專(zhuān)題01集合與常用邏輯用語(yǔ)目錄TOC\o"1-2"\h\u考情解讀 1知識(shí)梳理 2考點(diǎn)精講 4考點(diǎn)一：集合的基本概念 4考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系 9考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算 13考點(diǎn)四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍) 17考點(diǎn)五：充分、必要條件的判定 19考點(diǎn)六：充分、必要條件的應(yīng)用 23考點(diǎn)七：含有量詞的命題的否定及真假判斷 26考點(diǎn)八：含有量詞命題的應(yīng)用 30實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 34考點(diǎn)考頻考查內(nèi)容集合5年5考集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算充分條件和必要條件5年1考判斷充分條件和必要條件全稱量詞和存在量詞5年4考含有量詞命題的否定考情解讀1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系(2)能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.(2)在具體情境中,了解全集與空集的含義.3.集合的基本運(yùn)算(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集(3)能使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算4.充分條件與必要條件(1)理解命題的概念.(2)了解“若,則q"形式的命題.(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,5.全稱量詞與存在量詞(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義.(2)能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.知識(shí)梳理1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}注：1.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．2.常用結(jié)論（1）若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集．（3）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB．（4）?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．4、充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p5、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.（2）存在量詞短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.（3）全稱量詞命題及其否定①全稱量詞命題：對(duì)中的任意一個(gè)，有成立；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：.②全稱量詞命題的否定：.（4）存在量詞命題及其否定①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：.②存在量詞命題的否定：.考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：集合的基本概念【典型例題】解題策略(1)研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義．(2)利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．例1．（2023?廣東學(xué)業(yè)考試）給出下列說(shuō)法：①在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素；②好聽(tīng)的歌能組成一個(gè)集合；③高一（1）班所有姓氏能構(gòu)成集合；④把1，2，3三個(gè)數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個(gè)數(shù)組成的集合有6個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【解析】對(duì)于①，集合中的元素是互不相同的，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，好聽(tīng)的歌是不確定的，所以好聽(tīng)的歌不能組成一個(gè)集合，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，高一（1）班所有姓氏是確定的，所以能構(gòu)成集合，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)榧现械脑貪M足無(wú)序性，故由1，2，3三個(gè)元素只能組成一個(gè)集合，故④錯(cuò)誤，所以正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選：．例2．已知集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知：若集合，則.故選：B.例3．已知集合，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】,故選：D例4．已知M是由1，2，3三個(gè)元素構(gòu)成的集合，則集合M可表示為（

）A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}【答案】D【分析】根據(jù)集合的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】由于集合是由三個(gè)元素構(gòu)成，所以.故選：D例5．已知集合，則A中元素個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由列舉法即可判斷【詳解】，共有9個(gè)元素.故選：B例6．設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為．【答案】4【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧现械脑兀援?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．故答案為：4．【即時(shí)演練】1．?dāng)?shù)集中的不能取的數(shù)值的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)集合的互異性即可得結(jié)果.【詳解】由集合的互異性可得，即，所以不能取的數(shù)值的集合是，故選：D.2．方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解一元二次方程的根組成的集合【詳解】解方程，得或，方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為.故選：C3．圖中陰影區(qū)域所表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義以及表示方法，即可求解.【詳解】陰影中有兩個(gè)數(shù)字，分別是1，2所以表示的集合為.故選：C4．設(shè)M為我國(guó)四大河流長(zhǎng)江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合M等于（

）A．{長(zhǎng)江，黃河} B．{長(zhǎng)江，黑龍江}C．{長(zhǎng)江，珠江} D．{長(zhǎng)江，黃河，黑龍江，珠江}【答案】D【分析】根據(jù)集合的概念及表示即得.【詳解】∵M(jìn)為我國(guó)四大河流長(zhǎng)江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，∴M={長(zhǎng)江，黃河，黑龍江，珠江}.故選：D.5．“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是【答案】7【分析】根據(jù)集合中元素的互異性知集合中不能出現(xiàn)相同的元素.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.6．已知數(shù)集含有（）個(gè)元素，定義集合．(1)若，寫(xiě)出；(2)寫(xiě)出一個(gè)集合，使得；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在集合，使得？若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的集合；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫(xiě)出中元素即可得解；（2）根據(jù)條件分析集合中元素即可得解；（3）根據(jù)題意可得不存在，利用反證法證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋詾橹性兀?（2）取，此時(shí)，滿足.（3）當(dāng)時(shí)，不存在集合，使得.（反證法）假設(shè)時(shí)，存在集合，使得，不妨設(shè)，且，則，所以為中7個(gè)不同的元素，所以，由解得.此時(shí)，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故不存在這樣的集合.考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系【典型例題】解題策略集合關(guān)系問(wèn)題的應(yīng)用技巧(1)判斷兩集合的關(guān)系有兩種方法，一是化簡(jiǎn)集合，通過(guò)表達(dá)式尋求；二是列舉元素，從元素關(guān)系中尋找．(2)已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析．同時(shí)，要注意空集是任何集合的子集，以防漏解．例1．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，則集合的非空真子集有個(gè)A．5 B．6 C．7 D．8【解析】由集合，1，，所以集合的非空真子集為：，，，，，，，，，共有6個(gè)．故選：．例2．集合的所有子集的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】D【解析】用列舉法求出集合的子集即可得解.【詳解】解：因?yàn)榧希瑒t集合的子集為：、、、、、、共8個(gè)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合子集的概念，屬基礎(chǔ)題.例3．設(shè)集合，則下列選項(xiàng)正確是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由元素與集合的關(guān)系可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由元素與集合的關(guān)系可知，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由元素與集合的關(guān)系可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由集合與集合的關(guān)系可知，故D錯(cuò)誤.故選：B例4．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】就分類(lèi)討論后可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故滿足.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋始?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，綜上，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的集合的包含關(guān)系，注意對(duì)含參數(shù)的集合，要優(yōu)先討論其為空集或全集的情形，本題屬于基礎(chǔ)題.例5．已知集合，若，則.【答案】【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合，因?yàn)椋裕词欠匠淌欠匠痰母獾茫?dāng)，可得集合,此時(shí)滿足，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關(guān)系求解參數(shù)問(wèn)題，其中解答中熟記集合件的包含關(guān)系，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.例6．設(shè)集合，，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)集合相等直接得解.【詳解】因?yàn)椋遥?故選：D【即時(shí)演練】1．已知集合，，若，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可得出關(guān)于的等式，解出即可.【詳解】集合，，，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求出集合所含元素的個(gè)數(shù)，可得集合的真子集的個(gè)數(shù).【詳解】解：由集合，可得，其中集合中含有4個(gè)元素，可得集合的真子集的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的子集、真子集的個(gè)數(shù)，求出集合中元素的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.3．（2023高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知，設(shè)集合，，則（）A．? B．?C．

? D．?【答案】D【分析】先求出全集，從而判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，可得答案.【詳解】由題意，,得,故，A錯(cuò)誤；,故B錯(cuò)誤，，故屬于集合間符號(hào)使用不正確，C錯(cuò)誤，,D正確，故選：D4．已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】依題意可得，且，即可得到和為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而得解；【詳解】解：因?yàn)榍遥裕遥郑院蜑榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以；故選：D考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算【典型例題】解題策略求解集合基本運(yùn)算的方法步驟例1．（2021?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，，，1，3，，則A．，1， B．，，1， C．，1，3， D．，【解析】因?yàn)椋郑?，3，，所以，1，．故選：．例2．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，，，0，，則A．，1， B． C．， D．，0，1，【解析】集合，，，0，，，0，1，．故選：．例3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】由，，則，故選：B.（2023?廣東學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，2，3，4，5，，，4，，，3，，則A．， B．， C．，3， D．，3，4，【解析】，4，，，3，，，3，4，，，．故答案為：．例6．（2022?廣東學(xué)業(yè)考試）已知全集，1，2，3，，設(shè)集合，1，，，2，，則A． B． C．， D．【解析】，1，2，3，，，1，，，，又，2，，．故選：．例7．已知集合，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集、并集的定義求出，，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕蔄、B、C正確，D錯(cuò)誤；故選：D【即時(shí)演練】1.（2023?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則A． B． C． D．【解析】集合，，．故選：．2.（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，，則A．， B．，0， C． D．，【解析】集合，，，，，0，．故選：．3．集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；【詳解】由題意可得，故選：B.4．設(shè)全集，集合，，則.【答案】【分析】確定，再計(jì)算并集得到答案.【詳解】，，則，，則.故答案為：.5．若集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用交集、并集的定義直接求解即可.【詳解】由，得，而，所以.故選：C6．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意，，.故選：C.7．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】若全集，集合，則.故選：D.8．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得或x≥1，所以，故選：D9．設(shè)集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求集合.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C考點(diǎn)四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)【典型例題】解題策略利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合中的元素是用不等式(組)表示的，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問(wèn)題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍．例1．（2021?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，，，，，如果，那么實(shí)數(shù)等于A． B．0 C．2 D．4【解析】，．，，，，，．故選：．例2．（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）已知集合，3，，，，，則A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3【解析】．，，3，，或，解得或（與集合中元素的互異性矛盾，舍去）．綜上所述，或．故選：．例3．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由交集的結(jié)果，根據(jù)及集合的性質(zhì)，即可求的值.【詳解】由，而，故，故選：B.【即時(shí)演練】1．設(shè)全集，集合A=x1≤x<4，B=(1)若，求，(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)B∩A=x1≤x<4；B∩(2)【分析】（1）先代入化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得到結(jié)果；（2）先由得到，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合數(shù)軸法即可得到所求.【詳解】（1）因?yàn)椋訠=x2a≤x<3?a又因?yàn)锳=x1≤x<4，所以B∩A=x1≤x<4，?U故B∩?UA（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)锽=x2a≤x<3?a，所以當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，由數(shù)軸法得2a≥13?a≤4，解得a≥12綜上：，即.2．已知全集為U，，則其圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，結(jié)合韋恩圖的意義判斷作答.【詳解】全集為U，，則有，選項(xiàng)BCD不符合題意，選項(xiàng)A符合題意.故選：A考點(diǎn)五：充分、必要條件的判定【典例講解】解題策略充分條件、必要條件的3種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理的判斷性問(wèn)題．(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題．(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷，適用于以否定形式給出的問(wèn)題．例1．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】或，因?yàn)椋粗怀闪ⅲ省啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件．故選：．例2．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時(shí)，一定有，滿足充分性，但時(shí)，如，不滿足，即不滿足必要性，“”是“”的為充分不必要條件．故選：A．例3．已知，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】直接根據(jù)充分性和必要的定義判斷求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.例4．已知命題，且，命題，且，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)，且時(shí)，由得同號(hào)，再由得，且，即充分性成立；當(dāng)，且時(shí)，，且，即必要性成立；所以是的充要條件.故選：C.例5．已知，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由，，，，得，于是，由，，取，滿足，顯然“，”不成立，所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A例6．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，是的必要不充分條件，是的非充分非必要條件，是的充分必要條件.故選：A【即時(shí)演練】1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可得，即可根據(jù)充分不必要條件的定義求解.【詳解】由可得，故，因此“”是“”的充分不必要條件故選：A2．設(shè)，是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.【詳解】對(duì)于，比如，顯然，不能推出；反之，如果，則必有；所以“”是“”的必要不充分條件；故選：B.3．已知a，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義求解.【詳解】如果，則有，是充分條件；如果，則有，但不能推出，比如，不是必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件；故選：A.4．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】滿足，但無(wú)意義，不成立，不充分，反之，滿足，但無(wú)意義，即不成立，因此不必要，從而應(yīng)為既不充分也不必要條件故選：D．5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結(jié)果.【詳解】若，則，又因?yàn)椋裕矗簦驗(yàn)椋?dāng)時(shí)，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．已知空間中兩條不重合的直線，則“與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由直線與沒(méi)有公共點(diǎn)表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.【詳解】“直線與沒(méi)有公共點(diǎn)”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件.故選：B考點(diǎn)六：充分、必要條件的應(yīng)用【典例講解】解題策略應(yīng)用充分條件、必要條件求解參數(shù)范圍的方法(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．例1．已知，若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用充分不必要條件求參數(shù)，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，所以.故選：D.例2．已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得到或，根據(jù)題意得到是的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.【詳解】由條件，解得或；因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的充分不必要條件，故是或x>1的真子集，則的取值范圍是，故選：B．例3．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A例4．集合，集合，若“”是“”的充要條件，則（

）A．0 B． C．3 D．5【答案】B【分析】由題意可得，進(jìn)而可求的值.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某湟獥l件，所以，又，，所以.故選：B.【即時(shí)演練】1．若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得?，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參即可.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所有?，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．2．已知．(1)若是的充要條件，求的值；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)充要條件知，不等式的解集相同，建立方程得解；（2）由充分不必要條件可化為，解不等式得解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑某湟獥l件，所以，解得.（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，即，解得，所以的取值范圍.3．已知集合，或x≥4，為實(shí)數(shù)集．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分不必要條件，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，根據(jù)得到，解得答案.（2）確定是的非空真子集，得到，解得答案.【詳解】（1）由不等式，解得，則，或x≥4，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）或x≥4，，若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，又由題意知，所以是的非空真子集，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)七：含有量詞的命題的否定及真假判斷【典例講解】解題策略(1)含量詞命題的否定，一是要改寫(xiě)量詞，二是要否定結(jié)論．(2)判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立即可．例1．下列命題中，含有存在量詞的是（

）A．存在一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)均為整數(shù) B．所有偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．任何梯形都不是平行四邊形 D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似【答案】A【分析】根據(jù)存在量詞的含義判斷即可.【詳解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，這些叫做存在量詞.故選：A.例2．（2023高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）下列存在量詞命題是假命題的是（

）A．存在，使 B．存在，使C．存在鈍角三角形的內(nèi)角不是銳角或鈍角 D．有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)【答案】C【分析】對(duì)于C選項(xiàng)，利用鈍角三角形定義判斷即可.A，B，D選項(xiàng)舉例說(shuō)明.【詳解】當(dāng)時(shí)，.故A正確.當(dāng)時(shí)，.故B正確.因?yàn)閷?duì)任意的鈍角三角形，其內(nèi)角和是，所以內(nèi)角是銳角或是鈍角，所以選項(xiàng)C不正確.0是有理數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù).所以有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù).所以D正確.故選：C例3．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）命題“，”的否定是A．， B．， C．， D．，【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可知：命題“，”的否定是“，“，故選：．例4．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）命題，，則命題的否定為A．， B．， C．， D．，【解析】根據(jù)題意，命題，為存在量詞命題，則命題的否定應(yīng)該為，．故選：．例5．（2023?廣東學(xué)業(yè)考試）“，使得”的否定是A．，使得 B．，使得 C．， D．，【解析】“，使得”的否定是：，使得．故選：．【即時(shí)演練】1．下列命題為真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題和全稱命題的真假一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，取，則，則“，”為假命題；對(duì)B，取，則，則“，”為假命題；對(duì)C，時(shí)，恒成立，則不存在x∈R，使得，則其為假命題；對(duì)D，，解得，則“，”為真命題.故選：D.2．（2022?廣東學(xué)業(yè)考試）命題：“，”的否定是A．， B．， C．， D．，【解析】命題：“，”的否定是：，．故選：．3．命題：“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“”的否定為：“”.故選：C.4．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題，則p為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫(xiě)出結(jié)果即可．【詳解】該命題含有量詞“”，故該命題是一個(gè)全稱命題，其否定是一個(gè)特稱命題，故p為：．故選：B5．命題“，有”的否定是（

）A．，使得 B．，有C．，使得 D．，有【答案】C【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律“改量詞，否結(jié)論”分析判斷即可得解.【詳解】解：因?yàn)槊}“，有”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即“，使得”.故選：C.6．已知命題，，則命題的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)含有一個(gè)全稱量詞的否定的定義選擇即可.【詳解】已知命題，，則命的為,.故選:A.7．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定形式的相關(guān)知識(shí)直接判斷.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：C8．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由特稱量詞命題的否定形式求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“”是特稱量詞命題，故其否定是“”.故選：A考點(diǎn)八：含有量詞命題的應(yīng)用【典例講解】解題策略(1)全稱量詞命題多與“恒成立”問(wèn)題有關(guān)，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以可以代入求解，也可以根據(jù)函數(shù)或不等式中恒成立問(wèn)題的求解方法求解．(2)存在量詞命題多以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語(yǔ)句表達(dá)．解答這類(lèi)問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論做出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致了矛盾，則否定了假設(shè)．例1．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．例2．若命題p：“，”是假命題，命題q：，，是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】對(duì)于命題，根據(jù)其為假命題,得到否定為真命題，可得出關(guān)于的不等式；對(duì)于命題，根據(jù)其為真命題也可得出關(guān)于的不等式，最后求這兩個(gè)不等式的交集得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}是假命題，那么它的否定是真命題.對(duì)于二次函數(shù)，其判別式.展開(kāi)得到，解得.即.命題是真命題，即對(duì)恒成立.所以，解得.綜合以上兩個(gè)命題的結(jié)果，取交集可得的取值范圍是故答案為：例3．若命題為真命題，則的最大值為.【答案】9【分析】由題意可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】由題意，命題為真命題，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則，即，所以的最大值為9.故答案為：9.例4．若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由