專題09旋轉兩種解題模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：奔馳模型 2題型二：費馬點模型 15壓軸能力測評 21模型一：奔馳模型旋轉是中考必考題型，奔馳模型是非常經典的一類題型，且近幾年中考中經常出現。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉解決問題的能力，更重要的是要明白一點:旋轉的本質是把分散的條件集中化，從而解決問題模型二：費馬點模型最值問題是中考常考題型，費馬點屬于幾何中的經典題型，目前全國范圍內的中考題都是從經典題改編而來，所以應熟練掌握費馬點等此類最值經典題。題型一：奔馳模型一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?順平縣期中）如圖，是等邊三角形內的一點，且，，，將繞點順時針旋轉到位置．連接，則以下結論錯誤的是A． B． C． D．二．填空題（共4小題）2．（2023秋?北屯市校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知是等邊三角形，點的坐標是，點在第一象限，的平分線交軸于點，把繞著點按逆時針方向旋轉，使邊與重合，得到，連接．則，點坐標為．3．（2023秋?長寧區校級期中）已知在中，，，（如圖），把繞著點按順時針方向旋轉，將點、的對應點分別記為點、，如果△為直角三角形，那么點與點的距離為．4．（2022秋?新撫區期中）如圖，正方形中，將邊繞著點旋轉，當點落在邊的垂直平分線上的點處時，的度數為．5．（2021秋?盤龍區校級期中）如圖，是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中正確有（填序號）①是等邊三角形②是直角三角形③④三．解答題（共6小題）6．（2022秋?西湖區校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉到的位置，使，，三點在同一直線上，連接，求的度數．7．（2021秋?長樂區期中）在中，，，，將繞點順時針旋轉一定的角度得到，點，的對應點分別是，，連接．（1）如圖1，當點恰好在邊上時，求的大小；（2）如圖2，若為中點，求的最大值．8．（2022秋?東勝區校級期中）（原題初探）（1）小明在數學作業本中看到有這樣一道作業題：如圖1，是正方形內一點，連結，，現將繞點順時針旋轉得到的△，連接．若，，，則的長為，正方形的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點是等邊內的一點，且，，，請猜想的度數，并說明理由．（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長度為．9．（2023秋?梁山縣期中）如圖，是正三角形內的一點，且，，．若將繞點逆時針旋轉后，得到△．（1）求點與點之間的距離；（2）求的度數．10．（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程，請補充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內部有一點，，，，求的度數．解：將繞點逆時針旋轉，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為三角形．的度數為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內部有一點，若，試判斷線段、、之間的數量關系，并說明理由．11．（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1，等邊（邊長為按如圖所示方式設置．操作與證明：（1）操作：固定等邊（邊長為，將繞點按逆時針方向旋轉，連接，，如圖2；在圖2中，請直接寫出線段與之間具有怎樣的大小關系．（2）操作：若將圖1中的，繞點按逆時針方向旋轉任意一個角度，連接，，與相交于點，連，如圖3；在圖3中線段與之間具有怎樣的大小關系？的度數是多少？證明你的結論．猜想與發現：（3）根據上面的操作過程，請你猜想在旋轉過程中，當為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？題型二：費馬點模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?蕭山區期中）如圖，已知，，，點在內，將繞著點逆時針方向旋轉得到．則的最小值為A．10 B． C． D．二．解答題（共2小題）2．（臺州期中）（1）知識儲備①如圖1，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：．②定義：在所在平面上存在一點，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離．（2）知識遷移①我們有如下探尋（其中，，均小于的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓，根據（1）的結論，易知線段的長度即為的費馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出的費馬點（要求尺規作圖）．（3）知識應用①判斷題（正確的打，錯誤的打ⅰ．任意三角形的費馬點有且只有一個；ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內部．②已知正方形，是正方形內部一點，且的最小值為，求正方形的邊長．3．（宿豫區校級期中）探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知所在平面上存在一點，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離；②如圖（B），若四邊形的四個頂點在同一圓上，則有．此為托勒密定理；（2）知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據（2）①的結論，我們有如下探尋（其中、、均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接、、、．易知；第三步：請你根據（1）①中定義，在圖（D）中找出的費馬點，并請指出線段的長度即為的費馬距離．（3）知識應用：2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊、、構成了如圖（E）所示的（其中、、均小于，現選取一點打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．1．（連城縣期中）（1）如圖1，點是等邊內一點，已知，，，求的度數．要直接求的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內，如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點是內一點，，，，求的度數．2．（西城區校級期中）如圖，是等邊內的一點，且，，，將繞點逆時針旋轉，得到．求：（1）點與點之間的距離；（2）求的度數．3．（漢陽區期中）如圖，是等腰內一點，，連接，，．（1）如圖1，當時，將繞點順時針旋轉，畫出旋轉后的圖形；（2）在（1）中，若，，，求的大小；（3）當時，且，，，則的面積是（直接填答案）4．（漢陽區期中）（1）閱讀證明①如圖1，在所在平面上存在一點，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖2，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：．（2）知識遷移根據（1）的結論，我們有如下探尋（其中，，均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖3，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上取一點，連接，，，．易知；第三步：根據（1）①中定義，在圖3中找出的費馬點，線段的長度即為的費馬距離．（3）知識應用已知三村莊，，構成了如圖4所示的（其中，，均小于，現選取一點打水井，使水井到三村莊，，所鋪設的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．5．（當涂縣校級期中）如圖，點是等邊外一點，，，（1）將繞點逆時針旋轉得到△，畫出旋轉后的圖形；（2）在（1）的圖形中，求的度數．

專題09旋轉兩種解題模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：奔馳模型 2題型二：費馬點模型 15壓軸能力測評 21模型一：奔馳模型旋轉是中考必考題型，奔馳模型是非常經典的一類題型，且近幾年中考中經常出現。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉解決問題的能力，更重要的是要明白一點:旋轉的本質是把分散的條件集中化，從而解決問題模型二：費馬點模型最值問題是中考常考題型，費馬點屬于幾何中的經典題型，目前全國范圍內的中考題都是從經典題改編而來，所以應熟練掌握費馬點等此類最值經典題。題型一：奔馳模型一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?順平縣期中）如圖，是等邊三角形內的一點，且，，，將繞點順時針旋轉到位置．連接，則以下結論錯誤的是A． B． C． D．【分析】根據等邊三角形性質以及勾股定理的逆定理，即可判斷；依據是等邊三角形，即可得到，進而得出，求出即可判斷選項．【解答】解：是等邊三角形，，將繞點順時針旋轉到位置，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，即是直角三角形，故正確，是等邊三角形，，故正確，，故正確，若，則，與，，不符，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．二．填空題（共4小題）2．（2023秋?北屯市校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知是等邊三角形，點的坐標是，點在第一象限，的平分線交軸于點，把繞著點按逆時針方向旋轉，使邊與重合，得到，連接．則，點坐標為．【分析】根據等邊三角形的每一個角都是可得，然后根據對應邊的夾角為旋轉角求出，再判斷出是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得，根據，的平分線交軸于點，，利用三角函數求出，從而得到，再求出，然后寫出點的坐標即可．【解答】解：是等邊三角形，，繞著點按逆時針方向旋轉邊與重合，旋轉角，，是等邊三角形，，，的坐標是，的平分線交軸于點，，，，，，，，，點的坐標為，．故答案為：；點的坐標為，．【點評】本題考查了旋轉的性質，坐標與圖形性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，熟記各性質并判斷出是等邊三角形是解題的關鍵．3．（2023秋?長寧區校級期中）已知在中，，，（如圖），把繞著點按順時針方向旋轉，將點、的對應點分別記為點、，如果△為直角三角形，那么點與點的距離為或．【分析】根據△為直角三角形，分兩種情況：①當點在線段延長線上時，△為直角三角形；②當點在線段上時，△為直角三角形，依據線段的和差關系進行計算即可得到點與點的距離．【解答】解：分兩種情況：①當點在線段延長線上時，△為直角三角形，，，，，，，；②當點在線段上時，△為直角三角形，同理可得，，，；綜上所述，點與點的距離為或．故答案為：或．【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，銳角三角函數的應用，運用分類思想是本題的關鍵．4．（2022秋?新撫區期中）如圖，正方形中，將邊繞著點旋轉，當點落在邊的垂直平分線上的點處時，的度數為或．【分析】分兩種情況討論，由旋轉的性質和線段垂直平分線的性質可得是等邊三角形，由等腰三角形的性質可求解．【解答】解：如圖，當點在的右邊時，是的垂直平分線，四邊形是正方形，垂直平分，，將邊繞著點旋轉，，是等邊三角形，，，，，；當點在的左邊時，同理可得△是等邊三角形，，，，，，，的度數為或．故答案為：或．【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等邊三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．5．（2021秋?盤龍區校級期中）如圖，是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中正確有①②③（填序號）①是等邊三角形②是直角三角形③④【分析】根據等邊三角形性質得出，根據全等得出，，，，求出，即可判斷①，根據勾股定理的逆定理即可判斷②；求出，，即可判斷③，求出和判斷④．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，即是直角三角形，是等邊三角形，，，，，即，故答案為：①②③．【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定、勾股定理的逆定理的應用，掌握全等三角形的性質、等邊三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解題的關鍵．三．解答題（共6小題）6．（2022秋?西湖區校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉到的位置，使，，三點在同一直線上，連接，求的度數．【分析】由已知直接可得旋轉中心為點，旋轉的度數為，而，，即得，由此即可求出的度數．【解答】解：等腰直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉到的位置，旋轉中心為點，旋轉的度數為，，，，，的度數為，．【點評】本題考查等腰直角三角形中的旋轉問題，解題的關鍵是掌握等腰直角三角形性質及旋轉的性質．7．（2021秋?長樂區期中）在中，，，，將繞點順時針旋轉一定的角度得到，點，的對應點分別是，，連接．（1）如圖1，當點恰好在邊上時，求的大小；（2）如圖2，若為中點，求的最大值．【分析】（1）由旋轉可得：，，，再運用三角形內角和定理即可得出答案；（2）如圖2，連接，利用等腰三角形的性質證明，然后證明、、、四點共圓，接著利用圓是圓中最長的弦即可求解．【解答】解：（1）如圖1，繞點順時針旋轉得到，點恰好在上，，，，，；（2）如圖2，連接，，為中點，，，而，、、、四點共圓，為這個圓的直徑，為這個圓的一條弦，，，，的最大值為8．【點評】此題主要考查了旋轉的性質，同時也利用了含角的直角三角形的性質，有一定的綜合性．8．（2022秋?東勝區校級期中）（原題初探）（1）小明在數學作業本中看到有這樣一道作業題：如圖1，是正方形內一點，連結，，現將繞點順時針旋轉得到的△，連接．若，，，則的長為，正方形的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點是等邊內的一點，且，，，請猜想的度數，并說明理由．（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長度為．【分析】（1）由旋轉的性質得，，，，則為等腰直角三角形，再由勾股定理得，過點作交的延長線于，則是等腰直角三角形，得，得，然后由勾股定理即可求解；（2）由旋轉的性質得是等邊三角形，則，，，，再由勾股定理的逆定理得為直角三角形，即可求解；（3）由旋轉的性質得，，，則是等腰直角三角形，得，，再證，即可解決問題．【解答】解：（1）繞點順時針旋轉得到的△，，，，，為等腰直角三角形，，，，在△中，由勾股定理得：，過點作交的延長線于，如圖1所示：，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：，；（2）的度數為，理由如下：是等邊三角形，，，將繞點逆時針旋轉，得到△，連接，如圖2所示：則是等邊三角形，，，，，，為直角三角形，，；（3），是等腰直角三角形，，，將繞點順時針旋轉，得到，連接，如圖3所示：由旋轉的性質得：，，，是等腰直角三角形，，，，是直角三角形，，，故答案為：．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、旋轉的性質、等腰直角三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理和勾股定理的逆定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質和旋轉的性質是解題的關鍵，屬于中考常考題型．9．（2023秋?梁山縣期中）如圖，是正三角形內的一點，且，，．若將繞點逆時針旋轉后，得到△．（1）求點與點之間的距離；（2）求的度數．【分析】（1）由已知繞點逆時針旋轉后，得到△，可得△，，旋轉角，所以為等邊三角形，即可求得；（2）由為等邊三角形，得，在△中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出，可求的度數．【解答】解：（1）連接，由題意可知，，，而，所以度．故為等邊三角形，所以；（2）利用勾股定理的逆定理可知：，所以為直角三角形，且可求．【點評】本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．10．（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程，請補充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內部有一點，，，，求的度數．解：將繞點逆時針旋轉，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內部有一點，若，試判斷線段、、之間的數量關系，并說明理由．【分析】（1）根據勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數；（2）把繞點順時針旋轉得到，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，，然后求出是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得出，，再求出，然后利用勾股定理得出，等量代換得出．【解答】解：（1）如圖1，將繞點逆時針旋轉，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數為．故答案為：直角；；（2）．理由如下：如圖2，把繞點順時針旋轉得到，連接．則，，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，，．【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質，等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．11．（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1，等邊（邊長為按如圖所示方式設置．操作與證明：（1）操作：固定等邊（邊長為，將繞點按逆時針方向旋轉，連接，，如圖2；在圖2中，請直接寫出線段與之間具有怎樣的大小關系．（2）操作：若將圖1中的，繞點按逆時針方向旋轉任意一個角度，連接，，與相交于點，連，如圖3；在圖3中線段與之間具有怎樣的大小關系？的度數是多少？證明你的結論．猜想與發現：（3）根據上面的操作過程，請你猜想在旋轉過程中，當為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？【分析】（1）利用證明即可；（2）利用證明，得，，再利用三角形內角和定理可得答案；（3）點在以點為圓心，長為半徑的圓上運動，當，，三點共線時，最長或最短．【解答】解：（1）；將繞點按逆時針方向旋轉，，在和中，，，；（2），，理由如下：設與交于點，將繞點按逆時針方向旋轉度，，與是等邊三角形，，，，，，，，（3）由旋轉的性質可知，點在以點為圓心，長為半徑的圓上運動，當，，三點共線時，最長或最短．當為時，線段的長度最大，等于；當為（或時，線段的長度最小，等于．【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定等知識，證明是解題的關鍵．題型二：費馬點模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?蕭山區期中）如圖，已知，，，點在內，將繞著點逆時針方向旋轉得到．則的最小值為A．10 B． C． D．【分析】連接，過點作，與的延長線交于點，由旋轉可知，，，，于是可得為等邊三角形，進而得到，利用含30度的直角三角形性質可得，，最后利用勾股定理求出的長即可．【解答】解：如圖，連接，過點作，與的延長線交于點，則，將繞著點逆時針方向旋轉得到，，，，，為等邊三角形，，，，當點、、在同一條直線上時，取得最小值為，即取得最小值為，，，，，，，在中，，取得最小值為．故選：．【點評】本題主要考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形性質、勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵．二．解答題（共2小題）2．（臺州期中）（1）知識儲備①如圖1，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：．②定義：在所在平面上存在一點，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離．（2）知識遷移①我們有如下探尋（其中，，均小于的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓，根據（1）的結論，易知線段的長度即為的費馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出的費馬點（要求尺規作圖）．（3）知識應用①判斷題（正確的打，錯誤的打ⅰ．任意三角形的費馬點有且只有一個；ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內部．②已知正方形，是正方形內部一點，且的最小值為，求正方形的邊長．【分析】（1）①根據已知首先得出為等邊三角形，進而得出，即；（2）①利用（1）中結論得出；以及線段的性質“兩點之間線段最短”容易獲解；②畫出圖形即可；也可以將繞點按順時針旋轉得到，連接，作，然后在上截取，則△是等邊三角形，由旋轉的性質及兩點之間線段最短即可得出結論；（3）①根據費馬點和費馬距離的定義直接判定即可；②將沿點逆時針旋轉到△，如圖5，根據的最小值為，得的最小值為，即，設正方形的邊長為，根據勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的邊長．【解答】（1）①證明：在上取一點，使，連接，是等邊三角形，，又，是正三角形，，，，又，，，，；（4分）（2）①如圖2，得：，當、、共線時，的值最小，線段的長度即為的費馬距離，故答案為：；（6分）②過和分別向外作等邊三角形，連接，，交點即為．（過或作外接圓視作與圖2相同的方法，不得分）．（8分）（3）①ⅰ．；ⅱ．當三角形有一內角大于或等于時，所求三角形的費馬點為三角形最大內角的頂點（10分）故答案為：，，，；②解：將沿點逆時針旋轉到△，如圖5，過作，交的延長線于，連接，易得：，，，，，，△是正三角形，，的最小值為，的最小值為，，，，在同一直線上，即，（12分）設正方形的邊長為，，，，在△中，，，得：，，在△中，由勾股定理得：，解得：（舍去）正方形的邊長為2．（14分）【點評】此題是圓的綜合題，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費馬點和費馬距離，還考查了等邊三角形的性質、三角形全等、勾股定理等知識．難度很大，理解新定義是本題的關鍵．3．（宿豫區校級期中）探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知所在平面上存在一點，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離；②如圖（B），若四邊形的四個頂點在同一圓上，則有．此為托勒密定理；（2）知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據（2）①的結論，我們有如下探尋（其中、、均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接、、、．易知；第三步：請你根據（1）①中定義，在圖（D）中找出的費馬點，并請指出線段的長度即為的費馬距離．（3）知識應用：2010年4月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊、、構成了如圖（E）所示的（其中、、均小于，現選取一點打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．【分析】（2）知識遷移①問，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長，即可獲證．②問，借用①問結論，及線段的性質“兩點之間線段最短”數學容易獲解．（3）知識應用，在（2）的基礎上先畫出圖形，再求解．【解答】（2）①證明：由托勒密定理可知是等邊三角形，，②、，（3）解：如圖，以為邊長在的外部作等邊，連接，則知線段的長即為最短距離．為等邊三角形，，，，，，在中，，，，從水井到三村莊、、所鋪設的輸水管總長度的最小值為．【點評】此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質、三角形相似、解直角三角形等知識．難度很大，有利于培養同學們鉆研問題和探索問題的精神．1．（連城縣期中）（1）如圖1，點是等邊內一點，已知，，，求的度數．要直接求的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內，如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點是內一點，，，，求的度數．【分析】（1）如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．只要證明，推出，，再利用勾股定理的逆定理即可解決問題；（2）把繞點逆時針旋轉得到，如圖，想辦法證明是等腰三角形即可解決問題；【解答】解：（1）如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，，是等邊三角形，，，，，，在中，，，，故答案為：，，，90．（2）解：，，把繞點逆時針旋轉得到，如圖，，，，為等腰直角三角形，，，在中，，，，，，為直角三角形，，．【點評】本題考查旋轉變換、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理以及逆定理等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題．2．（西城區校級期中）如圖，是等邊內的一點，且，，，將繞點逆時針旋轉，得到．求：（1）點與點之間的距離；（2）求的度數．【分析】（1）連接，如圖，根據等邊三角形得性質得，，再利用旋轉的性質得，，，，，于是可判斷是等邊三角形，所以；（2）先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，再加上，然后計算即可．【解答】解：（1）連接，如圖，是等邊三角形，，是繞點逆時針旋轉得到的，，，，，，是等邊三角形，；（2），，，而，，是直角三角形，且，是等邊三角形，，．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質和勾股定理的逆定理．3．（漢陽區期中）如圖，是等腰內一點，，連接，，．（1）如圖1，當時，將繞點順時針旋轉，畫出旋轉后的圖形；（2）在（1）中，若，，，求的大小；（3）當時，且，，，則的面積是（直接填答案）【分析】（1）由，可知點旋轉到點，在的下方過點作的垂線，并且在垂線上截取，則為點繞點順時針旋轉以后的對應點，△即為所求；（2）連接，求出是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后計算即可得解；（3）根據全等三角形的面積相等求出與的面積之和等于四邊形的面積，然后根據等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計算即可得解，同理求出和的面積的和，和的面積的和，從而求出的面積，然后根據的面積的面積與的面積的和計算即可得解．【解答】解：（1）如圖1所示，△即為所求；（2）如圖2，連接．將繞點順時針旋轉