專題16極值點偏移問題1．已知函數，若，且，證明：.【解析】由題意，函數的定義域為，且，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，若，則必有，所以，而，令，則，所以函數在為減函數，所以，所以，即，所以，所以.2．已知函數有兩個零點，.（1）求證：；（2）求證：.【解析】（1）由題意，函數的定義域為，且，①當時，，所以函數在區間上是增函數，不可能有兩個零點；②當時，當時，；當時，，所以在區間上遞減，在區間上遞增.所以的最小值為，所以，即，解得.（2）由題意，要證，只要證，由（1）易知，即，而在區間上是增函數，所以只要證明，因為，即證，設函數，而，當時，，即在區間上是減函數，所以，而，所以，即，所以.3．已知函數有兩個零點.（1）求a的取值范圍；（2）設x1，x2是的兩個零點，證明：.【解析】（1）．設，則，只有一個零點．設，則當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．設，由得或．若，則，故當時，，因此在單調遞增．又當時，所以不存在兩個零點．若，則，故當時，；當時，．因此在單調遞減，在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．（2）不妨設，由（Ⅰ）知，，在單調遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．4．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的極值點，，證明:.【解析】（1）當時，，所以，則在上是單調遞減函數，且有，當時，，即為上的增函數，當時，，即為上的減函數，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個不同的正根，故而需滿足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數，且，所以當時，，即為上的增函數；當時，，即為上的減函數，所以，所以，證畢.5．已知函數.（，，e是自然對數的底數）（1）若，當時，，求實數a的取值范圍；（2）若，存在兩個極值點，，求證：.【解析】（1）當，則，當時，，在，上單調遞增，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，不成立，實數的取值范圍為．（2）證明：當時，，函數存在兩個極值點，，即，由題意知，，為方程的兩根，故，不妨設，則，，由（1）知，當，即（當且僅當時取等號），當時，恒有，，又，令，則，函數在上單調遞增，（1），從而，綜上可得：．6．已知函數.（1）若存在單調減區間，求a的取值范圍；（2）若為的兩個不同極值點，證明：.【解析】（1）函數定義域為，根據題意知有解，即有解，令，且當時，，單調遞增；時，單調遞減；（2）由是的不同極值點，知是兩根(設)即，①②聯立可得：③要證，即證，即由③可得令，問題轉化為證明成立(*)在上單調遞增，，(*)成立，得證.7．已知函數.（1）當時，證明：有唯一零點；（2）若函數有兩個極值點，（），求證：.【解析】（1）（）∵，，所以在，上遞增，在遞減，又，時，，所以有唯一零點；（2）（），.若有兩個極值點，（），則方程的判別式且，，因而，又，∴，即，設，其中，由得，由于，∴在上單調遞增，在上單調遞減，即的最大值為，從而成立.8．已知函數（）.（1）若是定義域上的增函數，求a的取值范圍；（2）若，若函數有兩個極值點，（），求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，，∵在定義域內單調遞增，∴，即對恒成立.則恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范圍是.（2）設方程，即得兩根為，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，則，得，，，∴而且上遞減，從而，即，∴.9．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個零點，，求證：．【解析】（1）的定義域為，．當時，，則在上是增函數．當時，；，所以在上是減函數，在上是增函數．綜上，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數．（2）若函數有兩個零，點，，根據（1），可得．不妨設，由，得兩式相減，得，解得，要證明，即證，即證，設，則．則，則，所以在上為增函數，從而，即成立，因此，成立．即證.10．已知函數.（1）討論的單調性（2）若恰有兩個不同的零點，，證明：.【解析】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以在上單調遞增，當時，令，得；令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）證明：因為，是的兩個零點.所以，，所以，則，要證，即證.不妨設，則等價于.令，則，設，所以，所以在上單調遞增，則，即對任意恒成立.故.11．已知函數.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的單調區間；（2）當時，若，且，證明：.【解析】（1），，則，，令，得或；令，得；所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）證明：，，令，則，所以在上為增函數；，，與同號，不妨設，設，則，，，，在上為增函數，，，，又在上為增函數，，即.12．已知函數．（1）求的圖象在處的切線方程；（2）若函數有兩個不同的零點、，證明：．【解析】（1），定義域為，，，.因此，函數的圖象在處的切線方程為，即；（2）令，得，由題意可得，兩式相加得，兩式相減得，設，可得，，要證，即證，即，令，即證.構造函數，其中，，所以，函數在區間上單調遞增.當時，，所以，.因此，.13．已知函數．（1）當時，判斷函數是否有極值，并說明理由；（2）若函數有兩個極值點，，且，證明：．【解析】（1）當時，，，令，則，由，得，由，得，所以在內單調遞增，在內單調遞減，所以時，取得最大值為，所以，所以在內單調遞減，所以函數沒有極值.（2）因為，所以有兩個不同的零點，所以，，所以，因為，所以，要證，等價于證明，等價于證明，等價于證明，等價于證明，因為，所以，所以等價于證明，設，即證，設，則，當時，，所以在內單調遞減，所以，即，所以.14．已知函數在定義域內有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）設兩個極值點分別為：，，證：.【解析】（1）由題意可知，的定義域為，且，令，則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區間內至少有兩個不同的零點；由可知，當時，恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.當時，由得，，即函數在區間上單調遞增；由得，，即函數在區間上單調遞減；故要滿足題意，必有，解得.（2）證明：由（1）可知，，故要證，只需證明，即證，不妨設，即證，構造函數，其中，由，所以函數在區間內單調遞減，所以得證，即證.15．已知函數.（1）求曲線在處的切線方程，并證明：；（2）當時，方程有兩個不同的實數根，證明：.【解析】（1），所以，，即切線方程：.下證：，令因為：，顯然在單調遞增，，所以易得在遞減，遞增，所以，所以.（2），則為方程的兩根，不妨設，顯然在時單調遞增，由，，所以存在，使，當，，遞減，，，遞增，由（1）得，，所以：，∴，要證：，需證：，即證：，因為：，所以，即證：，即：，令，，，顯然在單調遞增，且，因為在單調遞增，所以，即不等式成立.16．已知函數，其中a為正實數.（1）求函數的單調區間；（2）若函數有兩個極值點，，求證：.【解析】（1）因為函數，所以，函數的定義域為，令，①若，即時，則，此時的單調減區間為；②若，即時，令，得，當或時，，當時，，此時的單調減區間為，，單調增區間為.（2）由（1）知，當時，函數有兩個極值點，，且，.因為，，要證，只需證.構造函數，則，在上單調遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理，可知在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為因為，當時，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.17．已知有兩個零點(1)求a的取值范圍(2)設是的兩個零點,求證：【解析】（1），當時，，此時在單調遞增，至多有一個零點.當時，令，解得，當時，，單調遞減，當，，單調遞增，故當時函數取最小值當時，，即，所以至多有一個零點.當時，，即因為，所以在有一個零點；因為，所以，，由于，所以在有一個零點.綜上，的取值范圍是.（2）不妨設，由（1）知，，.構造函數，則因為，所以，在單調遞減.所以當時，恒有，即因為，所以于是又，且在單調遞增，所以，即18．設函數．（1）求函數的單調區間；（2）若函數有兩個零點，求滿足條件的最小正整數的值；（3）若方程有兩個不相等的實數根，，求證：．【解析】（1）．．當時，，函數在上單調遞增，即的單調遞增區間為．當時，由得；由，解得．所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）由（1）可得，若函數有兩個零點，則，且的最小值，即．，．令，可知在上為增函數，且（2）