2.2基本不等式第2課時基本不等式的綜合應用【學習目標】課程標準學科素養1.能夠運用基本不等式解決生活中的最值問題(難點)；2.能夠對式子進行變形，構造定值；3.會用基本不等式解決恒成立問題(重點)。1、邏輯推理2、數學運算3、數學建模【自主學習】一．基本不等式與最值已知x、y都是正數，1.若積xy等于定值P，那么當x=y時，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么當x=y時，積xy有最大值_____．二．運用基本不等式求最值的三個條件：1.“一正”：x，y必須是；2.“二定”：求積xy的最大值時，應看和x＋y是否為；求和x＋y的最小值時，應看積xy是否為.3.“三相等”：當且僅當x=y時，等號成立。三．通過變形構造定值的方法如果題目中基本不等式不能滿足“和為定值”或“積為定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通過變形，構造定值，常見方法有：配項法；配系數法；分式型基本不等式；常值代換法“1”的代換。【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64.()(2)若ab＝2，則a＋b的最小值為2eq\r(2).()(3)當x>1時，函數y＝x＋eq\f(1,x－1)≥2eq\r(\f(x,x－1))，所以函數y的最小值是2eq\r(\f(x,x－1)).()(4)若x∈R，則x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2.()【經典例題】題型一利用基本不等式求最值例1當x>0時，y＝eq\f(12,x)＋4x的最小值為()A．4B．8C．8eq\r(3) D．16【跟蹤訓練】1已知x<0，求最大值。思路點撥：利用基本不等式求最值要滿足“一正”、“二定”、“三相等”，現在x<0，通過變形再利用基本不等式求最值。題型二變形構造定值—配項法點撥：求和的最小值時，可以通過配項，使兩個因式的積為定值。一般情況下，兩個因式會為整式和分式，將整式部分配成分式分母的形式。變形的過程中要保證恒等變形。例2當x>1時，求函數y＝x＋eq\f(1,x－1)最小值。【跟蹤訓練】2若x<3，則實數f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值為________．題型三變形構造定值—配系數法點撥：求積的最大值時，通過因式中的系數變形，使兩個因式的和為定值。變形的過程中要保證恒等變形。例3已知0＜x＜eq\f(1,2)，求f(x)＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值。【跟蹤訓練】3若0＜x＜eq\f(1,2)，則函數y＝xeq\r(1－4x2)的最大值為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)題型四變形構造定值—分式型基本不等式點撥：分式型基本不等式有兩種形式當分子次數高于分母次數時，將分母當成整體，將分子改寫成含有分母整體的形式，便可構造出積為定值的形式，利用基本不等式求解。當分子次數低于分母次數時，分子分母同時除以分子，將分子化為常數，分母利用基本不等式求解。例4已知x>0，則函數的最小值為_______.【跟蹤訓練】4已知x＞0，求y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．題型五變形構造定值—常值代換法“1”的代換點撥：對于已知題型，通常采用這種方法。（其中a，b均為正數）例5。【跟蹤訓練】5已知x＞0，y＞0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，則x＋y的最小值為________.題型六利用基本不等式解決實際問題例6如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成．(1)現有可圍36m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網總長最小？【跟蹤訓練】6某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格1800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？【當堂達標】1.設x，y為正數，則(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值為()A．6B．9C．12 D．152.若－4<x<1，則y＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－13.已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，則m的最大值等于()A.10B.9C.8 D.74.已知x，y>0，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．5.已知正數x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為________.6.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．7.(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)設x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

【參考答案】【自主學習】2PS24【小試牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×【經典例題】例1C解析：∵x>0，∴eq\f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq\f(12,x)＋4x≥2eq\r(\f(12,x)·4x)＝8eq\r(3).當且僅當eq\f(12,x)＝4x，即x＝eq\r(3)時取最小值8eq\r(3)，∴當x>0時，y的最小值為8eq\r(3).【跟蹤訓練】1解：∵x<0，∴通過變形，∵∴當且僅當，即時，等號成立，取得最大值。例2解：通過配項得；當且僅當＝，即x＝2時，等號成立，取得最小值3.【跟蹤訓練】2－1解析：∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，當且僅當eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1時取“＝”號．∴f(x)的最大值為－1.例3解：因為0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－2x＞0，f(x)＝eq\f(1,2)x(1－2x)＝eq\f(1,4)·2x(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋（1－2x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，當且僅當2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)時等號成立，所以f(x)的最大值為eq\f(1,16).【跟蹤訓練】3C解析：∵0＜x＜eq\f(1,2)，∴1－4x2＞0，∴xeq\r(1－4x2)＝eq\f(1,2)×2xeq\r(1－4x2)≤eq\f(1,2)×eq\f(4x2＋1－4x2,2)＝eq\f(1,4)，當且僅當2x＝eq\r(1－4x2)，即x＝eq\f(\r(2),4)時等號成立.例4-2解析：∵x>0，∴當且僅當x=1時，等號成立。【跟蹤訓練】4解：y＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x)).∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，∴0＜y≤eq\f(2,2)＝1，當且僅當x＝eq\f(1,x)，即x＝1時，等號成立．故y的最大值為1.例5解：當且僅當【跟蹤訓練】516解析：法一(1的代換)：因為eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，所以x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y).因為x＞0，y＞0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6，當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即y＝3x①時，取“＝”.又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，②解①②可得x＝4，y＝12.所以當x＝4，y＝12時，x＋y的最小值是16.法二(消元法)：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得x＝eq\f(y,y－9).因為x＞0，y＞0，所以y＞9.所以x＋y＝eq\f(y,y－9)＋y＝y＋eq\f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq\f(9,y－9)＋1＝(y－9)＋eq\f(9,y－9)＋10.因為y＞9，所以y－9＞0，所以(y－9)＋eq\f(9,y－9)≥2eq\r(（y－9）·\f(9,y－9))＝6.當且僅當y－9＝eq\f(9,y－9)，即y＝12時，取“＝”，此時x＝4，所以當x＝4，y＝12時，x＋y的最小值是16.例6解：(1)設每間虎籠長xm，寬為ym，則由條件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.設每間虎籠面積為S，則S＝xy.由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，∴2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當且僅當2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.))故每間虎籠長為4.5m，寬為3m時，可使面積最大．(2)由條件知S＝xy＝24.設鋼筋網總長為l，則l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當且僅當2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網總長最小．【跟蹤訓練】6解設該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸.由題意可知，面粉的保管等其他費用為3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).設平均每天所支付的總費用為y1元，則y1＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989(元)，當且僅當9x＝eq\f(900,x)，即x＝10時，等號成立.所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.【當堂達標】1.B解析：(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq\f(1,x)＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)＋y·eq\f(4,y)＝1＋4＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.2.D解析：∵－4<x<1，∴x-1>0,∴當且僅當x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0時等號成立．3.B解析：因為a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立，而(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝4＋eq\f(2a,b)＋eq\f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，當且僅當a＝b時，等號成立，所以m≤9.4.3解析：∵x，y>0，∴eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(xy,12))，得xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)即x＝eq\f(3,2)，y＝2時，取“＝”號，∴xy的最大值為3.5.eq\f(9,4)解析：正數x，y滿足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)＝eq\f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋2)＋\f(1,y＋1)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(x＋2,y＋1)＋\f(4（y＋1）,x＋2)))≥eq\f(1,