專題16導數與函數的單調性（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1］不含參函數的單調性.................................................3

【考點2】含參函數的單調性..................................................4

【考點3］根據函數的單調性求參數............................................6

【考點4】函數單調性的應用..................................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優篇】.................................................................10

考試要求：

1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.

2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）.

.知識梳理

L函數的單調性與導數的關系

條件恒有結論

rw>o次均在（a,加上單調遞增

函數y=段）在區間（a，

rw<oHx）在（a,力上單調遞減

。）上可導

rw=o人x）在（a,力上是常數函數

2.利用導數判斷函數單調性的步驟

第1步，確定函數的定義域;

第2步，求出導函數/（X）的雯點；

第3步，用的零點將五x）的定義域劃分為若干個區間，列表給出了（x）在各區間上的正負，

由此得出函數在定義域內的單調性.

|常用結論

1.若函數1x）在區間（a,b）上遞增,則/（九）20,所以'了（x）＞0在（a,上成立”是“外）在（a,

。）上單調遞增”的充分不必要條件.

2.對于可導函數人S，'了（xo）=O”是“函數人為在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

.真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）已知函數〃x）=ae'-Inx在區間（1,2）上單調遞增，則。的最小值為（）.

A./B.eC.e-D.e'2

-.“317

2.（2022?全國?高考真題）已矢口—,Z?=cos-,c=4sin-,貝(J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

3.（2022?全國?高考真題）設a=0.Ie。」,b=—9c=-ln0.9,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

已知函數/（x）7+；,g（x）=sinx,則圖象為如圖的函數可能是（）

4.（2021?浙江?高考真題）

2

y

A.>=/(x)+g(x)-JB.y-)一

4

c.y=f(x)g(x)D.

二、多選題

5.(2022?全國?高考真題)已知函數/(x)及其導函數八x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若(|-2x

g(2+x)均為偶函數，則()

A./(0)=0B.g]-]=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空題

6.（2023?全國,高考真題）設。e（0,1）,若函數"x）="+（l+a），在（0,+向上單調遞增，則a的取值范圍

是.

電考點突破

【考點1】不含參函數的單調性

一、單選題

1.（2024?四川成都?三模）已知函數”元）是定義在R上的奇函數，且當x>0時，〃x）=x（l-Inr）,則當x<0

時，〃x）的單調遞增區間為（）

A.（f-e）B.（-e,0）

C.（f0）D.（-1,0）

二、多選題

2.（2024?河南南陽?模擬預測）已知函數〃力=/-2小覺-1,則（）

A.若曲線y=/（x）在（1,/。））處的切線方程為>=2犬-2,則。=2

B.若a=l,則函數〃尤）的單調遞增區間為。,內）

C.若a>0,則函數f（x）在區間[1,+8）上的最小值為q2-2alnq-l

D.^xe[l,^?）,/（x）>0,貝心的取值范圍為（一8』

3

三、填空題

3.（2024?四川成都三模）已知函數〃x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，〃x）=x（l—Inx）,貝悄尤＜0

時，f（x）的單調遞增區間為—.

四、解答題

4.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知函數/（x）=31nx+a（尤2+25）-4，直線/在，軸上的截距為3,且/與曲線

y=〃尤）相切于點（1"⑴）.

⑴求實數。的值；

⑵求函數〃尤）的單調區間與極值.

5.（2024?黑龍江哈爾濱三模）已知函數=

⑴求在處的切線；

⑵比較出2將02目3與-力1的大小并說明理由?

20244047

6.（2024,北京西城一模）已知函數〃彳）=犬+111（詞+上館'，

⑴當a=i時，求曲線y=在點（1,〃3處切線的斜率；

（2）當4=-1時，討論“X）的單調性；

⑶若集合｛x"（x）2-1｝有且只有一個元素，求a的值.

反思提升：

確定函數單調區間的步驟：

（1）確定函數火X）的定義域；

（2）求了（X）;

（3）解不等式/（x）＞0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

（4）解不等式/（勸＜0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

【考點2】含參函數的單調性

一、單選題

1.（2022,全國?模擬預測）己知函數y=是定義域為R的奇函數，且當x＜0時，〃x）=x+￡+l.若函

數y=〃x）在口，+8）上的最小值為3,則實數。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

4

2.(2023?全國模擬預測)已知函數〃x)=x-alnx,其導函數為尸(x),下列結論正確的是()

A.7'(%)在(。,+℃)上單調遞增

B.當。>e時，有兩個零點

C.一定存在零點

D.若存在x產尤2，有/(%)=/(%)，貝1Ja>0

三、填空題

3.(2023?廣東廣州?模擬預測)已知函數〃尤)=e2-2a(尤-2”-〃尤2(4>0)恰有兩個零點，則。=

四、解答題

4.(23-24高三下?江西,階段練習)已知函數/(x)=/-#+x(aeR).

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若a>B討論/(X)的單調性.

5.(23-24高三下?湖北武漢?階段練習)已知函數/(x)=lnr-依+日

⑴若a=-l,求曲線y=/(x)在點(L〃l))處的切線方程；

⑵討論〃尤)的單調性.

6.(2024?河南?二模)已知函數/(x)=alnx-2x+a(aw0).

⑴討論的單調性；

12

(2)若ae'i-一f(x)—-xNO對任意x>0恒成立，求。的取值范圍；

aa

in1

(3)證明：—￡e；>ln折由+L

反思提升：

1.(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數的正負及兩根的大小；

若不能因式分解，則需討論判別式/的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義

域內.

2.個別導數為0的點不影響所在區間的單調性，如汽用=%3,/(%)=3X2O(f(x)=0在x=0時取

到)，人S在R上是增函數.

【考點3］根據函數的單調性求參數

一、單選題

5

L(23-24高二上?福建南平?階段練習)已知函數〃x)=lnx-依在區間［1,3］上單調遞減，則實數。的取值范

圍為()

I、11

A.B.tz>1C.一D.a>—

33

二、多選題

2.(2024?廣東茂名?一模)若/(力=-+3+；尤2+2了+1是區間(〃L1,M+4)上的單調函數，則實數比的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

三、填空題

3.(22-23高二下廣西?期中)若函數〃尤)=+尤在［1,3］存在單調遞減區間，則。的取值范圍為

四、解答題

4.(2024?安徽蕪湖?二模)已知函數f(x)=lnx+?-依，aeR

⑴若〃x)在定義域內是減函數，求。的取值范圍；

(2)當a<g時，求〃尤)的極值點.

5.(2023?全國?模擬預測)己知函數〃x)=e*+ax-6,其中e為自然對數的底數.

⑴若在區間。,2］上不是單調函數，求。的取值范圍.

(2)當xNO時，〃無)21+；_?_萬恒成立，求a的取值范圍.

6.(2024高三下,全國?專題練習)已知函數〃x)=J(lnx)2-%.

⑴若F(x)在(0,+“)上單調遞減，求實數。的取值范圍；

(2)若〃x)的最小值為6,求實數。的值.

反思提升：

根據函數單調性求參數的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：y=/(x)在(a,0)上單調，則區間(a,。)是相應單調區間的子集.

(2)成x)為增(減)函數的充要條件是對任意的xG(a,0)都有/(x)N0(/(x)W0),且在(a,0)內的任

一非空子區間上，不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.

【考點4】函數單調性的應用

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預測)若a=b=~,。=手，則。，b,c的大小順序為()

e22e4

6

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

二、多選題

2.（2023?江蘇?三模）三角函數表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦

表"，可以用來查詢非特殊角的三角函數近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多

涉及三角函數值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數值，就比如下面幾個選項，其中正確的是

（）

A.sin3>sin1cos1B.tan1>—

2

C.ln(cosl)<sin(cos

三、填空題

3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃尤）的定義域為（0,+8）,且滿足川（力+海〃引=1（/'（X）為函

O1

數“X）的導函數），/卜2）=4，若存在xe-,2，使得2x+〃，則實數。的取值范圍為_______.

e_e

四、解答題

4.（2023?山東?模擬預測）已知函數〃x）（xeR）及其導函數廣⑺滿足廣（力+/（力=葭，且/⑼二」.

⑴求小）的解析式，并比較/圖,/（cosj,/'sin：］的大小；

（2）試討論函數g⑺=/⑺+cosx在區間［0,可上的零點的個數.

5.（2024?河南開封?二模）已知函數〃x）=ln尤—4.

X

（1）討論/'（X）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；

（2）函數g（x）=￡；若方程〃x）=〃g（x））在無J。,：］上存在實根，試比較外片）與Int的大小.

1-x\）4

zl9-

xx

6.（23-24高三下?浙江杭州?階段練習）已知函數=+――--m,g（＜x^=e+e.

⑴當〃2=0時，證明:/（x）＜e-x；

（2）x＜0,g（x）4f,求f的最小值；

⑶若在區間（0,+動存在零點，求加的取值范圍.

反思提升：

1.利用導數比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數，把比較大小的問題轉化為先利

用導數研究函數的單調性，進而根據單調性比較大小.

2.與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數；題目中若存在人x）與了（X）

的不等關系時，常構造含人%）與另一函數的積（或商）的函數，與題設形成解題鏈條，利用導數

7

研究新函數的單調性，從而求解不等式.

■分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（23-24高二下?北京?階段練習）已知函數/（x）=2x—sinx,則下列選項正確的是（）.

A./(2)</(?!)</(e)B./（7t）＜/（e）＜/（2）

C./(e)</(2)</(7r)D./(2)</(e)</(7t)

2.（23-24高二下?四川涼山,期中）函數/?=尤111》-2尤的單調遞減區間是（）

A.(0,e)B.C.(e,+<?)D.(l,e)

11

3.（23-24高二下?重慶渝北?期中）若函數心）=11-5奴2―21在（5,2）上存在單調遞減區間，則實數，的

取值范圍為（）

A.[-1,+co)B.(-l,+oo)

C.[0,+8)D.(0,+a)

4.（23-24高二下?天津,期中）已知函數/⑺=；/+--依+i在R上單調遞增，則實數。的取值范圍為（）

A.（-co,-l]B.（-co,-l）C.（-1,+co）D.[-1,+ao）

二、多選題

5.（23-24高二下,重慶,階段練習）設函數在R上可導，其導函數為尸（x）,且函數y=。-同/⑺的

圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）

A.函數“X）在（2,+8）上為增函數

B.函數"%）在（-2,1）上為增函數

C.函數〃尤）有極大值"2）和極小值〃1）

D.函數/'（%）有極大值/'（-2）和極小值/'（2）

8

6.(23-24高二下?安徽合肥?期中)已知函數/。)=尤3+依2+法+，，下列結論中正確的是()

A.3x0eR,/(xo)=O

B.函數/(x)的值域為R

C.若不是/⑺的極值點，則r(%)=0

D.若為是f(x)的極小值點，則f(x)在區間(-co,Xo)單調遞減

三、填空題

7.(21-22高二下?天津濱海新?階段練習)已知函數〃%)=%2-3%+5,g(x)=2?x—lnx,若對X/xe(0,e),初，

尤2e(O,e)且％*%，使得/(x)=g(xj[=l，2),則實數a的取值范圍是.

8.(23-24高二下?湖北?期中)若函數/(x)=ge2，+辦+。在區間(0,+向上單調遞增，則實數。的取值范圍

為.

9.(23-24高二下?江蘇?期中)如果定義在R上的函數/(口=加+加+X的單調增區間為(-M),那么實數

a+人的值為.

四、解答題

10.(23-24高二下?北京■期中)已知函數4x)=ae"-2x—l.

⑴當a=l時，求曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)當尤＞0時，若曲線y=/(x)在直線丁=-％的上方，求實數。的取值范圍.

11.(23-24高二下?江西宜春?期中)己知函數〃x)=lnY+f+辦+2在點(2"(2))處的切線的斜率為g

⑴求

⑵求〃x)的單調區間和極值.

k

12.(23-24高二下?江蘇?期中)設函數〃x)=lnx+7kwR.

⑴若曲線y=/(x)在點(e〃e))處的切線與直線x=2垂直，求k的值：(其中e為自然對數的底數)；

(2)在(1)的條件下求的單調區間和極小值：

⑶若g(x)=〃x)-x在(。，用)上存在增區間，求人的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.(2024?遼寧?二模)已知定義在R上的函數/(x)=e，-e-',設。=207./。方)，*=,

9

c=-log071.25./(log070.8),則a,b,c的大小關系是()