東莞市2024-2025學年第一學期七校聯考試題高一數學命題人：凌勇軍審題人：揭烽一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再結合交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：A.2.下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是（）A.梯形四邊形 B.，C.， D.存在一個實數x，使【答案】A【解析】【分析】分別判斷各命題是否為全稱量詞命題，是否為真命題.【詳解】對于A，是全稱量詞命題且為真命題，A選項正確；對于B，是全稱量詞命題，當時，，命題為假命題，B選項錯誤；CD選項都為存在量詞命題，不合題意.故選：A.3.“”成立的一個充分不必要條件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，解出不等式，然后將充分不必要條件轉化為真子集關系，即可得到結果.【詳解】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集為或，因此不等式成立的一個充分不必要條件，對應的范圍是解集的真子集，即是或的真子集.故選：B4.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.【詳解】由，解得，所以函數定義域是.故選：C.5.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別判斷選項中函數的奇偶性和單調性即可.【詳解】對A，函數是偶函數，當時，，在區間上單調遞增，A選項不合題意；對B，函數的定義域為，是非奇非偶函數，B選項不合題意；對C，設，定義域為，關于原點對稱，且，則函數是偶函數，當時，，在區間上單調遞減，C選項正確；對D，設，其定義域為，關于原點對稱，且，則函數，是奇函數，D選項不合題意.故選：C.6.設，，，則a、b、c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數函數和對數函數的單調性，比較大小.【詳解】指數函數在R上單調遞減，對數函數在上單調遞增，則有，即，又，所以.故選：C.7.已知函數（且）在上具有單調性，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函數的單調性，結合指數函數單調性，按單調遞減和單調遞增分類列式求解.【詳解】（且）在上具有單調性，當在上單調遞減時，，解得；當在上單調遞增時，，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數，是定義在R上的偶函數，且，在上單調遞減，則（）A.是偶函數 B.是奇函數C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數奇偶性的定義判斷AB，由函數單調性判斷CD.【詳解】由，得是奇函數，且定義域（全體實數）關于原點對稱，由，且定義域（全體實數）關于原點對稱，得為偶函數，故A，B選項均錯誤．由題易知函數在R上單調遞減，函數在上單調遞增，由，得，從而，即C選項錯誤．由，得，從而，即D選項正確．故選：D二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，選錯或不選得0分，部分選對的得部分分．）9.下列各組函數中是同一函數的是（）A.與 B.與C.與 D.【答案】CD【解析】【分析】直接利用定義域、對應關系、值域判斷函數是否是同一函數即可.【詳解】對于A，定義域為，定義域為，A錯；對于B，定義域為，定義域為，B錯；對于C，和定義域都是，，C正確；選項D，兩函數定義域、對應關系、值域相同，正確.故選：CD10.下列說法正確的是（）A.若，則B.若不等式的解集為，則C.當時，的最小值是D.函數（，且）過定點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，舉例判斷即可；對于B，由不等式解集可得為方程的根，代入即可；對于C，證明并給出取到等號的例子即可；對于D，代入驗證即可判斷.【詳解】對于A，當，時，有，但，故A錯誤；對于B，因為不等式的解集為，所以為方程的根，從而，即，故B正確；對于C，當時，有；而當時，有，所以的最小值是，故C正確；對于D，由于a>0，故恒有，所以函數過定點，故D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.若命題“，”為真命題，則實數a的取值范圍是B.已知，，則C.記表示x，y中最大的數，則的最小值為1D.函數，，其中表示不超過x的最大整數，則函數的最大值為1【答案】BC【解析】【分析】由二次不等式恒成立的條件判斷選項A；由，計算判斷選項B；由分段函數的單調性求最小值判斷選項C；利用取整函數的性質判斷選項D.【詳解】對于A，，，則有，解得，A選項錯誤；對于B，，，則，所以，B選項正確；對于C，時，有，則有，由一次函數和二次函數的性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，時，的最小值為1，C選項正確；對于D，，使得，從而恒成立，故D選項錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空3分，第二空2分．把答案填在答題卡中的橫線上．）12.計算的結果是______．【答案】【解析】【分析】根據指數冪及對數的運算性質計算即可.【詳解】.故答案為：.13.已知函數在上是減函數，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分類討論結合二次函數的單調性計算即可.【詳解】當時，在R上遞減，符合題意；當時，由二次函數的性質可知，且對稱軸，解之得.綜上：的取值范圍是.故答案為：14.若，且函數與的圖象若只有個交點，則寫出一個符合條件的集合______；若有兩個交點，則滿足條件的不同集合有______個．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】列舉出所有兩個不同函數的交點個數，篩選出符合題意的函數即可得結果.【詳解】函數與的圖象分別有個，個，個交點；函數與的圖象都有個交點；函數與的圖象有個交點，所以函數與的圖象若只有個交點，則或；函數與的圖象若只有個交點，則或或或.故答案為：（答案不唯一）；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集為R，集合（1）當時，求;（2）若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式化簡集合，，再利用補集、并集的定義求解即得.（2）根據給定條件，利用交集的結果，結合集合的包含關系求出的范圍【小問1詳解】解不等式，即，得，則，當時，，所以.【小問2詳解】依題意，，，由存在實數使""是""的充分不必要條件，轉化為是A的真子集，因此，其中等號不能同時取到，解得，所以實數的取值范圍是.16.已知函數是奇函數．（1）求實數a值；（2）證明在區間上單調遞減；（3）解不等式.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據題意，由奇函數的性質可得，即可得到結果；（2）根據題意，由定義法即可證明函數的單調性；（3）根據題意，結合函數的單調性，即可求解不等式.【小問1詳解】∵是奇函數，∴，則，經驗證此時為奇函數.【小問2詳解】∵，∴，設，則，，∵，∴，，則，則，則，即y=fx在區間1,+【小問3詳解】，∵y=fx在區間1,+∴不等式等價為，即，解得或，即不等式的解集為.17.某公司打算在2023年度建設某型手機芯片的生產線，建設該生產線的成本為300萬元，若該型芯片生產線在2024年產出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V（x）（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產的該型芯片都能以每枚80元的價格售出．（1）設2024年該型芯片生產線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數解析式；（2）請你為該型芯片的生產線的產量做一個計劃，要產出多少萬枚芯片才能使得2024年該型芯片的生產線所獲利潤最大，并預測最大利潤．【答案】（1）；（2）當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.【解析】【分析】（1）根據利潤等于售價減成本可求利潤的表達式；（2）根據的表達式分別求出每段函數的最大值即可【小問1詳解】由題意可得，，所以，即.【小問2詳解】當時，；當時，，在上單調遞增，；當時，由基本不等式有，當且僅當，即時等號成立，此時.綜上，當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.18.已知函數是定義在上的奇函數，當時，．（1）求函數的解析式；（2）在給定的直角坐標系內畫出的圖象，并指出的單調區間（不必說明理由）；（3）求在上的最大值和最小值（不必說明理由）；（4）求不等式的解集．【答案】（1）（2）圖象見解析，單調區間見解析（3）最大值為，最小值為（4）【解析】【分析】（1）根據題意，由函數的奇偶性代入計算，即可得到結果；（2）由分段函數的畫法即可得到函數圖象，結合圖像即可得到單調區間；（3）由二次函數的性質即可得到結果；（4）分，兩種情況解不等式求解即可.【小問1詳解】函數是定義在的奇函數，當時，，可得時，，即有，即有，綜上可得.【小問2詳解】函數的圖象如圖，由圖可知，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.【小問3詳解】由圖可知，，.【小問4詳解】當時，，由，得，解得；當時，，由，得，解得.綜上所述，不等式的解集為．19.我們知道，函數的圖象關于原點中心對稱的充要條件是為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于中心對稱的充要條件是為奇函數.（1）類比上述推廣結論，寫出“函數的圖象關于軸對稱的充要條件是為偶函數”的一個推廣結論；（2）直接寫出函數的圖象的對稱中心，并證明你的結論；（3）已知函數，函數滿足為奇函數，若函數與的圖象的交點為其中為正整數，求(結果用表示)【答案】（1）答案見解析（2）函數的圖象的對稱中心為，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據函數的奇偶性、對稱性等知識寫成推廣結論；（2）依題意可得，結合反比例函數的性質及函數的平移得到函數的對稱中心；（3）首先得到y=gx與均關于1,0對稱，結合對稱性計