是；若兩解分別為且，則的最大值是.；.

專題08一元函數的導數及其應用（利用導數研究函數零點（方程的根）問題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①判斷零點（根）的個數 1②已知零點（根）的個數求參數 9③已知零點（根）的個數求代數式的值 17①判斷零點（根）的個數1．（2023·全國·高二專題練習）已知關于的方程在上解的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】關于的方程在上解的個數，即為關于的方程在上解的個數，令，，則，則當時，單調遞增；當時，單調遞減.又，，在同一坐標系內作出與在上的圖像，兩圖像有1個交點則關于的方程在上解的個數為1.故選：A.2．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知.(1)當時，求函數的單調區間；(2)當時，證明：函數有且僅有一個零點.【答案】(1)函數的單調遞增區間為,，單調遞減區間為,(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，，由得或，解得或由得或，解得或，故函數的單調遞增區間為,，單調遞減區間為,.（2）當時，，定義域為，，設，，所以在區間上是增函數，，存在唯一，使，即，當時，，即；當時，，即；當時，，即，在區間上是增函數，在區間上是減函數，在區間上是增函數，當時，取極大值為，設，，所以在區間上是減函數.在內無零點，，在內有且只有一個零點，綜上所述，有且只有一個零點.3．（2023春·江西贛州·高二統考期末）已知函數.(1)求函數的最值；(2)討論函數的零點個數.【答案】(1)最大值，無最小值(2)當時，函數沒有零點，當或時，函數只有1個零點，當時，函數有兩個零點.【詳解】（1）由函數，，得，令，則恒成立，所以在上單調遞減，且，所以時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即當時，取得最大值，無最小值；（2）函數的零點個數就是方程的解的個數，整理得，令，，由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得最大值，當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，恒大于0且趨近于0，作出函數圖象如圖：

由圖知，當時，函數沒有零點，當或時，函數只有1個零點，當時，函數有兩個零點.4．（2023春·重慶·高二校聯考期末）已知函數．(1)當時，求函數的極值；(2)討論函數的零點個數．【答案】(1)極小值，無極大值.(2)當時，函數沒有零點；當或時，函數有1個零點；當時，函數有2個零點.【詳解】（1）當時，，，令，則；令，則；故函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為；當時，函數取極小值，無極大值.（2）令，因為，所以，記，有，令，則；令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減，從而，因此當時，直線與的圖像沒有交點；當或時，直線與的圖像有1個交點；當時，直線與的圖像有2個交點.綜上：當時，函數沒有零點；當或時，函數有1個零點；當時，函數有2個零點.5．（2023春·福建寧德·高二統考期末）已知函數，．(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；(2)討論函數的零點個數．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）∵，∴，∴．∵，∴切點坐標為，∴函數在點處的切線方程為，即，∴切線與坐標軸交點坐標分別為，，∴所求三角形面積為．（2）解法一：設函數，當時，，在上單調遞增，而，，所以存在唯一，使得；即只有一個零點．當時，令，解得，（舍），當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，，設，在單調遞減，且，當，解得，所以沒有零點，即沒有零點；當，解得，所以只有一個零點，即只有一個零點；當，解得，，所以在只有一個零點，因為，，當時，，在單調遞增，所以，所以，所以在只有一個零點，所以有兩個零點．綜上：當或時，只有一個零點；當，有兩個零點；當，沒有零點．解法二：由，得，設，，設，在單調遞減，，當，解得；當，解得，在單調遞增，在單調遞減，所以，又因為當趨向于時，趨向于，趨向于，趨向于，根據圖象知：

當或時，只有一個零點；當，沒有零點；當，有兩個零點．解法三：令，，則．設函數與相切于點，則解得，．由，可解得，所以在上單調遞增，由可解得，所以在上單調遞減．如圖所示，當或時，與只有一個交點，所以有一個零點；當時，與只有兩個交點，所以有兩個零點；當時，與沒有交點，所以無零點．

6．（2023春·四川眉山·高二統考期末）已知函數，其中為自然對數的底數．(1)當時，證明：;(2)當時，求函數零點個數．【答案】(1)證明見解析；(2)2.【詳解】（1）當時，，，求導得，顯然，當時，，則，當時，，則，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，，所以.（2）當時，，，求導得，當時，，則，當時，，則，當時，函數都遞增，即函數在上單調遞增，而，因此存在，使得，當時，，當時，，從而當時，，當時，，即有函數在上單調遞減，在上單調遞增，，而，于是函數在，各存在一個零點，所以函數零點個數是2.7．（2023·湖南·校聯考二模）已知函數．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個不等實根．【答案】(1)0(2)證明見解析【詳解】（1）設，，則，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故的最小值為，因為在定義域內單調遞增，所以的最小值為；（2）由可得，整理可得，設，令，，則，由得．因此，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．由于，故，又由，由零點存在定理，存在，使得，∴有兩個零點1和，方程有兩個根和，

則如圖，時，因為，故方程有一個根，下面考慮解的個數，其中，設，結合的單調性可得：在上為減函數，在上為增函數，而，，，故在上有且只有一個零點，，設，故，故即，而，故在上有且只有一個零點，故有兩個不同的根且，綜上所述，方程共有三個不等實根②已知零點（根）的個數求參數1．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是．【答案】【詳解】解：當時，，所以，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，且，，，當時，，當時，，當時，與一次函數相比，函數增長更快，從而，當時，，所以，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，且，，當時，，當時，，當時，與對數函數相比，一次函數增長更快，從而當，且時，，根據以上信息，可作出函數的大致圖象：

令，得或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數與方程解的個數相等，而方程的解的個數與函數的圖象與函數的圖象的交點個數相等，由圖可知：當時，函數的圖象與函數的圖象有3個交點．故答案為：2．（2023春·安徽合肥·高二統考期末）若關于的方程有三個不等實數根，則實數的取值范圍是．【答案】【詳解】由已知可知關于的方程有三個不等實數根，即函數的圖象與直線有三個公共點，構造函數，求導，令，解得當時，，故在區間上單調遞增，當時，，故在區間和上單調遞減，且，，當或時，，且當時，，當時，，畫出的大致圖象如圖，要使的圖象與直線有三個交點，需，即，即的取值范圍是．故答案為：

3．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考期末）設，若關于x的方程有3個不同的實根，則的取值范圍是.【答案】【詳解】記，令，得或，由得或，此時為增函數，由得，此時為減函數，即當時，函數取得極大值，當時，取得極小值，即，因為關于的方程有三個不同的實根，所以函數有三個不同零點，因此，只需，即，解得，即關于的方程有三個不同的實根的范圍是．故答案為：.4．（2023春·吉林長春·高二長春市解放大路學校校考期末）已知函數，若方程有三個不同的實數根，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】當時，，此時，所以不是方程的根．當時，方程可化為：，設，方程有三個不同的實數根，即直線與函數的圖象有3個交點．當時，，此時單調遞增，且，當時，，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減，且，作出的圖象如圖，由圖可知，當，即時，直線與函數的圖象有3個交點，所以方程有三個不同的實數根時，實數的取值范圍為．故答案為：．5．（2023春·山西忻州·高二統考期中）已知函數.(1)若曲線在點處的切線方程為，求m，n；(2)若在上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，由，得．（2）因為，，所以，（1）若，則，在上為增函數，所以在上只有一個零點，不合題意；（2）當，設，，當時，，即在上單調遞增，，①若，因為，所以，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，所以在上有且只有一個零點，不合題意；②若，則，易知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以根據零點存在性定理，在上有且只有一個零點，又在上有且只有一個零點0，所以，當時，在上有兩個零點；③當時，，，，，且在上單調遞減，在上單調遞增，因為在上有且只有一個零點0，所以，若在上有兩個零點，則在上有且只有一個零點，又，所以，即，所以，即當時，在上恰有兩個零點，綜上所述，m的取值范圍為.6．（2023春·江西九江·高二統考期末）已知函數.(1)求的極大值與極小值之差；(2)若函數在區間上恰有2個零點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），令，解得或.當或時，單調遞增；當時，單調遞減.所以的極大值為，極小值為.所以的極大值與極小值之差為.（2）由（1）知：在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，因為函數在上恰有2個不同的零點，所以，即，解得，即實數的取值范圍為.7．（2023·廣東梅州·統考三模）已知函數，，為函數的導函數.(1)討論函數的單調性；(2)若方程在上有實根，求的取值范圍.【答案】(1)函數在上單調遞減，在上單調遞增(2)【詳解】（1），令，則當時，，函數在上單調遞增；當時，，得，，得.所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）知，，方程在上有實根等價于方程在上有實根.令，則當時，，函數在上單調遞增，，不合題意；當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞減，，不合題意；當時，，得，，得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以，所以綜上所述，的取值范圍為8．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）設，，且a、b為函數的極值點(1)判斷函數在區間上的單調性，并證明你的結論；(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍.【答案】(1)在區間，上單調遞增，證明見解析.(2)【詳解】（1）依題設方程，即方程的兩根分別為a、b∴∴因為，且，則，∴，∴當且時，，∴在區間，上單調遞增.（2）由，得，∴，∴，時或，當x在上變化時，，的變化情況如下：00++0極小值極大值∴的大致圖象如圖,∴方程有兩個不等根時，轉化為直線與函數的圖象有兩交點，則.

③已知零點（根）的個數求代數式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函數有三個零點，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數有三個零點，不妨設，則，所以，，當時，結合定義域和判別式易知恒成立，即函數在上單調遞增，不符合題意；當時，設的兩根分別為，易知，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，，當，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是故選：B2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知和是函數的兩個不相等的零點，則的范圍是．【答案】【詳解】和是函數兩個不相等的零點，不妨設，，兩式相減得，令，，，令，所以，令恒成立，在是單調遞增，恒成立，在是單調遞增，恒成立，，，故答案為：．3．（2023春·湖南懷化·高二統考期末）已知是方程的一個根，則.【答案】3【詳解】因為是方程的一個根，則，所以，即，令，則，所以在單調遞增，又，即，所以，所以.故答案為：34．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學校考開學考試）已知函數存在三個零點、、，且滿足，則的值為.【答案】【詳解】函數的定義域為，由可得，令，可得，即，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，當時，，當時，，且，作出函數的圖象如下圖所示：若使得方程由三個不等的實根、、，且滿