第九章統計與成對數據的統計分析（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一組數據：的平均數為6，則該組數據的分位數為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．62．法國當地時間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調查男生和女生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數據：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（

）A．男生樣本數據的分位數是86B．男生樣本數據的中位數小于男生樣本數據的眾數C．女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數不變D．女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的方差不變3．已知一組數據丟失了其中一個，另外六個數據分別是8，8，8，10，11，16，若這組數據的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為（

）A．12 B．20 C．25 D．274．“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態環境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級舉行環保知識競賽，共500人參加，若參賽學生成績的第60百分位數是80分，則關于競賽成績不小于80分的人數的說法正確的是（

）A．至少為300人 B．至少為200人C．至多為300人 D．至多為200人5．為了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，對所得的體重數據（單位：）進行分組，區間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．畫出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數為6，則報考飛行員的學生人數是（

）A．48 B．5 C．54 D．606．已知數據，…，（，）的平均數、中位數、方差均為4，則這組數據的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知實數，則使和最小的實數分別為的（

）A．平均數；平均數 B．平均數；中位數C．中位數；平均數 D．標準差；平均數8．某校積極開展“戲曲進校園”活動，為了解該校各班參加戲曲興趣小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為7，樣本標準差為2，且樣本數據互不相等，則該樣本數據的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某公司計劃組織秋游活動，定制了一套文化衫，女職工需要不同尺碼文化衫的頻數如圖．根據圖中數據，下列結論正確的是（

）A．文化衫尺碼的眾數為187 B．文化衫尺碼的平均數為165C．文化衫尺碼的方差為28 D．文化衫尺碼的中位數為16510．已知一組數據的平均數為，另一組數據的平均數為．若數據的平均數為，則

（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，11．北京時間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運會閉幕式正式舉行，中國體育代表團以出色的表現再次證明了自己的實力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發展和運動員們頑強拼搏的精神.某校社團為發揚奧運體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學參加，賽后經數據統計得到該5名同學在此次比賽中所得成績的平均數為8，方差為4，比賽成績，且，則該5名同學中比賽成績的最高分可能為（

）A．13 B．12 C．11 D．10第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．現利用隨機數表發從編號為的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數表第1行的第9個數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6支水筆的編號為．13．某公司對來應聘的人進行筆試，統計出200名應聘者的筆試成績，整理得到下表：組號123456成績分組累積頻率0.050.15a注：第n組的累積頻率指的是前n組的頻率之和．若公司計劃150人進入面試，則估計參加面試的最低分數線為．14．已知一組統計數據的平均數為，方差為，則函數的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）為了了解某中學學生的身高情況，隨機對該校男生、女生的身高進行抽樣調查，已知抽取的樣本中，男生、女生的人數相同，根據所得數據繪制成如圖所示的統計圖表．組別身高（cm）ABCDE

根據圖表中信息，回答下列問題：(1)在樣本中，男生身高的中位數落在________組（填組別序號），女生身高在B組的有________人；(2)在樣本中，身高在之間的共有________人，身高人數最多的在________組（填組別序號）；(3)已知該校共有男生500人，女生480人，請估計身高在之間的學生約有多少人？16．（15分）某公司為了了解顧客對其旗下產品的滿意程度，隨機抽取n名顧客進行滿意度問卷調查，按所得評分（滿分100分）從低到高將滿意度分為四個等級：調查評分40,5050,6060,7080,9090,100滿意度等級不滿意一般良好滿意并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知調查評分在的顧客為80人．(1)求n的值及頻率分布直方圖中t的值；(2)若某段時間有10000名顧客購買該公司的產品，請估計這10000名顧客中對該公司產品滿意度達到“滿意”的人數；(3)該公司設定的預案是：以抽取的樣本作為參考，若顧客滿意度評分的均值低于80分，則需要對該公司旗下產品進行調整，否則不需要調整、根據你所學的統計知識，判斷該公司是否需要對旗下產品進行調整，并說明理由．（每組數據以區間的中點值代替）17．（15分）為進一步推動防范電信網絡詐騙工作，預防和減少電信網絡詐騙案件的發生，某市開展防騙知識大宣傳活動.舉辦了“網絡防騙”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，根據頻率分布直方圖計算樣本成績的平均數和下四分位數；(2)已知若總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數為，樣本方差為.證明：；(3)已知落在50,60的平均成績是59，方差是7，落在60,70的平均成績為65，方差是4，求兩組樣本成績的總平均數和總方差.2正例0.580.533反例0.150.134反例0.620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個樣例的預測數據

(1)當概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應點；(2)在圖2中繪制乙分類器對應的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；(3)按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.19．（17分）將2024表示成5個正整數，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數組為方程①的解，對于上述的五元有序數組，當時，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數?若存在，請求出該常數；若不存在，請說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問是否存在最小值?若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.第九章統計與成對數據的統計分析（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一組數據：的平均數為6，則該組數據的分位數為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【解析】依題意，，解得，將數據從小到大排列可得：，又，則分位數為.故選：C.2．法國當地時間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調查男生和女生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數據：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（

）A．男生樣本數據的分位數是86B．男生樣本數據的中位數小于男生樣本數據的眾數C．女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數不變D．女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的方差不變【答案】D【解析】對于A：，所以男生樣本數據的分位數是，故A正確；對于B：男生樣本數據的中位數為，男生樣本數據的眾數為，故B正確；對于C：女生樣本數據的平均數為，女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數為，故C正確；對于D：女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.故選：D3．已知一組數據丟失了其中一個，另外六個數據分別是8，8，8，10，11，16，若這組數據的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為（

）A．12 B．20 C．25 D．27【答案】D【解析】這個數據的眾數是，設丟失的數據是，則平均數為，若，則中位數是，則，解得.若，則中位數是，平均數，此時不成等差數列，不符合題意.若，則中位數是，則，解得.若，則中位數是，則，不成等差數列，不符合題意.若，則中位數是，則，解得.所以丟失數據的所有可能值的和為.故選：D4．“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態環境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級舉行環保知識競賽，共500人參加，若參賽學生成績的第60百分位數是80分，則關于競賽成績不小于80分的人數的說法正確的是（

）A．至少為300人 B．至少為200人C．至多為300人 D．至多為200人【答案】D【解析】由題意，，因此競賽成績不小于80分的人數至多有人，故選：D．5．為了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，對所得的體重數據（單位：）進行分組，區間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．畫出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數為6，則報考飛行員的學生人數是（

）A．48 B．5 C．54 D．60【答案】A【解析】由題前三組頻率之和為，又第一組、第二組和第三組的頻率之比為，所以第一組的頻率為，又第一組的頻數為，所以報考飛行員的學生人數為人.故選：A.6．已知數據，…，（，）的平均數、中位數、方差均為4，則這組數據的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】根據題意，不妨設，且，可得，由平均數為4，得，即；由方差為4，得，即；聯立，由可解得；根據極差定義可得這組數據的極差為.故選：D7．已知實數，則使和最小的實數分別為的（

）A．平均數；平均數 B．平均數；中位數C．中位數；平均數 D．標準差；平均數【答案】C【解析】，表示2025個絕對值之和，根據絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，因為2025為奇數，所以取的中位數時，有最小值；為關于的一元二次函數，故當時，有最小值，即為的平均數時，有最小值.故選：C8．某校積極開展“戲曲進校園”活動，為了解該校各班參加戲曲興趣小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為7，樣本標準差為2，且樣本數據互不相等，則該樣本數據的極差為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】不妨設該五個班級的樣本數據分別為，且，則依題意有，化簡得易知，又易知五個數據減7的平方數為整數，五個數的絕對值不超過4，當時，，由數據為整數且均不相同得不成立，當時，，由數據為整數且均不相同得該四個平方數只能為，則，符合題意，此時極差為6；當時，，由數據為整數且均不相同得不成立；綜上，五組數據的極差為6.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某公司計劃組織秋游活動，定制了一套文化衫，女職工需要不同尺碼文化衫的頻數如圖．根據圖中數據，下列結論正確的是（

）A．文化衫尺碼的眾數為187 B．文化衫尺碼的平均數為165C．文化衫尺碼的方差為28 D．文化衫尺碼的中位數為165【答案】BD【解析】由題圖知，眾數為165，故A錯誤；總數為，平均數為，故B正確；方差為，故C錯誤；中位數為165，故D正確．故選：BD10．已知一組數據的平均數為，另一組數據的平均數為．若數據的平均數為，則

（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【解析】當時，，A正確；當時，取則m與n不一定相等，B錯誤；當時，，C正確；當時,，有，故即，所以，D正確．故選：ACD.11．北京時間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運會閉幕式正式舉行，中國體育代表團以出色的表現再次證明了自己的實力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發展和運動員們頑強拼搏的精神.某校社團為發揚奧運體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學參加，賽后經數據統計得到該5名同學在此次比賽中所得成績的平均數為8，方差為4，比賽成績，且，則該5名同學中比賽成績的最高分可能為（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】BC【解析】設該5名同學在此次比賽中所得成績分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設最大，對于A選項，若，則不成立，故A錯誤；對于B選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學的成績可為7，7，7，7，12，故B正確；對于C選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學的成績可為5，7，8，9，11，故C正確；對于D選項，若，則且，則，，則可得，該方程組無正整數解，故D錯誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．現利用隨機數表發從編號為的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數表第1行的第9個數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6支水筆的編號為．【答案】18【解析】依次選出的編號為：則選出來的第6支水筆的編號為18，故答案為：.13．某公司對來應聘的人進行筆試，統計出200名應聘者的筆試成績，整理得到下表：組號123456成績分組累積頻率0.050.15a注：第n組的累積頻率指的是前n組的頻率之和．若公司計劃150人進入面試，則估計參加面試的最低分數線為．【答案】65【解析】由各組累積頻率為1得，，則．又由知，面試的最低分數線為筆試成績從低到高排列的第25百分位數，由題表知，筆試成績分別在與的累積頻率分別為，故，解得，從而可估計參加面試的最低分數線為65．故答案為：6514．已知一組統計數據的平均數為，方差為，則函數的最小值為．【答案】【解析】由，得，則，故，當且僅當時等號成立．所以函數的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）為了了解某中學學生的身高情況，隨機對該校男生、女生的身高進行抽樣調查，已知抽取的樣本中，男生、女生的人數相同，根據所得數據繪制成如圖所示的統計圖表．組別身高（cm）ABCDE

根據圖表中信息，回答下列問題：(1)在樣本中，男生身高的中位數落在________組（填組別序號），女生身高在B組的有________人；(2)在樣本中，身高在之間的共有________人，身高人數最多的在________組（填組別序號）；(3)已知該校共有男生500人，女生480人，請估計身高在之間的學生約有多少人？【解析】（1）∵在樣本中，共有男生（人），∴中位數是第20和第21人的平均數，∴男生身高的中位數落在D組，女生身高在B組的有（人）．（4分）（2）在樣本中，身高在之間的共有（人），身高人數最多的在C組．（3）由于（人），（9分）故估計身高在之間的學生約有541人．（13分）16．（15分）某公司為了了解顧客對其旗下產品的滿意程度，隨機抽取n名顧客進行滿意度問卷調查，按所得評分（滿分100分）從低到高將滿意度分為四個等級：調查評分40,5050,6060,7080,9090,100滿意度等級不滿意一般良好滿意并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知調查評分在的顧客為80人．(1)求n的值及頻率分布直方圖中t的值；(2)若某段時間有10000名顧客購買該公司的產品，請估計這10000名顧客中對該公司產品滿意度達到“滿意”的人數；(3)該公司設定的預案是：以抽取的樣本作為參考，若顧客滿意度評分的均值低于80分，則需要對該公司旗下產品進行調整，否則不需要調整、根據你所學的統計知識，判斷該公司是否需要對旗下產品進行調整，并說明理由．（每組數據以區間的中點值代替）【解析】（1），，所以，；（5分）（2），估計的人數為人；（10分）（3）由頻率分布直方圖得，顧客滿意度評分的均值為：，由題意知不需要對該公司旗下產品進行調整.（15分）17．（15分）為進一步推動防范電信網絡詐騙工作，預防和減少電信網絡詐騙案件的發生，某市開展防騙知識大宣傳活動.舉辦了“網絡防騙”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，根據頻率分布直方圖計算樣本成績的平均數和下四分位數；(2)已知若總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數為，樣本方差為.證明：；(3)已知落在50,60的平均成績是59，方差是7，落在60,70的平均成績為65，方差是4，求兩組樣本成績的總平均數和總方差.【解析】（1）由題意可知，，解得：；平均數為，前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以下四分位數在第3組，設為，則，得所以下四分位數為；（4分）（2），，，總體方差，又，，，因為，，，同理，故，；（12分）（3）的頻率是，頻數是，的頻率是，頻數是所以總體平均數，總體方差.（15分）18．（17分）機器模型預測常常用于只有正確與錯誤兩種結果的問題.表1為根據模型預測結果與真實情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預測正例概率大