專題05圓錐曲線的方程（重點）一、單選題1．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線方程可推斷雙曲線的焦點位置并同時求出，，由此可求其漸近線方程.【解析】由雙曲線得，所以漸近線方程為，故選：B2．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設點的坐標，由焦半徑公式列出方程，求出點的橫坐標，從而求出縱坐標，得到答案.【解析】由題意得，所以準線為，又因為，設點的坐標為，則有，解得：將代入解析式得：，所以M點到x軸的距離為．故選：D．3．若方程表示橢圓，則下面結論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則【答案】C【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可推斷作答.【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.故選：C4．已知雙曲線的右支上恰好有兩點到O（坐標原點）?F（右焦點）的距離相等，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C．（1，2） D．【答案】D【分析】由題意只需線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個交點即可，可得，從而得出離心率的取值范圍.【解析】雙曲線的右焦點，若雙曲線的右支上恰好有兩點到O（坐標原點）?F（右焦點）的距離相等，則線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個交點，所以，所以，所以雙曲線的離心率e的取值范圍是.故選：D5．已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】依據橢圓的性質可得橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即可求出，再依據，即可得解；【解析】解：依據橢圓的性質，橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即，又，所以，由，所以；故選：A6．已知實數x，y滿意，其中常數，則動點的軌跡是（

）A．射線 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】利用兩點的距離公式、肯定值的幾何意義以及拋物線的定義進行推斷.【解析】因為表示動點到定點的距離與到定直線l：的距離相等，且點F不在直線l上，所以由拋物線的定義知動點的軌跡為拋物線．故A，B，D錯誤.故選：C.7．已知是雙曲線的左右焦點，直線過與拋物線的焦點且與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】依據直線的斜率列方程，求得，從而求得.【解析】已知雙曲線的左焦點，雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點.因為直線過與拋物線的焦點且與雙曲線的一條漸近線平行，所以，又，解得：，所以.故選：C8．已知拋物線的焦點F、M是拋物線上位于第一象限內的一點，O為坐標原點，若的外接圓D與拋物線的準線相切，則圓D與直線相交得到的弦長為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出圓的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，即可求出圓與直線相交得到的弦長，得到答案.【解析】因為的外接圓與拋物線的準線相切，所以的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，又因為圓心在的垂直平分線上，，所以圓的半徑為，圓心的橫坐標為，所以圓心的縱坐標為，所以圓心到直線的距離，所以圓與直線相交得到的弦長為.故選：D.9．已知是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則（

）A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為4【答案】A【分析】依據橢圓定義，再利用均值定理即可求得有最大值，為16．【解析】由題意知，，則．由基本不等式，知，（當且僅當時等號成立），所以有最大值，為16．故選：A．10．雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支在第一象限的交點為，與軸的交點為，且為的中點，若的周長為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的周長為，結合雙曲線的定義和對稱性得到，，再由為的中點，得到為等邊三角形求解.【解析】如圖所示：由對稱性可知，因為的周長為，所以，又，所以，．因為為的中點，所以，則為等邊三角形，所以，，．又因為，所以在中，．所以，，即雙曲線的漸近線方程為．故選：B11．已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點P是拋物線上的動點，則當的值最小時，的內切圓半徑為A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】依據拋物線的性質可知從而當最小，即AP與拋物線相切時，的值最?。蟪鰭佄锞€過A點的切線方程得出P點坐標，代入面積公式得出面積即可．【解析】解：拋物線的準線方程為．設P到準線的距離為，則．．當PA與拋物線相切時，最小，即取得最小值．設過A點的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，，解得．即，解得，把代入得．或．．所以，設的內切圓半徑為r所以，所以．故選：A．12．已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出協助線，得到，求出的取值范圍，從而求出的取值范圍.【解析】如圖，直線與直線相交于點N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點M為中點，因為O為的中點，所以OM是三角形的中位線，所以，其中，因為P與的四個頂點不重合，設，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選：D.二、多選題13．已知方程表示的曲線為C，則下列四個結論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則【答案】BC【分析】依據表示橢圓可求得或，推斷A;表示雙曲線可求得或，推斷B;依據表示橢圓時焦點的位置可列出相應的不等式組，求得參數范圍，推斷C,D.【解析】當曲線C是橢圓時，解得或，故A錯誤；當曲線C是雙曲線時，，解得或，故B正確；若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則解得，故C正確；若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則，解得，故D錯誤．故選:BC．14．已知為坐標原點，為軸上的動點，過拋物線焦點的直線與交于兩點，其中在第一象限，，若，則（

）A．B．C．當時，的縱坐標肯定大于D．不存在使得【答案】ABD【分析】依題意求出拋物線的焦點坐標，依據焦半徑公式求出點橫坐標，即可得到點坐標，從而求出，即可推斷A，由點坐標得到直線的方程，即可求出點坐標，再一一推斷即可.【解析】解：對于，易得，由可得，由焦半徑公式得點橫坐標為，代入拋物線可得，則，故A正確；對于，由可得直線的斜率為，則直線的方程為，聯立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線解得，則，故在的中垂線上，，故B正確；對于，由拋物線的性質知，以為直徑的圓與準線相切的切點縱坐標為，故當時，為該圓與軸的交點，縱坐標大于或小于均可，故C錯誤；對于D，設的中點為，，則，當軸時，，則，不存在使得，故D正確；故選：ABD.15．已知直線，點，圓心為的動圓經過點，且與直線相切，則（

）A．點的軌跡為拋物線B．圓面積最小值為C．當圓被軸截得的弦長為時，圓的半徑為D．存在點，使得，其中為坐標原點【答案】ACD【分析】由拋物線定義可知A正確；由拋物線性質可知當為坐標原點時，圓面積最小，可知B錯誤；設，利用垂徑定理可構造方程求得，由此可得圓的半徑，知C正確；設存在點，由可求得點坐標，知D正確.【解析】對于A，由題意知：點到點與到定直線的距離相等，且點不在直線上，符合拋物線定義，點的軌跡為拋物線，A正確；對于B，由A知，點的軌跡為拋物線，則當為坐標原點時，點到直線距離最小，即此時圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯誤；對于C，由A得：點的軌跡方程為，設，則圓的半徑，點到軸的距離，，解得：，圓的半徑，C正確；對于D，假設存在點，使得，設，則，整理可得：，解得：，，或，D正確.故選：ACD.16．已知橢圓的左?右焦點分別為，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是C．存在點使得D．的最小值為1【答案】BCD【分析】依據點在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而推斷A，依據離心率求出，則，即可推斷B，設上頂點，得到，即可推斷C，利用基本不等式推斷D.【解析】解：由題意得，又點在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設橢圓的上頂點為，，，由于，所以存在點使得，故C正確；，當且僅當時，等號成立，又，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題17．已知拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限內一點，直線與軸交于點，且，則直線的斜率為___________.【答案】【分析】由題意可設、、的坐標，運用可解出，利用拋物線解析式可得，由斜率公式解出即可.【解析】由題意可設，，，，，為拋物線上第一象限內一點直線的斜率為；直線的斜率為：故答案為：.18．若圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率為___________.【答案】##【分析】求得雙曲線的漸近線方程為，由于漸近與圓相切，所以圓心到漸近線的距離為1，列方程可求出，從而可求出雙曲線的離心率.【解析】雙曲線的漸近線方程為圓的圓心為，半徑為1，由直線和圓相切，可得，解得，則離心率.，故答案為：19．已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是_____．【答案】【分析】作出圖形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【解析】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當且僅當為射線與圓的交點，且時，等號成立，故的最小值是.故答案為：.20．已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【分析】設，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關系，代入、換元，求出e的范圍.【解析】設，由，知，因為，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.四、解答題21．已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設直線與橢圓交于A，兩點，為坐標原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由，點代入橢圓，建立方程組求解即可；（2）當的斜率存在時，先由垂徑定理求出圓心到直線l的距離，設：，，，由點線距離公式可得，可得，將方程代入橢圓方程中結合韋達定理、弦長公式可得，則，結合均值不等式探討最大值即可；當的斜率不存在時，則：，可知直線與橢圓只有一個交點，不符合題意.（1），，由橢圓過點得，解得，，∴橢圓的方程為.（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿意，解得，當的斜率存在時，設：，，，圓心為原點則有，∴.將方程代入橢圓方程中整理得：，∴，，，∴，當且僅當，即時取等號.當的斜率不存在時，則：，過橢圓的左、右頂點，此時直線與橢圓只有一個交點，不符合題意.∴面積的最大值為2.【點睛】直線與圓錐曲線相交弦相關的面積問題，一般可聯立直線與圓錐曲線，結合韋達定理、弦長公式將弦長表示出來，再由點線距離作為高，即可表示三角形面積.另外直線與圓錐曲線相交弦的問題，留意探討直線斜率存在與否.22．已知拋物線，O是坐標原點，F是C的焦點，M是C上一點，，．(1)求拋物線C的標準方程；(2)設點在C上，過Q作兩條相互垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點的坐標及準線方程，由及拋物線的性質可得的橫坐標，再由．可得的縱坐標，將的坐標代入拋物線的方程可得的值，進而求出拋物線的方程；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，求出數量積的表達式，由數量積為0可得參數的關系，代入直線的方程可得直線恒過定點．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點，與Q點重合，不符合；若，則，過定點．綜上，直線過異于Q點的定點．23．已知一個半徑為的圓的圓心在拋物線上，該圓經過坐標原點且與C的準線l相切.過拋物線C的焦點F的直線AB交C于A，B兩點，過弦AB的中點M作平行于x軸的直線，與直線OA，OB，l分別相交于P，Q，N三點.(1)求拋物線C的方程；(2)當時，求直線AB的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設圓的圓心坐標為，由題意可得，，從而可求出，進而可得拋物線方程，（2）設直線AB的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數的關系，表示出AB的中點M的坐標，的長度，直線OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，從而可求出直線AB的方程.（1）設圓的圓心坐標為，可得.易知拋物線的焦點為，準線方程為，由題意得，解得（負值舍去），則拋物線C的方程為.（2）由（1）知，設直線AB的方程為，與拋物線的方程聯立，可得，，，則，，，則AB的中點M的坐標為，易知，故，直線OA的方程為，即，直線OB的方程為，即，令，可得，，則，即，解得，所以直線AB的方程為，即或.24．已知雙曲線的離心率為，點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標以及該常數的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，常數為．【分析】（1）由離心率得出，再代入已知點坐標求得得雙曲線方程；（2）設，直線的方程為，代入雙曲線方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范圍，由韋達定理得，設存在符合條件的定點，計算出并代入化為關于的分式，由它是常數可求得，得定點坐標．（1）因為雙曲線的離心率為，所以，化簡得.將點的坐標代入，可得，解得，所以的方程為.（2）設，直線的方程為，聯立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設存在符合條件的定點，則，所以.所以，化簡得.因為為常數，所以，解得.此時該常數的值為，所以，在軸上存在點，使得為常數，該常數為.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的標準方程，考查雙曲線中的定點問題，定點問題的解題方法是：設直線方程（或點斜式方程），設交點坐標為，直線方程代入雙曲線方程消元化為一元二次方程（可由相交得參數范圍或不等關系），應用韋達定理得，對定點問題可假設定點存在，設出定點坐標，計算定點滿意的關系，并代入韋達定理的結論化簡后，利用常數、定值得參數值，從而說明定點存在，否則不存在．25．已知雙曲線的離心率是，點是雙曲線的一個焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標準方程.(2)設點在直線上，過點作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題知，進而解方程即可得答案；（2）由題設，直線，進而與雙曲線聯立方程結合韋達定理得，直線的斜率為，同理可得，進而依據可得，進而可證明結論.（1）解：依據雙曲線的對稱性，不妨設，其漸近線方程為，因為焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以，因為雙曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標準方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設，直線.聯立整理得，所以，.故.設直線的斜率為，同理可得.因為直線與直線的傾斜角互補，所以，所以，則，即，所以.26．如圖，橢圓：的離心率是，短軸長為，橢圓的左、右頂點分別為、，過橢圓與拋物線的公共焦點的直線與橢圓相交于兩點，與拋物線相交于兩點，點為的中點．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．【答案】(1)橢圓，拋物線(2)【分析】（1）由題知，進而解方程即可求得答案；（2）設，進而分別與橢圓和拋物線聯立計算弦長，，進而計算面