Page12湖南省大聯考2024－2024學年度高一數學上學期期中考試一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依據題意，通過解不等式分別表示出兩集合，再依據數軸，即可求解.【詳解】依據題意，易得，，因此．故選：A.2.已知函數則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依據題意，先求，再求即可.【詳解】依據題意，因為，所以．故選：B.3.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據題意，結合小范圍可以推出大范圍，而大范圍推不出小范圍，即可求解.【詳解】依據題意，由，可得為等腰三角形，反之由為等腰三角形，可得或或，故“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件．故選：C.4.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】抽象函數定義域的求解，須要遵循兩個原則，第一是定義域是指的取值范圍；其次是同一對應法則下，整體范圍相同.【詳解】因為的定義域為，所以，解得或．又因為，解得，所以的定義域為．故選：C5.若函數（，且）在上的最大值與最小值的和為，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】確定函數是單調函數，得到，解得答案.【詳解】在上單調，所以在上的最大值與最小值的和為，解得或（舍去）．故選：B.6.已知函數的定義域為R，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題意轉化為不等式在上恒成立，分類探討，即可求解.【詳解】由題意，函數有意義，則滿意，因為函數的定義域為，即不等式在上恒成立，當時，恒成立，符合題意；當時，恒成立，符合題意．當時，不符合題意，綜上可得，實數的取值范圍是．故選：D.7.已知函數是定義在R上的增函數，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】要想使分段函數在R上的增函數，須要每段函數都是單調遞增函數，且在分段處左邊函數的端點值，小于等于右邊函數的端點值【詳解】由題意可得：解得：．故選：B8.某公司實行10周年紀念活動，確定給每個員工發放紀念品，并找設計師設計了甲、乙、丙三款紀念品．為了了解員工更喜愛哪一款紀念品，隨機抽取了60名員工對這三款紀念品進行投票，每人至少選擇一款自己喜愛的紀念品投票（假如有多款喜愛的紀念品，可以選擇多款紀念品投票）．詳細投票狀況如下表：紀念品給該款紀念品投票的人數甲31乙30丙33甲與乙11乙與丙17甲與丙15那么給三款紀念品都投票了的人數為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用集合學問容斥原理進行求解【詳解】設給甲投票的員工為集合，給乙投票的員工為集合，給丙投票的員工為集合，因為每個人都有投票，所以三個集合的容斥原理為：所以給三款紀念品都投票了的人數為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中，與函數是同一函數的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據函數的三要素：定義域、表達式以及值域逐項推斷即可.【詳解】解：函數的定義域為，對A，，定義域為，即與函數是同一函數，故A符合題意；對B，，定義域為，所以與函數不是同一函數，故B不符合題意；對C，，定義域為，所以與函數不是同一函數，故C不符合題意；對D，當，，當，，即，，所以與函數是同一函數，故D符合題意.故選：AD.10.函數的大致圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題得再對分三種狀況探討，結合特值法分析推斷得解.【詳解】由題得當時，A正確．當時，不妨取，則B正確．當時，不妨取，則C正確．假設為偶函數，則對于恒成立，所以，無論取何值，都不行能對于恒成立，所以D錯誤.故選：ABC11.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，干脆對利用基本不等式，求出；B選項，先平方，再結合A選項的進行求解，C選項利用基本不等式“1”的代換；D選項化為進行求解.【詳解】因為，所以，當且僅當，時取等號，A正確．因為，所以，當且僅當，時取等號，B錯誤．，當且僅當，時取等號，C正確．，當且僅當，時取等號，D正確．故選：ACD12.已知偶函數的定義域為R，也是偶函數，當時，．若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據偶函數的性質，結合函數的單調性進行推斷即可.【詳解】因為是偶函數，所以，．因為是偶函數，所以，則．．解得．因為在上單調遞增，所以．因為，所以．故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】特稱命題的否定，只需把存在量詞換成全稱量詞，再把結論否定即可.【詳解】依據題意，知命題“，”的否定是，.故答案為：，.14.已知，則________．【答案】【解析】【分析】先把根式化為分數指數冪，再利用同底數冪運算法則進行計算【詳解】，因為，所以，則．故答案為：15.某閱讀平臺為了吸引用戶，確定對部分圖書開展限時免費閱讀活動．當供應免費閱讀的圖書為a本時，其用戶人數（表示不大于a的最大整數）．當時，用戶人數為________；若該平臺想通過本次活動運用戶人數不少于5000，則至少須要供應免費閱讀的圖書數量為________．【答案】①.②.【解析】【分析】依據函數的解析式，代入，即可求得的值，令，求得，即可求解.【詳解】由題意，用戶人數（表示不大于a的最大整數）．可得．令，解得，則，即，故至少須要供應免費閱讀的圖書數量為．故答案為：；．16.已知定義在R上的函數滿意對隨意實數x，都有，且，則________．【答案】2024【解析】【分析】依據題意轉化為，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數滿意對隨意實數x，都有，且，當且時，可得，則，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合．（1）求集合真子集的個數；（2）求【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）結合真子集定義可干脆求解；（2）由集合的交并補運算可干脆求解.【小問1詳解】因為，所以，則真子集的個數為個；【小問2詳解】，，則.18.已知冪函數滿意f（2）＞f（1）．（1）求a的值；（2）若關于x的方程有唯一解，求m的值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由是冪函數，求得a，再由f（2）＞f（1），驗證即可；（2）將方程有唯一解，轉化為方程有唯一解求解.【小問1詳解】解：因為是冪函數，所以，解得或，當時．，不滿意f（2）＞f（1）；當時，，滿意f（2）＞f（1）；【小問2詳解】由（1）得，則方程，即為，因為方程有唯一解，所以方程有唯一解，所以，解得.19.已知函數．（1）推斷在上的單調性并用定義法證明；（2）推斷的奇偶性，并求在上的值域．【答案】（1）在上為減函數，證明見解析（2）為奇函數，在上的值域為【解析】【分析】（1）推斷出在上為減函數，然后任取、，作差，因式分解后推斷的符號，即可證得結論成立；（2）求出函數的定義域，驗證與的關系，即可得出函數的奇偶性，再利用（1）中函數的單調性可求得函數在上的值域.【小問1詳解】解：在上為減函數，證明如下：任取，則，因為，所以，，，，則，即．故在上為減函數．【小問2詳解】解：的定義域為，，故為奇函數．結合（1）知在上減函數，當時，取得最大值，且最大值，當時，取得最小值，且最小值為．故在上的值域為．20.已知二次函數在上有最大值7，最小值．（1）求的解析式；（2）若關于x的不等式在上有解，求k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據二次函數的性質可得，列出關于的方程組解出即可；（2）利用分別參數思想可得，利用二次函數的性質求出最值即可得結果.【小問1詳解】的圖象開口向上，對稱軸為直線，故在上單調遞減，在上單調遞增．結合二次函數的圖象可得解得故．【小問2詳解】由，可得，即．令，則，設函數，，則，故．綜上，k的取值范圍為．21.已知函數滿意．（1）證明：．（2）解不等式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用基本不等式證明；（2）等價于或，再解兩個不等式綜合即得解.【小問1詳解】證明：因為，①將①中x用代替，得，②①得，③③②整理得．故（當且僅當時，等號成立）．小問2詳解】解：因，所以，解得或．當時，，即，解得；當時，，，解得．故不等式的解集為．22.1.某科研機構為了探討某種藥物對某種疾病的治療效果，打算利用小白鼠進行科學試驗．探討發覺，藥物在血液內的濃度與時間的關系因運用方式的不同而不同．若運用注射方式給藥，則在注射后的4小時內，藥物在白鼠血液內的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿意關系式（，a為常數）；若運用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿意關系式現對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的汲取與代謝互不干擾．假設同時運用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨運用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時內，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用藥后4小時內血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數a的取值范