讓分別是沿方向的單位向量。(1)計算：(2)向量和彼此正交，確定，(3)向量在方向上的投影有多長?解：（1）由正交關系，它立即得到:（2）由于向量和彼此正交，則（3）在方向上的投影(圖第1.1題):證明：解：(1) (2)(3)證明對于任意向量a,b,c和，下列恒等式成立：3.和是分別定義軸和軸的兩個正交向量。質點沿路徑線移動：是常數(shù)，且。1.從，到新的基底，到新的軸，這樣空間曲線的表示就變得特別簡單了。在以為參數(shù)的系中，空間曲線的參數(shù)表示是什么?2.空間曲線有什么幾何形式?3.計算的大小。和之間存在什么關系?4.計算解：（1）我們通過旋轉舊的坐標系得到新的基底(如圖)。當旋轉角度為45時，表示法變得特別簡單。因子負責正確的歸一化:系中帶t的空間曲線的參數(shù)表示:（2）這就得到了橢圓的中點方程:（3）（4）.注意，一般來說:這一項的內容如下:在我們的例子中，我們有:計算單位向量的散度。解:為標量場，為矢量場。證明：解：證明以下恒等式適用于任意標量和向量場和解：引入轉化為旋度的一般表達式：將前面的行列式展開，我們得到：其中，我們假設是一個（表現(xiàn)良好的）可微函數(shù)，即等。因為對于第二個恒等式，使用表達式?×F：其中，我們再次假設是可微函數(shù)。證明：解：為了很好地近似，嵌入等離子體中的點電荷（由帶電粒子組成的“氣體”）的標量靜電勢可以用以下公式描述：(1)確定的偏導數(shù)并記下。(2)計算，其中是拉普拉斯算子。解：（1）因此，勢的偏導數(shù)為：這就得到了梯度場：(2)因為，最終如下： 求出基上點的坐標的一般表達式，該表達式由基繞軸旋轉得到，并在平面上平移得到，如圖1.5所示。圖1.5繞軸旋轉并在平面上平移得到的坐標變化解：原基中的坐標與引基的關系由(1)將和寫成非素數(shù)基，并將寫成素數(shù)基(2)引入旋轉矩陣，我們可以用原始基來表示素數(shù)基，正如我們之前所做的那樣(3)將這個表達式插回（2）并簡化，我們得到(4)因此，素數(shù)基中坐標r’的表達式可以簡單地由下式給出(5)從圖1.5可以看出，我們可以將和寫成和的線性組合，如下所示(6)平移是在平面上執(zhí)行的，因此。因此，（5）特指我們的情況，簡單地說就是(7)和是笛卡爾坐標。拋物柱面坐標滿足轉換公式：1.計算雅可比行列式:2.體積元如何自我變換?解：1.2.1.質點沿勻速圓周運動。因此速度矢量在2s內改變方向60°。（1）計算2s時間間隔內的速度變化。（2）勻速圓周運動的向心加速度的大小是多少?解：(1).速度的大小沒有改變，因此它符合余弦規(guī)則:（2）對于向心加速度,有:從可以得到:于是:2.粒子受到振蕩力，其中和為常數(shù)。計算速度和軌跡用和表示。解：運動方程：(1)可以對t積分得到(2)其中，是速度的單位。(2)對的積分得到(3)3.在地球引力場中，兩塊石頭以相同的初速度垂直向上拋出，但時間間隔為。（1）計算并積分運動方程.（2）兩顆石頭什么時候相遇?（3）那么它們相遇時的速度有多大?解：（1）這是一個一維問題： （2） （3） 4..如果是常數(shù)(獨立于和)，確定速度和軌跡用和表示。解：運動方程是(1)我們在(1)的兩邊對積分，在和之間，然后，因為,和是常數(shù)，我們有(2)因此，t時刻的速度由(3)根據(jù)定義，因此(3)兩邊對的積分(4)因此，時刻的位置為(5)式(3)和(5)是期望解。它們分別是的線性函數(shù)和二次函數(shù)，如下所示(對于)。5.求出在恒定力作用下，粒子沿某慣性參考系軸作直線運動的表達式。解：因此，的表達式為的表達式最終為因此：6.給定一個描述圓形軌跡為常數(shù)，(逆時針運動)的類點粒子，計算解：軌道由給出因此v和微分弧長的表達式為這里還是。從前面的方程可以明顯看出切向量是由給出的(我們在極坐標中確定了與)，并且。利用第一個弗萊內公式，曲率由給出。因此，正如前面提到的，對于圓。同樣明顯的是法向量的表達式是：其中是極坐標中基底的另一個分量。圖3.2中的情況顯示了和。最后，加速度由通常定義角速度為，角加速度為。因此，我們可以把表示為：我們可以觀察到，即使在速度恒定的情況下，加速度中仍然有一個非零分量，法向加速度，它導致了運動方向的改變。7.設為兩個平行軸相對移動的笛卡爾坐標系。粒子在任意時間t處的位置用在中表示:和在中描述:（1）粒子在相對于的速度是多少?（2）粒子分別在中經歷了怎樣的加速度?（3）如果是一個慣性系，那么也是一個慣性系嗎?解：根據(jù)圖A.21:相對速度:（2）（3）如果是一個慣性系，那么也是一個慣性系，因為和。如果一個無力體在中勻速直線運動，那么在中也是如此。8.考察以下力場是否保守:解：9.給定勢能，點和點(笛卡爾)坐標，計算功。計算相應的力。檢查路徑上的功由兩段的和給出，其中，等于之前計算的10.一個質量為，動量為的粒子撞擊了一個在實驗室系統(tǒng)中靜止的質量相同的粒子(見圖3.16)。圖3.16兩個質量相同的粒子之間的碰撞若該碰撞為彈性碰撞,推導出和與之間的關系。解：粒子2在碰撞前處于靜止狀態(tài)(圖a.45)，運動發(fā)生在一個固定的平面上。動量守恒定律：逐分量:這可以歸納為:因為該過程為,能量定理:1.質點沿勻速圓周運動。因此速度矢量在2s內改變方向60°。（1）計算2s時間間隔內的速度變化。（2）勻速圓周運動的向心加速度的大小是多少?解：(1).速度的大小沒有改變，因此它符合余弦規(guī)則:（2）對于向心加速度,有:從可以得到:于是:2.粒子受到振蕩力，其中和為常數(shù)。計算速度和軌跡用和表示。解：運動方程：(1)可以對t積分得到(2)其中，是速度的單位。(2)對的積分得到(3)3.在地球引力場中，兩塊石頭以相同的初速度垂直向上拋出，但時間間隔為。（1）計算并積分運動方程.（2）兩顆石頭什么時候相遇?（3）那么它們相遇時的速度有多大?解：（1）這是一個一維問題： （2） （3） 4..如果是常數(shù)(獨立于和)，確定速度和軌跡用和表示。解：運動方程是(1)我們在(1)的兩邊對積分，在和之間，然后，因為,和是常數(shù)，我們有(2)因此，t時刻的速度由(3)根據(jù)定義，因此(3)兩邊對的積分(4)因此，時刻的位置為(5)式(3)和(5)是期望解。它們分別是的線性函數(shù)和二次函數(shù)，如下所示(對于)。5.求出在恒定力作用下，粒子沿某慣性參考系軸作直線運動的表達式。解：因此，的表達式為的表達式最終為因此：6.給定一個描述圓形軌跡為常數(shù)，(逆時針運動)的類點粒子，計算解：軌道由給出因此v和微分弧長的表達式為這里還是。從前面的方程可以明顯看出切向量是由給出的(我們在極坐標中確定了與)，并且。利用第一個弗萊內公式，曲率由給出。因此，正如前面提到的，對于圓。同樣明顯的是法向量的表達式是：其中是極坐標中基底的另一個分量。圖3.2中的情況顯示了和。最后，加速度由通常定義角速度為，角加速度為。因此，我們可以把表示為：我們可以觀察到，即使在速度恒定的情況下，加速度中仍然有一個非零分量，法向加速度，它導致了運動方向的改變。7.設為兩個平行軸相對移動的笛卡爾坐標系。粒子在任意時間t處的位置用在中表示:和在中描述:（1）粒子在相對于的速度是多少?（2）粒子分別在中經歷了怎樣的加速度?（3）如果是一個慣性系，那么也是一個慣性系嗎?解：根據(jù)圖A.21:相對速度:（2）（3）如果是一個慣性系，那么也是一個慣性系，因為和。如果一個無力體在中勻速直線運動，那么在中也是如此。8.考察以下力場是否保守:解：9.給定勢能，點和點(笛卡爾)坐標，計算功。計算相應的力。檢查路徑上的功由兩段的和給出，其中，等于之前計算的10.一個質量為，動量為的粒子撞擊了一個在實驗室系統(tǒng)中靜止的質量相同的粒子(見圖3.16)。圖3.16兩個質量相同的粒子之間的碰撞若該碰撞為彈性碰撞,推導出和與之間的關系。解：粒子2在碰撞前處于靜止狀態(tài)(圖a.45)，運動發(fā)生在一個固定的平面上。動量守恒定律：逐分量:這可以歸納為:因為該過程為,能量定理:質量為m的粒子在地球引力場中運動（）。因此，它做一維運動。計算作用量函數(shù) 對于路徑 因此，是一個原則上任意但連續(xù)可微的函數(shù)，。證明對于是極小的。解：拉格朗日算符： 它適用于給定的軌跡： 作用量函數(shù)： 其中 因為，則 第一項與無關，第二項的最小值為 因為，則 用柱坐標描述粒子的位置，粒子的勢能為 寫出拉格朗日函數(shù)推導拉格朗日運動方程 解：（1） 拉格朗日函數(shù)： （2）（2） 例子(彈簧擺):考慮一個末端質量為的彈簧構成的擺(見圖6.1)。彈簧被布置成一條直線(我們可以通過，比如說，將彈簧纏繞在一根剛性的無質量桿上)。彈簧的平衡長度為。彈簧的長度為，彈簧與垂直線的夾角為。假設運動發(fā)生在垂直平面上，求的運動方程。解：動能可以分解成徑向部分和切向部分，所以我們有 勢能來自重力和彈簧，所以我們有 因此，拉格朗日方程為： 因此，歐拉-拉格朗日方程是 和 確定下列函數(shù)的勒讓德變換（1）（2）解：（1）（2）證明對于函數(shù)以下關系是有效的：解：（1）（2）（3） 質量為m的物體受到約束（圖2.1）， 求該物體的哈密頓運動方程。解：因此具有恰好一個自由度，使用廣義坐標: 變換公式如下： 動能和勢能則為： 由此我們導出廣義動量： 我們將其插入: 并由此執(zhí)行勒讓德變換： 哈密頓運動方程為： 我們考慮彈簧上的質量，彈簧常數(shù)服從胡克定律 其中表示質量塊從其靜止位置的位移（圖2.2）。約束條件 求該物體的哈密頓運動方程。解：注意質量是一維運動，使用廣義坐標 我們立即發(fā)現(xiàn)： 在最后一個方程中，我們用廣義動量代替： 則 我們得到該物體的哈密頓函數(shù)為： 這是一個具有嚴格約束的保守系統(tǒng)的例子。因為 等于總能量,可以寫為： 然后得到橢圓的中點方程。系統(tǒng)在相空間中的路徑是具有半軸的橢圓 正則方程組： (1)確定由質點的線動量p和角動量L=r*p的笛卡爾分量構成的泊松括號。(2)計算由L組成的泊松括號。解：對于任意相函數(shù)，有：我們在這里使用:類似地，我們可以找到其他括號:其中和循環(huán)，三階完全反對稱單位張量2.其他括號的計算方法完全類似:其中和循環(huán)建立無力粒子的Hamilton-Jacobi微分方程，求解特征函數(shù)W。解： 哈密爾頓-雅可比微分方程： 給出了具有Hamilton函數(shù)的機械系統(tǒng)，以及正則變換的生成函數(shù):解：1.變換公式是什么新的漢密爾頓函數(shù)是什么解：1.2.由于，我們有:1.一個剛體有多少個自由度(即需要多少個獨立坐標才能唯一確定它在給定時刻的空間位置):（1）繞著空間中固定的軸旋轉?（2）在過渡時期（轉變中的）（3）在二維（平面或層流）運動中？（4）一般情況下呢?解：只需要一個坐標，即旋轉角度:。（2）由于沒有旋轉，只要指定物體內(或相對于)一點的軌跡就足夠了:（3）平面運動包括平行于固定平面的平移和繞垂直于固定平面的軸的旋轉。平移需要兩個坐標，旋轉需要一個:。（4）一般來說，如果剛體上固定或相對于剛體的三個非線性共線點的坐標已知，那么剛體的位置就確定了。這需要個坐標。然而，并非所有這些坐標都是獨立的。剛性要求提供了它們之間的三種關系，因此。(這也可以通過首先指定一個點的位置來推導——例如，質心。這需要個坐標。第二個點的位置需要個坐標，因為是固定的，第三個非共線點B的位置只需要一個坐標，因為和是固定的，即)2.考慮一個剛體，該剛體繞固定軸（比如軸）旋轉，角速度。a. 表明物體繞旋轉軸的角動量的分量是：12.4b. 表明旋轉動能為：,。解：a.第個粒子的速度為 所以 b. 3.將問題2關于繞固定軸旋轉的結果擴展為剛體的平面運動。12.5解：在剛體的平面運動中，每個質點平行于固定平面運動。運動可以用CM的二維運動和繞的旋轉來表示(意思是通過繞軸旋轉并垂直于固定平面)。對于旋轉運動，我們考慮的角動量： 讓固定平面平行于平面。然后，，的計算如問題2所示。的結果為 是關于（即關于軸線）的慣性矩。對于剛體，與無關，因此旋轉運動方程的分量： 這里，是繞軸的力矩。總動能由平移和旋轉貢獻組成： 對于保守外力，相對于慣性系的機械能為 4.定義剛體繞某軸旋轉的角速度，然后推導出物體中一個點的速度與相對于該軸原點的位置向量的關系。（提示：首先，繪制一張圖表，顯示旋轉軸、向量及其軌跡。）12.3解：5.假設剛體的一個點固定在慣性空間中。設為固定在物體內的坐標系，為物體相對于原點為的慣性系的角速度。關于的角動量，用物體坐標表示，為：12.6 證明是由的分量表示的： 其中： 解：我們從矢量積開始，在系統(tǒng)中表示為： 直接計算得出 通過在（1）中代入（6），我們得到（2）-（4）。6.設為剛體繞軸通過點的慣性矩，設為繞平行軸通過質心的慣性矩,證明: 其中是物體的質量，是軸之間的距離。解：例如，考慮繞軸的轉