3圓周運(yùn)動(dòng)一、選擇題(1～5題為單項(xiàng)選擇題，6～9題為多項(xiàng)選擇題)1．如圖1所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，拉力F發(fā)生變化，下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)情況的說法正確的是()圖1 A．若拉力突然消失，小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng) B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng) C．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng) D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc運(yùn)動(dòng) 答案A2．如圖2所示，是馬戲團(tuán)中上演的飛車節(jié)目，在豎直平面內(nèi)有半徑為R的圓軌道。表演者騎著摩托車在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。已知人和摩托車的總質(zhì)量為m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度通過軌道最高點(diǎn)B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度通過最低點(diǎn)A。則在A、B兩點(diǎn)軌道對(duì)摩托車的壓力大小相差()圖2 A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg 解析由題意可知，在B點(diǎn)，有FB＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，解之得FB＝mg，在A點(diǎn)，有FA－mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)，解之得FA＝7mg，所以A、B兩點(diǎn)軌道對(duì)車的壓力大小相差6mg。故選項(xiàng)D正確。 答案D3．如圖3所示，小物體P放在水平圓盤上隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，下列關(guān)于小物體所受摩擦力Ff的敘述正確的是()圖3 A．Ff的方向總是指向圓心 B．圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)Ff＝0 C．在物體與軸O的距離一定的條件下，F(xiàn)f跟圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比 D．在轉(zhuǎn)速一定的條件下，F(xiàn)f跟物體到軸O的距離成正比 解析物體隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，如果圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則摩擦力指向圓心，如果變速轉(zhuǎn)動(dòng)，則摩擦力的一個(gè)分力充當(dāng)向心力，另一個(gè)分力產(chǎn)生切向加速度，摩擦力不指向圓心，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)公式Fn＝Ff＝mω2r可得在物體與軸O的距離一定的條件下，F(xiàn)f跟圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的平方成正比，C錯(cuò)誤；因?yàn)棣兀?πn，所以Ff＝m(2πn)2r，則Ff跟物體到軸O的距離成正比，D正確。 答案D4．質(zhì)量為m的物體隨水平傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)，A為傳送帶的終端皮帶輪。如圖4所示，皮帶輪半徑為r，要使物體通過終端時(shí)能水平拋出，皮帶輪的轉(zhuǎn)速至少為()圖4 A.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,r))B.eq\r(\f(g,r)) C.eq\r(gr)D.eq\f(\r(gr),2π) 解析要使物體通過終端時(shí)能水平拋出，則有mg＝eq\f(mv2,r)，物體飛出時(shí)速度至少為eq\r(gr)，由v＝ωr＝2πnr可得皮帶輪的轉(zhuǎn)速至少為n＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,r))，選項(xiàng)A正確。 答案A5．如圖5所示，轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于光滑平面，交點(diǎn)O的上方h處固定細(xì)繩的一端，細(xì)繩的另一端拴接一質(zhì)量為m的小球B，繩長AB＝l＞h，小球可隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)并在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。要使球不離開水平面，轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速的最大值是()圖5 A.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h)) B．πeq\r(gh) C.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,l)) D．2πeq\r(\f(l,g)) 解析對(duì)小球，在水平方向有FTsinθ＝mω2R＝4π2mn2R，在豎直方向有FTcosθ＋FN＝mg，且R＝htanθ＝lsinθ，當(dāng)球即將離開水平面時(shí)，F(xiàn)N＝0，轉(zhuǎn)速n有最大值，聯(lián)立解得n＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h))，則A正確。 答案A6．鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)。還與火車在彎道上的行駛速度v有關(guān)。下列說法正確的是() A．速率v一定時(shí)，r越小，要求h越大 B．速率v一定時(shí)，r越大，要求h越大 C．半徑r一定時(shí)，v越小，要求h越大 D．半徑r一定時(shí)，v越大，要求h越大 解析火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，圓周平面在水平面內(nèi)，火車以設(shè)計(jì)速率行駛時(shí)，向心力剛好由重力G與軌道支持力FN的合力來提供，如圖所示，則有mgtanθ＝eq\f(mv2,r)，且tanθ≈sinθ＝eq\f(h,L)，其中L為軌間距，是定值，有mgeq\f(h,L)＝eq\f(mv2,r)，通過分析可知A、D正確。 答案AD7．如圖6所示，質(zhì)量為m的物體，沿著半徑為R的半球形金屬殼內(nèi)壁滑下，半球形金屬殼豎直固定放置，開口向上，滑到最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v，若物體與球殼之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則物體在最低點(diǎn)時(shí)，下列說法正確的是()圖6 A．受到的向心力為mg＋meq\f(v2,R) B．受到的摩擦力為μmeq\f(v2,R) C．受到的摩擦力為μ(mg＋meq\f(v2,R)) D．受到的合力方向斜向左上方 解析物體在最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則有FN－mg＝meq\f(v2,R)，解得FN＝mg＋meq\f(v2,R)，故物體受到的滑動(dòng)摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋meq\f(v2,R))，A、B錯(cuò)誤，C正確；物體受到豎直向下的重力、水平向左的摩擦力和豎直向上的支持力(支持力大于重力)，故物體所受的合力斜向左上方，D正確。 答案CD8．(2018·宜昌聯(lián)考)如圖7所示，半徑為R的光滑細(xì)圓環(huán)軌道被固定在豎直平面上，軌道正上方和正下方分別有質(zhì)量為2m和m的靜止小球A、B，它們由長為2R的輕桿固定連接，圓環(huán)軌道內(nèi)壁開有環(huán)形小槽，可使細(xì)桿無摩擦、無障礙地繞其中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。今對(duì)上方小球A圖7 A．輕桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)兩球的加速度大小相等 B．輕桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)兩球的加速度大小不相等 C．運(yùn)動(dòng)過程中A球速度的最大值為eq\r(\f(4gR,3)) D．當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球?qū)壍雷饔昧Φ暮狭Υ笮閑q\f(13,3)mg 解析兩球做圓周運(yùn)動(dòng)，在任意位置角速度相等，則線速度和向心加速度大小相等，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；A、B球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)系統(tǒng)重力勢(shì)能最小(即A為最低點(diǎn))時(shí)，線速度最大，則mg·2R＝eq\f(1,2)·3mv2，最大速度v＝eq\r(\f(4gR,3))，選項(xiàng)C正確；A在最低點(diǎn)時(shí)，分別對(duì)A、B受力分析，F(xiàn)NA－2mg＝2meq\f(v2,R)，F(xiàn)NB＋mg＝meq\f(v2,R)，則FNA－FNB＝eq\f(13mg,3)，選項(xiàng)D正確。 答案ACD9．如圖8所示，一個(gè)固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，從B點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過0.3s后又恰好垂直與傾角為45°的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑R＝1m，小球可看做質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為m＝1kg，g取10m/s2。則()圖8 A．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0.9m B．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是1.9m C．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是1N D．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是2N 解析根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，小球在C點(diǎn)的豎直分速度vy＝gt＝3m/s，水平分速度vx＝vytan45°＝3m/s，則B點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離為x＝vxt＝0.9m，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；在B點(diǎn)設(shè)管道對(duì)小球的作用力方向向下，根據(jù)牛頓第二定律，有FNB＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),R)，vB＝vx＝3m/s，解得FNB＝－1N，負(fù)號(hào)表示管道對(duì)小球的作用力方向向上，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。 答案AC二、非選擇題10．如圖9所示，內(nèi)壁光滑的彎曲鋼管固定在天花板上，一根結(jié)實(shí)的細(xì)繩穿過鋼管，兩端分別拴著一個(gè)小球A和B。小球A和B的質(zhì)量之比eq\f(mA,mB)＝eq\f(1,2)。當(dāng)小球A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球A到管口的繩長為l，此時(shí)小球B恰好處于平衡狀態(tài)。管子的內(nèi)徑粗細(xì)不計(jì)，重力加速度為g。試求：圖9 (1)拴著小球A的細(xì)繩與豎直方向的夾角θ； (2)小球A轉(zhuǎn)動(dòng)的周期。 解析(1)設(shè)細(xì)繩的拉力為F，小球B處于平衡狀態(tài)有 F＝mBg 在豎直方向上，小球A處于平衡狀態(tài)，有Fcosθ＝mAg 解得cosθ＝eq\f(mA,mB)＝eq\f(1,2) 所以拴著小球A的細(xì)繩與豎直方向的夾角θ＝60° (2)對(duì)于小球A，細(xì)繩拉力的水平分量提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有 Fsinθ＝mAeq\f(v2,r) r＝lsinθ 解得小球A的線速度為v＝eq\r(\f(3,2)gl) 又T＝eq\f(2πr,v) 則小球A轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T＝πeq\r(\f(2l,g))。 答案(1)60°(2)πeq\r(\f(2l,g))11．(2018·湖南懷化三模)某高速公路的一個(gè)出口路段如圖10所示，情景簡化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)(通過B點(diǎn)前后速率不變)，再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下。已知轎車在A點(diǎn)的速度v0＝72km/h，AB長L1＝150m；BC為四分之一水平圓弧段，限速(允許通過的最大速度)v＝36km/h，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，CD段為平直路段，長為L2＝50m，重力加速度g取10m/s2。圖10 (1)若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v＝36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大小； (2)為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值； (3)轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間。 解析(1)v0＝72km/h＝20m/s，AB長L1＝150m，v＝36km/h＝10m/s，對(duì)AB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)有v2－veq\o\al(2,0)＝－2aL1，代入數(shù)據(jù)解得a＝1m/s2。 (2)汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，有Ff＝meq\f(v2,R)，為了確保安全，則須滿足Ff≤μmg，解得R≥20m，即Rmin＝20m。 (3)設(shè)AB段時(shí)間為t1，BC段時(shí)間為t2，CD段時(shí)間為t3，全程所用最短時(shí)間為t。 L1＝t1·eq\f(v0＋v,2)，而eq\f(1,2)πR＝vt2， L2＝eq\f(v,2)t3，t＝t1＋t2＋t3，解得t＝23.14s。 答案(1)1m/s2(2)20m(3)23.14s12．如圖11所示，固定的水平桌面上有一水平輕彈簧，右端固定在a點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其左端位于b點(diǎn)。桌面左側(cè)有一豎直放置且半徑R＝0.5m的光滑半圓軌道MN，MN為豎直直徑。用質(zhì)量m＝0.2kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))將彈簧緩慢壓縮到c點(diǎn)，釋放后從彈簧恢復(fù)原長過b點(diǎn)開始小物塊在水平桌面上的位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝7t－2t2(m)。小物塊在N點(diǎn)進(jìn)入光滑半圓軌道，恰好能從M點(diǎn)飛出，飛出后落至水平桌面上的d點(diǎn)。取重力加速度g＝10m/s2，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力，求：圖11 (1)d、N兩點(diǎn)間的距離； (2)b、N兩點(diǎn)間的距離； (3)物塊在N點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力。 解析(1)由物塊恰好從M點(diǎn)飛出知，在M點(diǎn)物塊的重力恰好完全提供向心力，設(shè)其速度為vM，則mg＝meq\f(veq\o\al(2,M),R) vM＝eq\r(5)m/s 物塊由M點(diǎn)水平飛出后，以初速度vM做平拋運(yùn)動(dòng)。 水平方向：xdN＝vMt 豎直方向：y＝2R＝eq\f(1,2)gt2 代入數(shù)據(jù)解得xdN＝1m (2)從N到M，由機(jī)械能守恒定律得 eq\f(1,2)mveq\o\al(2,M)＋2mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,N