第12講函數與方程

知識梳理

一、函數的零點

對于函數y=/(x),我們把使/(6=0的實數尤叫做函數y=/(x)的零點.

二、方程的根與函數零點的關系

方程〃尤)=。有實數根O函數〉="X)的圖像與X軸有公共點O函數>=有零

點.

三、零點存在性定理

如果函數y="X)在區間［公句上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有

f(a)-f(b)<0,那么函數？=/(尤)在區間(。力)內有零點,即存在ce(a,6),使得

/(c)=0,c也就是方程〃尤)=0的根.

四、二分法

對于區間可上連續不斷且"㈤<0的函數,通過不斷地把函數/(x)的

零點

所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方

法叫做二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函數無)零點的近似值.

五、用二分法求函數“X)零點近似值的步驟

(1)確定區間［a,6］,驗證/(a)"(b)<0,給定精度￡.

(2)求區間(a,6)的中點玉.

(3)計算〃可).若〃占)=0,則不就是函數的零點；若〃4)"(占)<0,則令

6(此時零點七).若/伍)?/(芭)<0,則令>=%(此時零點Ue(占,6))

(4)判斷是否達到精確度￡,即若|a-可<￡,則函數零點的近似值為a(或匕)；否

則重復第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【解題方法總結】

函數的零點相關技巧：

①若連續不斷的函數/(尤)在定義域上是單調函數，則/(元)至多有一個零點.

②連續不斷的函數/(X),其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.

③連續不斷的函數〃X)通過零點時，函數值不一定變號.

④連續不斷的函數/(尤)在閉區間團，句上有零點，不一定能推出了(“)/(6)<0.

必考題型全歸納

題型一：求函數的零點或零點所在區間

[例1](2024?廣西玉林?博白縣中學校考模擬預測)已知函數為。)是奇函數，且

f{x}=h{x}+2,若x=2是函數y=/(x)的一個零點，則/(-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因為x=2是函數y=/(x)的一個零點，則八2)=0,于是/(2)=飄2)+2=0,即

/2)=-2,

而函數以劃是奇函數，則有〃(-2)=f⑵=2,

所以/(-2)=人-2)+2=4.

故選：D

【對點訓練11(2024?吉林?通化市第一中學校校聯考模擬預測)已知%是函數

/(x)=tanx-2的一個零點，則sin2尤0的值為()

4334

A.——B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因為％是函數/(尤)=tan尤-2的一個零點，

所以tan%—2=0,gptanx0=2,故cos/w0,

nijsin2x-2sin%.cos/_2tanx0_4

222

sinx0+cosx01+tanx05*

故選：D.

【對點訓練2】(2024?全國?高三專題練習)已知函數

/(%)=2，+%遙(％)=1082彳+%/心)=1082》-2的零點依次為“,瓦(:,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】對于/(x)=2'+x,顯然是增函數，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以

的唯一零點。€(-1,0);

對于g(x)=log2X+x，顯然也是增函數，==，所以g(x)的唯一

零點明』；

對于/z(x)=log2X-2,顯然也是增函數，/2(4)=log24-2=0,所以/z(x)的唯一零點

/.a<b<c；

故選：A.

【對點訓練3】(2024?全國?高三專題練習)已知〃％)=e”+ln%+2,若%是方程

/(力-廣(力=6的一個解，則與可能存在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】f\x)=e+~,所以(尤)=e'+lnx+2-卜+口=山彳二+2,

因為％是方程/(x)-/'(x)=e的一個解，

所以％是方程liuc—：+2-e=0的解，令g(x)=lnx-J+2-e,

則g'(尤)=工+=，當x>。時，g'(無)=1+』>0恒成立，

XXXJC

所以g(x)=lnx-’+2-e單調遞增，

131S

Xg(2)=ln2--+2-e=ln2+--e<0,g(3)=ln3--+2-e=ln3+--e>0,

所以36(2,3).

故選：C.

【解題總結】

求函數/(x)零點的方法:

（1）代數法，即求方程，（x）=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何

法，即利用函數y=，（x）的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍

【例2】（2024?山西陽泉?統考三模）函數/（力=1嗎彳+幺+旭在區間（1,膜存在零

點.則實數機的取值范圍是（）

A.5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+oo）

【答案】B

【解析】由％=bg?x在（。,+巧上單調遞增，%=尤2+根在（。,+向上單調遞增，得函數

/（X）=log2X+fm在區間（0,4-00）上單調遞增，

因為函數"X）=log2X+fm在區間（1,2）存在零點，

[/⑴<0[log,l+F+加<0

所以2即，C，解得〈加〈一，

c02-51

[〃2）>0[log22+2+m>0

所以實數機的取值范圍是（-5,-1）.

故選：B.

3

【對點訓練4】（2024?全國?高三專題練習）函數/（x）=2,——。的一個零點在區間

（1,3）內，則實數。的取值范圍是（）

A.（7,-H?）B.（-oo,-l）C.（—,一1）（7,+oo）D.（-1,7）

【答案】D

3

【解析】：丁=2*和y=-三在（0,+s）上是增函數，

x

3

=2,——。在（0,+8）上是增函數，

???只需/⑴"（3）<0即可，即（-1-。（7-。）<0,解得一1<”7.

故選：D.

2

【對點訓練5】（2024?河北?高三學業考試）已知函數/（無）=。-「是R上的奇函數,

2+1

若函數*的零點在區間內，則根的取值范圍是（）

A.（-］，g）B.（-1,1）C.（-2,2）D.（0,1）

【答案】A

22

【解析】???/（九）是奇函數，???/（0）=Q——=0,a=l,=易知/（x）在尺

1+12X+1

上是增函數，

/（x）有唯一零點0,

函數丫=/（無一2利）的零點在區間（-1,1）內，.?.x-2加=0在（TD上有解，〃?.=；,...

,11、?

故選：A.

【對點訓練6】（2024?浙江紹興?統考二模）已知函數/（x）=lnr+/+人，若/?⑺在區

間［2,3］上有零點,則ab的最大值為.

【答案】*

【解析】設/（%）=。，Xoe［2,3］,貝Ijln%o+Q片+匕=0,

QX2

止匕時人=-lnx0-；,貝|ab=-alnx0-ax1,

2

令g(a)=-a\nxQ-ax1=

lnx、

當a=一尉n時，g（za）

t己“。）=乎，則〃（無）=匕坐

2x2x

所以為（X）在［2,e）上遞增，在［e,3］上遞減,

="?=(,所以InXo)_1

故〃(無)max2

2x0J4e

所以他的最大值為人.

4e

故答案為：--y.

Ac"

【對點訓練7】（2024?上海浦東新?高三上海市進才中學校考階段練習）已知函數

/（x）=siniw-asin尤在（0,2兀）上有零點，則實數a的取值范圍___________.

1

【答案】—oo,--------{0}

2

.(兀.兀.

71兀A

【解析】當a>l時，0<-<7i,fsina，一—asin—sin-<o,

aaaa

+a>0,

713兀

故/<0,由零點存在性定理知：/（此在區間上至少有1個零點;

a2

當a=l時，/（尤）=。，符合題意;

]7171

當一<a<l時，71<—<271,—<(271<71,71<2ajl7l<2K,

2a2

71

-asin—>0,/(兀)=sinan>0,/(2K)=sin2〃兀<0,

a

由零點存在性定理知，在區間（兀,2兀）至少有1個零點;

當0<〃（工時,

2

f\x)—acosax—acosx=Q(COSax—cosx)

ax+xax-xax+xax-x

COS-----+------cos

2222

ax+xax-x.ax+x.ax-x

cos-----cos-------sin-----sin-----

2222

,.(a+l)x.(a—Y)x

=-2asin------sin-------,

22

因為0<aV^,XG(0,2TI),所以-n<(”以<0,sin(6?-1)X<0,

222

當尤e(0,2^-)時，o<+<兀,sin,/(x)>0,/(x)遞增，

a+122

當工￡(^-,2兀)時，兀<+<孚,sin<0,/(x)<0,/(x)遞減,

a+1222

故)(X)在(0,3)上遞增，在(々,2兀)上遞減，

a+la+1

又/(0)=0,/(2兀)=sin2an>0,即在(兀,2兀)上，/(x)>0,

故/(X)在區間(0,271)上沒有零點.

所以，當時，函數f(%)=sin6-asinx在(0,2兀)上有零點.

2

令(p(a)=sinax-asinx,(p(-d)=sin(-av)+asinx=-sinar+asinx=_(p(d),

可知9（a）=sinax-asin尤為奇函數，圖象關于原點對稱,

從而，當工時，函數/(x)=sino￥-asinx在(0,2兀)上有零點.

2

又當0=0時，f(x)=0,符合題意，

綜上，實數0的取值范圍［巴-M，

故答案為：^-oo,-^U^,+co^{0}.

【解題總結】

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，

列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

［例3］(2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預測)已知實數X,y滿足

InJ2y+l+y=2,e*+x=5,則尤+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,即In，2y+l=2-y,

即e"2，=2y+l,

令4-2y=t,則2y=47,

即e'=5-f，BPe,+/-5=0.

由e*+尤=5,得6*+%-5=0,

設函數/(x)=e，+x-5,顯然該函數增函數，

又〃l)"(2)=(e-4)義.一3)<0,

所以函數〃x)=e'+x-5在(1,2)上有唯一的零點，

因此r=x,即4-2y=x,

所以x+2y=4.

故答案為：4.

【對點訓練8】(2024?新疆?校聯考二模)已知函數〃尤)=加+3尤2-4,若/(x)存在唯

一的零點％,且與<。，則。的取值范圍是.

【答案】(一8,-1)

【解析】因為/(%)=加+3X2—4,所以析(X)=3=2+6X=3X(OV+2)

當。=0時，有〃力=3乂—4=0,解得x=±手，所以當。=0時，/(X)有兩個零點，不

符合題意；

當口>0時，由/'(x)=0,解得了=0或x=-g,且有/(O)=T,f^^=±-4,

當xe~,-1，f^x)>0,〃x)在區間~，一A上單調遞增；

當/'(x)<0,〃x)在區間:?|,oj上單調遞減；

當x?0,M),/^x)>0,在區間(0,+8)上單調遞增；

又因為”0)=T<0,孚］=羲>0，

所以xe［0,q-J,7?(%)存在一個正數零點，所以不符合題意；

當時，令/■'(x)=0,解得％=0或x=-(,且有〃0)=T,/f-jK^-4

當x?-8,0),r(x)<0,7(x)在區間(-8,0)上單調遞減；

當xe(0,-￡|,>0,/(尤)在區間［，一I)上單調遞增；

當xe'j+j,/'(x)<0,〃x)在區間上單調遞減;

又因為〃。)=-4<。，/［一^^］=一^^>0，

所以xe-二一,0,存在一個負數零點，要使〃x)存在唯一的零點看,

IJJ

則滿足了(-2］=w-4<。，解得。<一1或a>l,又因為a<0,所以。<一1,

\aJa'

綜上，a的取值范圍是

故答案為：(-CO,-1).

x2+4x+a,x<0

【對點訓練9】(2024?天津濱海新-統考三模)已知函數/(尤)=1］八，若函

—Fa+1,%>0

、了

數g(x)=〃x)-依T在R上恰有三個不同的零點，則a的取值范圍是.

【答案】(-8,T)[1,2)

X2+4x,x<0

【解析】當4=0時，f(X)=\1

-+l,x>0

lx

因為g(x)=〃x)-?-1恰有三個不同的零點,

函數g(x)=/(x)-l在R上恰有三個不同的零點，即/(x)=l有三個解,

而工+1=1無解，故a70.

X

當。>0時，函數g(x)=〃x)-冰-1在R上恰有三個不同的零點,

即〃x)=or+l,即y=/(x)與y=6+l的圖象有三個交點，如下圖,

當％>0時，/(%)=J+Q+1與>=改+1必有1個交點,

所以當x<0時，/(%)=犬+4%+。有2個交點,

即V+4x+a-ax-l=0,即令〃(%)=幺+(4—a)x+a-l=O在(-8,0]內有兩個實數解,

>0

=>1<tz<2,

當a<0時，函數g(x)=/(x)-班-1在R上恰有三個不同的零點,

即/(x)=or+i,即y=/(x)與丁=6+1的圖象有三個交點，如下圖,

當x<0時，/(x)=f+4x+a必有1個交點，

當x>0時，〃x)=/+。+1與廣6+1有2個交點，

所以工+。+1=依+1,即ox?-辦一1=0在(O,+e)上有2根，

X

令左⑴=加-ax-l

A>0

故,左(0)=-1<0=>〃2+4〃〉0,解得：〃<-4.

—u.1

%=----=—

、2a2

綜上所述：。的取值范圍是(F,T)」1,2).

故答案為：(-?),-4)[1,2).

【對點訓練101(2024?江蘇?校聯考模擬預測)若曲線y=xlnx有兩條過(e,a)的切線,

則a的范圍是.

【答案】(《,e)

【解析】設切線切點為(毛,%),因Gin”=必”+1,則切線方程為：

%=xolnxo

V=(in%+1)(%-%)+%Inx0=(inx0+1)x-%0.

因過(e,a),則a=(in/+l)e-%,由題函數/'(x)=(inx+1)e-x圖象

與直線y=。有兩個交點./'(x)=--1=「工

得了(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+a>)上單調遞減.

又〃龍)3=7(e)=e，xf0,/(x)ffo,x^+oo,f(x)^-oo.

據此可得f(x)大致圖象如下.則由圖可得，當ae(』e)時，曲線y=xlnx有兩條過(e,a)

的切線.

故答案為：(-<?,e)

【對點訓練11](2024?天津北辰?統考三模)設aeR,對任意實數x,記

2r

f(x)=min{e^-2,e^-ae+?+24}.若〃x)有三個零點，則實數。的取值范圍是

【答案】(12,28)

【解析】令g(x)=e*-2,/?(x)=e"-ae*+a+24,

因為函數g(x)有一個零點，函數〃⑺至多有兩個零點，

又了(無)有三個零點，

所以Mx)必須有兩個零點，且其零點與函數g(x)的零點不相等，

且函數網力與函數g(X)的零點均為函數“X)的零點，

由g(x)=。可得，e*-2=0，所以x=ln2,

所以x=ln2為函數的零點，

gp/?(ln2)=e21n2-fleln2+?+24=4-2cz+?+24=28-?>0,

所以"28,

令/?(尤)=0,可得e"-aex+Q+24=0,

由已知e2,-恁工+a+24=0有兩個根，

設e'=f,則/-。/+。+24=0有兩個正根，

所以。2—l(a+24)>0,a>0,a+24>0,

所以。＞12,故12＜。＜28,

當12＜。＜28時，/-小+4+24=0有兩個根，

設其根為小心4＜明則馬＞"|，

設/(t)=/_〃+a+24,則/(2)=4-2。+4+24=28-。＞0,尸

所以(＞2,

%2

令e』=r1,e=t2,貝=ln4,%2=ln，2,

則/l(%)=0,M%2)=。，

ln/2

且g(M)=eE"—2=4—2＞0,g(^2)=e-2=/2-2＞0,

所以當12＜。＜28時,/(^)=/(%2)=0,

所以當12＜。＜28時，占,％為函數〃x)的零點，又x=ln2也為函數〃x)的零點，

且看,馬與In2互不相等，

所以當12＜。＜28時，函數/(x)有三個零點.

故答案為：(12,28).

【對點訓練121(2024?廣東?統考模擬預測)已知實數根，〃滿足

2023-2/n3-ln2

----------m=---------lnH-ln(2e2020)=0,則加幾二___________.

2nv7

3

【答案】-e

4

2023-2/n

【解析】因為^------772=0,所以e2°23e_27"=O,

2

故e2023=2〃婷”'，即2加+In2m=2023,

Weln2m+ln2m=2023.

3-ln2

由-----In〃-In(2e2020)=0,得e3Tg+3-ln2n=2023.

nv7

令〃x)=x+e"因為增函數+增函數=增函數，所以函數〃x)在R上單調遞增，

3

而〃In2M)="3-In2〃)=2023,故ln2機=3-ln2〃，解得ln4〃加=3,則〃z〃=’.

3

故答案為：-e

4

【解題總結】

方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區間端點處函數值的正負來確定，但是

要確定函數零點的個數還需要進一步研究函數在這個區間的單調性，若在給定區間上是單

調的，則至多有一個零點；如果不是單調的，可繼續分出小的區間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數的零點問題

1

2__xx<0

【例4】（2024?全國?高三專題練習）己知函數〃x）={25,若關于天的方

—|2x—1|+1,%>0

程「（X）-化+1）步（力+履2=0有且只有三個不同的實數解，則正實數人的取值范圍為

B.plb(l,2)C.（O,1）U（1,2）D.(2,+oo)

【答案】B

21

x+—x,x<0

2

【解析】因為/（尤）=<2x,0<x<—,

2

2-2%,%〉一

2

由(x)+kx2=0可得[/(X)_%]]/(%)_次]=0,

所以，關于元的方程〃力=八〃力="共有3個不同的實數解.

①先討論方程/（力=x的解的個數.

當光40時，由/（%）=/+；%=%,可得1=0,

當時，由〃x）=2x=x,可得元￡0,

當x>—時，由/（x）=2-2x=x,可得工=一，

23

2

所以，方程/"）=彳只有兩解x=0和尤=§；

②下面討論方程/（無）=kx的解的個數.

當xV0時，由/（x）=f+gx=fct可得x（x+g—左］=0,可得X=0或x=^_g,

當時，由/（尤）=2尤=米，可得左=2,此時方程/（耳=自有無數個解，不合乎題

后、9

io

當x>—時，由/(%)=2—2%=依可得1=------,

2左+2

^--<0k--<0^-->0

222

21一2221

因為左＞0,由題意可得，K或4沁〉

女+212女+23k+22

k>0左〉022

〔左+23

解得工4%＜1或1＜人＜2.

2

因此，實數上的取值范圍是

故選：B.

【對點訓練13)(2024?全國?高三專題練習)已知函數〃無)=忖-2卜1,則關于x的方

程r(x)+時(x)+〃=0有7個不同實數解，則實數相，“滿足()

A.機〉0且〃＞0B.m<0S.n>0

C.0＜加＜1且〃=0D.—l<m<05.n=0

【答案】c

【解析】令〃=/(x),作出函數”=/(力的圖象如下圖所示:

由于方程+"IU+”=0至多兩個實根，設為M="］和〃=%,

由圖象可知，直線a=%與函數"=/(%)圖象的交點個數可能為0、2、3、4,

由于關于x的方程/⑺+時⑺+〃=0有7個不同實數解，

則關于u的二次方程"2+加"+〃=0的一根為%=0,貝!J〃=0,

則方程I?+mu=0的另一根為/=-m,

直線〃二“2與函數M=/(x)圖象的交點個數必為4,則-IVTHVO,解得0<加<1.

所以0<加<1且〃=0.

故選：C.

【對點訓練14](2024?四川資陽?高三統考期末)定義在H上函數/(%),若函數

/、/、/、-X2,XG(0,1),

y=/(%-l)關于點(1,0)對稱，且"％)=-。「x則關于％的方程

尸⑴-2〃“x)=l(7"eH)有〃個不同的實數解，則n的所有可能的值為

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【答案】B

【解析】?.?函數y=/(x—l)關于點(1,0)對稱，.?./(無)是奇函數，x>0時，/(X)在(0,1)上

遞減，在[1,+8)上遞增，

作出函數/(x)的圖象，如圖，由圖可知/(x)=f的解的個數是1,2,3.

/<一1或t>l時，/(x)=t有一個解，r=±l時，/(x)=f有兩個解，一1</<1時，/。)=/有

三個解，

方程/(x)-2〃礦(x)=l中設/(x)=r,則方程化為〃一2皿-1=0,其判別式為

△=4加2+4>0恒成立，方程必有兩不等實根，t1,t2,/；+Z2=2m,tIt2=-1,兩根一'F一

負，不妨設乙<0,。2>。，

若%=0,則，+72=。，f(尤)=(和/0)=一都有兩個根,原方程有4個根；

若機>0,貝?+右>。，?2>|^|,.,.^>1,-1</j<0,/(x)=%有三個根，/(的=馬有一

個根，原方程共有4個根；

若相<0,則一VO,t2<\t],：.0<t2<l,fj<-1,/(x)=%有一個根，〃力=。有三

個根，原方程共有4個根.

綜上原方程有4個根.

故選：B.

【對點訓練15]（2024?全國?高三專題練習）已知函數/口）=。2_了_1）/,設關于x的

方程/（無）7叭x）=9（租eR）有"個不同的實數解，貝IJ”的所有可能的值為

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】/（"=（》-1）（》+2）/,二/（同在（-0）,-2）和（1收）上單增，（-2,1）上單減，又當

X-—8時，/⑺-0,尤f+CO時，用故"X）的圖象大致為:

令小）=，，則方程/-3；。必有兩個根，他且區一，不仿設—2,當

4=-e時，恰有芍=5"2,此時=有1個根，f（x）=t2,有2個根，當:e時必

有。（L"],此時/（x）=%無根，f（x）=/2有3個根,當-e<%<0時必有4>5短，此

時/（x）=%有2個根，f^x）=t2,有1個根，綜上，對任意方程均有3個根，故選

A.

【解題總結】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍.

2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎

實.

題型五：函數的對稱問題

【例5】(2024?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=2x+||；WxW2)的圖象上存在點

P,函數g(%)=如-3的圖象上存在點。，且P,。關于原點對稱，則實數。的取值范圍是

A.H，0]B.o,jC.[0,4]D.1,4

|_oJ|_o

【答案】c

【解析】由題意，函數g(x)=?x-3關于原點對稱的函數為-y=-ax-3,即y=ar+3,

若函數g(x)=^-3的圖象上存在點°,且P,。關于原點對稱，

則等價為了(力=依+3在;VxW2上有解，IP2x+-^=ax+3,在gvxW2上有解，

由/(x)=2x+±,貝|-(同=2-餐=^^,

當xe(l,2]時，f^x)>0,此時函數為單調增函數；

當時，r(x)<0,此時函數〃x)為單調減函數，

即當X=1時，〃X)取得極小值同時也是最小值，且"1)=3,即3(1,3),

當尤=[時，y=l+4=5,即A(g,5),

設Zi(x)=ax+3,要使得/(x)=/z(x)有解,

則當//(%)過點B時，得。=0,過點A時，；a+3=5,解得。=4,

綜上可得.

故選C.

【對點訓練16】(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=e*,函數g(x)與/⑶的圖

象關于直線>對稱，若/z(x)=g(x)-b;無零點，則實數上的取值范圍是()

A.Q,e2^jB.C.(e,+co)D.

【答案】D

【解析】由題知g(x)=lnx,"(x)=g(x)-丘=0=左=也，設尸(x)=@2n尸(x)J,當

XXX

F，(x)<0時，xe(e,-Hx>),此時尸(x)單調遞減，當歹'(無)>0時，%e(0,e),此時尸(x)單調遞

增，所以尸(勸1mx=F(e)=L尸(x)的圖象如下，由圖可知，當左>■1■時，y=F(x)與y=k無

ee

交點，即/z(x)=g(%)-"無零點.

【對點訓練17](2024?全國?高三專題練習)己知函數y=a-21n尤,pVxWe)的圖象上

e

存在點函數y=Y+l的圖象上存在點N,且M,N關于x軸對稱，則。的取值范圍

是()

A.[1—e?,—2]B.-3-4,+勿

11

C.-3———2D.l-e27,-3--

_eJ|_e_

【答案】A

【解析】因為函數y=/+l與函數y=-/_l的圖象關于無軸對稱，

根據已知得函數y=a-21nx,d?xWe)的圖象與函數y=-Y-i的圖象有交點，

e

即方程a-21n%=f：2-1在工￡-簿上有解，

e

即a=2Inx-X2_i在XE—,e上有解.

e

令g(x)=21nx-%2-4,xe-,e,

貝Ug，(x)=2-2尤=^^=^3，

XXX

可知g(x)在1,1上單調遞增，在［l,e］上單調遞減，

故當x=l時，g(x)皿=g6=—2,

由于gg)=_3_J,g(e)=l-e2,Jl-3—^->l-e2,

所以1一匕2<［4一2.

故選：A.

【對點訓練18】(2024?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=a—犬(1<X<^,e為自

然對數的底數)與/?(x)=21nx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數。的取值范圍是

A.l,—+2B.[l.e?—2]

C.—r+2,e2-2D.「f-2,+8)

_eJL7

【答案】B

【解析】設立⑺上一點M(Xo,21nx。)，lwx°We,且M關于％軸對稱點坐標為

e

AT(如一21nx0)，在g(x)上，

e

/.-21nx0=〃_焉(；WxWe)有解，即％：—21n%=《1VxWe)有解.

令小)=了2_21nxp■VxVe],貝ij-⑺=2萬二=9上1業Zl),-<x<e,

,當xe時，/'(x)<0；當xe(l,e]時，制x)>0,\"x)在上單調遞減；在

(1,e]上單調遞增

"(%=/(1)=1，dJj+2,小12-2,

x；-21nx°=a[WxWe]有解等價于y=。與y=〃x)圖象有交點，

/(l)<a</(e)ae[1]-2].

故選：B

【解題總結】

轉化為零點問題

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

3

【例6】（2024?浙江寧波?高三統考期末）若函數/（x）=x-2"，+/nr-In」至少存在一

X

個零點，則加的取值范圍為（）

A.B./+J,+oojC.+JD.1

e+—,+oo

e

【答案】A

【解析】因為函數/（尤）='Ve'+s-lnx至少存在一個零點

X

IM工3-lex1+mx-Inx八七七刀

所CR以-----------------二0有解

X

gpm=-x2+2ex+見三有解

x

令7/(%)=—x2+2ex-\----,

x

貝ljh'(x)=-lx+2e+Izhl

1-lnx^__2+-3龍+2xlnx_-3龍一2x“+2xIn尤_-3--2%(丁一inx)

—Lx+2e+

~^r)

為x>0,且由圖象可知>lnx,所以

所以“（x）在（0,+a?）上單調遞減，令〃（X）=0得x=e

當0<x<e時/?x）>0,//（%）單調遞增

當x>e時〃(x)<0,/?(可單調遞減

所以〃(xLx=Me)=e2+：

且當JV+2O時/Z(X)—>-OO

所以加的取值范圍為函數網力的值域，即［8,/+^

故選：A

【對點訓練19】(2024?湖北?高三校聯考期中)設函數/(x)=d—2夕In%,記

g(x)=/合，若函數g(x)至少存在一個零點，則實數加的取值范圍是

A.1—co,e2+—1B.C.^0,e2+—D.^―℃,e2+—

【答案】D

【解析】由題意得函數/(X)的定義域為(。，+8).

pz、/W2c,lux

乂g(x)=------=x-2ex+m--------,

xx

???函數g(%)至少存在一個零點，

方程f-2ex+加一有角軋

x

InY

即相=—x2+lexH------有解.

X

1nJC

令""(%)=—%2+2cxH------,%>0,

x

mi，/、1-lnx?、1-lnx

貝!J(p(x)=-2x+2e+--------=2(e-x)+——--,

xx

.,?當X￡(0,e)時，"(%)>0,°(%)單調遞增；當％￡(e,+8)時，°'(x)<0,°(x)單調遞減.

21

工。(%)皿=0(e)=6+一?

e

又當X->0時，0(%)->—8;當X—4W時，夕(%)-—00.

1TlX1

要使方程m=-x2+2ex+---有解，則需滿足m<e2+-,

xe

???實數加的取值范圍是(3,/+3.

e

故選D.

【對點訓練20】(2024?福建廈門?廈門外國語學校校考一模)若至少存在一個了,使得

方程Inx-=-2ex)成立.則實數加的取值范圍為

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【答案】B

【解析】原方程化簡得:m=--x2+2ex,(x>0)有解，令f(x)=--x2+2夕,(x>0),

XX

f'M=上T+2(e-尤),當x>e時,((無)<0,所以f(x)在(e,+oo)單調遞減，當x<e時，

—(無)>0,所以f(x)在(。,e)單調遞增./(尤)max=7(e)=2+e?.所以4■+/選B.

ee

【對點訓練21】(2024?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習)設函數

f(x)=JC-2x-^+a(其中e為自然對數的底數)，若函數至少存在一個零點，則實

數4的取值范圍是()

1111

A.(0,1+-]B.(0,e+-]C.[e+—,+oo)D.(-co,1+-]

eeee

【答案】D

【解析】依題意得，函數/(X)至少存在一個零點，且/(x)=x2_2x-三+a,

e

可構造函數y=J?-2x和y=-三，

e

因為y=Y一2x,開口向上，對稱軸為x=l,所以(-雙1)為單調遞減，。，”)為單調遞

增；

而>=-5,則y'=*,由于e，>0,所以(-。,1)為單調遞減，。，+8)為單調遞增;

可知函數y=/-2x及>=-十■均在x=l處取最小值，所以〃x)在》=1處取最小值,

又因為函數/(x)至少存在一個零點，只需/。)<0即可，即：/(1)=1-2-1+?<0

解得：a<1+—.

e

故選：D.

【解題總結】

分類討論數學思想方法

題型七：唯一零點求值問題

【例7】(2024?全國-高三專題練習)已知函數/(力=,+2|+產2+修2-%+〃有唯一零點,

則實數〃二()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】設g(x)=/(x—2)=|x|+e*+eT+a,定義域為R,

g(-x)=|T|+e~A+e*+a=|x|+e