點、直線、平面的投影本章學習目標：掌握正投影法的基本理論，搞清平面和空間對應關系，建立初步的空間概念。主要內容：支撐知識點

擴展知識點投影法的基本知識1.投影法概念及分類2.正投影法特性點的投影1.點的投影規律2.點的坐標與投影的關系直線的投影1.各種位置直線的投影2.直線上的點平面的投影1.各種位置平面的投影2.平面內的點和直線第一節投影法的基本知識一、投影法的基本概念點、直線、平面的投影(投影中心S)投射線ABCbca投影面P二、投影法的分類1.中心投影法第一節投影法的基本知識(投影中心S)ABCbcaP,

度量性差立體感強常用于表達建筑物的外貌和機械造型。（透視圖）2.平行投影法斜投影正投影ABCabcABCabc第一節投影法的基本知識3.平行投影法的基本特性2）顯實性；3）積聚性；4）平行性abcNMnmABCABCm(n)MN1）類似性a(b)c第一節投影法的基本知識☆

正投影的基本特性度量性好,在工程圖樣中廣泛采用正投影。,作圖簡便第一節投影法的基本知識第二節點的投影一、點的投影點的一個投影不能確定點的空間位置Aa(b)BAa'ab'點、直線、平面的投影H二、點的三面投影

1.三面投影體系的建立投影面：正立投影面（V面）水平投影面（H面）側立投影面（W面）WVZY投影軸：V面與H面的交線——X軸V面與W面的交線——Z軸H面與W面的交線——Y軸XO第二節點的投影WYWHYH

2.點的三面投影HWVZYXO投影的展開：V面不動，H面以OX為軸向下向后轉90°，W面以OZ為軸向右向后轉90°。Aaa'a"aa"aXayaz第二節點的投影HW3.點的三面投影規律VZYHYwXOa'aXaYwaZaa’’aYh兩個垂直：投影連線垂直于相應的投影軸。即：a

a⊥OX軸;a

a

⊥OZ軸一個相等：空間點到投影面的距離等于相應投影到投影軸的距離。有：aax=a"

az=Aa

第二節點的投影4.點的投影與坐標的關系點由坐標確定其空間位置A（X，Y，Z)由兩面投影可以確定空間點的位置。YHYWOXZa′a"aXZXYYZHWVZYXOAaa'a"aXayazXXXYZYYZZ第二節點的投影【例1】已知點A的坐標為(25,15,10),求其三面投影YHYWOXZaXa"a′a第二節點的投影5.兩點的相對位置及重影點X坐標大的在左；Y坐標大的在前；Z坐標大的在上。HWVYXOAaa'b'bb"a"BZ(c')XAXBYAYBZAZBCYHYWOXZa′a"abb”b′c(c’)c”左前前上第二節點的投影【例2】根據點的三面投影,判斷點的空間位置第二節點的投影第三節直線的投影一、直線的投影點、直線、平面的投影HWVYXOAaa'b'bb"a"BZYHYWOXZa′a"abb”b′直線的投影一般仍為直線二、直線的分類1.一般位置直線HWVYXOAaa'b'bb"a"BZED一般位置直線的三個投影均小于實長，并且傾斜于相應的投影軸，YHYWOXZa′a"abb′b"F第三節直線的投影αβγAB實長β2.投影面的平行線HWVYXOAaa'b'bb"a"BZYHYWOXZa′a"abb′b"第三節直線的投影與一個投影面平行，與另外兩個投影面都傾斜的直線：水平線正平線側平線水平線的投影特點：1.ab=AB；反映β、γ實角；2.a′b′//OX軸，a"b"http://OYW軸，均小于實長

正平線HWVYXOAaa'b'bb"a"BZYHYWOXZa′a"abb′b"第三節直線的投影正平線的投影特點：1.a′b′=AB；反映α、γ角；2.ab//OX軸，a"b"http://OZ軸，均小于實長

側平線HWVYXOAaa'b'bb"a"BZYHYWOXZa′a"abb′b"第三節直線的投影投影面的平行線的投影特性：1.在所平行的投影面內，其投影反映實長及傾角；2.另兩面投影均小于實長且分別平行于相應的投影軸。2.投影面的垂直線第三節直線的投影與一個投影面垂直（與另外兩個投影面必平行）的直線：鉛垂線正垂線側垂線鉛垂線的投影特點：HWVYXOAa(b)a'b'b"a"BZYHYWOXZa′a"b′b"a(b)1.ab積聚為一點；2.a′b′⊥OX軸，a"b"⊥OYW軸，均等于實長

正垂線第三節直線的投影正垂線的投影特點：HWVYXOAaa'(b')b"a"BZbYHYWOXZa′(b′)a"b"ab1.a′b′積聚為一點；2.ab⊥

OX軸，a"b"⊥O

Z軸，均等于實長

側垂線第三節直線的投影投影面的垂直線的投影特性：HWVYXOAaa'a"(b")BZbb'YHYWOXZb′a"(b")aba′1.在所垂直的投影面內，其投影積聚為一點；2.另兩面投影均反映實長且分別垂直于相應的投影軸【例1】根據投影判斷直線空間位置側平線側垂線一般位置直線第三節直線的投影三、直線上點的投影OXa'ab'bcc'AC:CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"1.從屬性2.定比性aba'b'OXVHABCcc'第三節直線的投影【例2】

根據投影，判斷點K是否屬于線段AB。YWYHZa"b"k"a‘k':k'b'≠ak:kbK點不在直線AB上bOXa′ab′kk′第三節直線的投影【例3】在線段AB上確定一點C，使AC:CB=2:3。OXa'ab'bc'cC0B0aba'b'OXVHABCcc'第三節直線的投影本次作業共3頁第二節點的投影第二節點的投影第三節直線的投影第四節平面的投影一、平面表示法c'b'a'abcd'dbc'b'a'acc'b'a'abcc'b'a'abcd'dk'kbc'b'a'ac點、直線、平面的投影二、各種位置平面的投影特性

1.一般位置平面YHYWOXZa′a"ab′bc”b”c′三面投影均為面積小于原圖形的類似形HWVYXOAaa'c'bb"cc"b'a"ZBC第四節平面的投影HWVYXZOC

2.投影面的垂直面YHYWOXZa′a"a(b)b′cc”b”c′鉛垂面的投影特點：1.水平投影積聚為一直線，且傾斜于投影軸；2.另兩面投影都是小于原圖形的類似形第四節平面的投影ABa(b)ca'b'c'b"c"a"與一個投影面垂直，與另外兩個投影面都傾斜的平面：鉛垂面正垂面側垂面HWVYXZOC

正垂面YHYWOXZa′(b')a"bcc”b”c′a正垂面的投影特點：1.正面投影積聚為一直線，且傾斜于投影軸；2.另兩面投影都是小于原圖形的類似形第四節平面的投影Bbca'(b')c'b"c"a"aA

側垂面YHYWOXZa′a"bcc”(b”)c′ab'投影面的垂直面投影特性：1.在所垂直的投影面內，其投影積聚為一直線，且傾斜于投影軸；2.另兩面投影都是小于原圖形的類似形第四節平面的投影HWVYXZObca'c'(b")c"a"aAb'CBHWVYXZOC

2.投影面的平行面水平面的投影特點：1.水平投影反應實形；2.正面投影積聚成直線段，平行于OX投影軸；

側面投影積聚成直線段，平行于OY投影軸第四節平面的投影ABaca'b'c'b"c"a"b與一個投影面平行的平面：水平面正平面側平面YHYWOXZa′a"bb′cc”b”c′aHWVYXZOC

正平面YHYWOXZa′a"bcc”b”c′ab'正平面的投影特點：1.正面投影反應實形；2.水平投影積聚成直線段，平行于OX投影軸；側面投影積聚成直線段，平行于OZ投影軸第四節平面的投影bca'c'b"c"a"aAb'B

側平面YHYWOXZa′a"bcc”c′ab'b”投影面的平行面投影特性：1.在所平行的投影面內，其投影反應實形；2.另兩面投影都積聚成直線段，且分別平行于相應的投影軸第四節平面的投影HWVYXZObca'c'b"c"a"aAb'CB【例1】已知平面的投影，判斷平面的空間位置。正平面bca（1）判斷平面位置（2）判斷平面位置，選擇正確的側面投影正垂面正確錯誤錯誤第四節平面的投影【例1】

找出立體上指定平面的投影，并判斷平面的位置正垂面鉛垂面水平面一般位置平面第四節平面的投影三、平面內的點和直線幾何性質：1.若點在平面內，則過該點和面內任一點相連的直線，必屬于該平面。PNMLkO2.若直線在平面內，則該直線和面內的其他直線，不平行，便相交。第四節平面的投影【例2】

已知直線與平面的投影，判斷直線是否在平面內。m'n'mna'b'c'abc1'2'12結論：MN不在三角形平面內第四節平面的投影【例3】在平面ABC內作一條正平線，使其到V面的距離為20mm。OXa'b'c'bac20k'l'kl第四節平面的投影【例4】已知△ABC在平面內，完成其投影。12a'b'31'2'3'mm'c'abcOX第三節直線的投影【例5】完成平面五邊形ABCDE的正面投影。EB為水平線。第四節平面的投影a'b'abedcBACDEⅠⅡe'11'c'2'2d'【例5】完成平面五邊形ABCDE的水平投影。EB為正平線。a'b'c'd'e'ab2'e21'1dBACDEⅠⅡc第四節平面的投影本次作業共3頁第四節平面的投影第四節平面的投影第四節平面的投影第五節換面法點、直線、平面的投影☆換面法的基本概念bXVHa'b'aABOa1'b1'V1新面舊面不變面X1新軸空間幾何元素位置不動，用新投影面代替原有的投影面（舊投影面），然后求出其新投影面上的投影換面法的基本原則:2）新面相對于空間幾何元素應處于有利于解題的特殊位置;3）多次換面時，應該交替更換投影面1）新面垂直于原投影體系中的某一投影面（不變面）;第五節換面法一、點的投影變換1.點的一次換面XVHa'aAOa1'V1XX1HV1a'aa1'HVO換面規律:1）

新投影和不變投影的連線垂直于新軸;X12）新投影到新軸距離等于舊投影到舊軸距離HaAX1V1a1'1)更換V面--點在V1面上的新投影===第五節換面法2)更換H面--點在H1面上的新投影XVHa'aAOH1X1a1XX1VH1a'aa1VHOVa'aAOH1X1a1=第五節換面法2.點的二次換面第五節換面法XVHa'aAOa1'V1X1H2X2a2Xa'aHVOX1HV1a1'X2H2V1==a2====二次換面的不變面二次換面的舊面==二、直線的投影變換

1.一般位置直線→新投影面平行線第五節換面法V1bXVHa'b'aABOa1'b1'X1αX1HV1a1'b1'Xa'ab'bOαX1∥abAB實長對不變面傾角ab∥新軸不變面實長求傾角β?第五節換面法H1XVHa'b'aABObXa'ab'bOX1a1b1新軸∥a'b'AB實長βX1VH1a1b1AB實長對V面傾角ββ2.投影面平行線→新投影面垂直線第五節換面法bXVHa'b'aABOX1ab⊥新軸X1HV1Xa'ab'Oba'1(b’1)b'1(a’1)V1正平線→新面H1垂直線第五節換面法H1bXVHa'b'aABOa1(b1)X1X1VH1Xa'ab'Oba1(b1)新軸⊥a'b'【例1】第五節換面法X1HV1【例2】求△ABC與△BCD的夾角。第五節換面法分析:△ABC與△ABD的交線AB→垂直線Xa'ab'cOc'bd'dX1HV1b'1(c’1)a'1d'1所求夾角PABCDb(c)da一般位置直線→新面垂直線?第五節換面法平行線V1bOXVHa'b'aABa1'b1'X1aH2b2(a2)X2X1HV1a1'b1'Xa'ab'bOH2V1b2(a2)X2三、平面的投影變換

1.一般位置平面→新投影面垂直面第五節換面法XVHa'abb'c'cACBV1X1d'1(b’1)d'dDHV1Xa'ac'bb'cX1d’1(b’1)d'da’1c’1αPMN